李錫林，唐英杰，田 震，查曉明，孫建軍，李翼翔

（武漢大學電氣與自動化學院，湖北省武漢市 430072）

0 引言

隨著現代電力系統(tǒng)逐步呈現“雙高”（高比例可再生能源和高比例電力電子設備）的特性［1-3］，電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行面臨全新的挑戰(zhàn)。電力電子設備的多尺度和非線性特點，使得電力系統(tǒng)的動態(tài)特性愈加復雜［4-5］。逆變器是新能源接入電網最重要的電力電子接口器件，一般通過鎖相環(huán)（phase-locked loop，PLL）實現與電網的同步。在弱電網條件下，電網公共連接點（point of common coupling，PCC）處的電壓受電網阻抗和電流的影響，會隨外界擾動而波動。文獻［6-7］指出，對于電壓源型逆變器（voltage source converter，VSC）連接弱電網系統(tǒng)情況，存在由鎖相環(huán)和較高的線路阻抗帶來的附加反饋環(huán)節(jié)，使得并網逆變器在大擾動下容易發(fā)生同步失穩(wěn)。因此，研究弱電網條件下并網逆變器的同步穩(wěn)定性，對于提高新能源機組的安全穩(wěn)定運行能力十分必要。

目前，并網逆變器穩(wěn)定性分析方法主要分為小干擾穩(wěn)定性分析方法和大干擾穩(wěn)定性分析方法兩類。文獻［8］使用阻抗法分析了弱電網條件下電壓前饋環(huán)節(jié)對并網變流器穩(wěn)定性的影響。文獻［9］分析了弱電網條件下逆變器各個控制環(huán)路對低頻振蕩的影響。文獻［10-11］建立了并網逆變器阻抗模型，并利用奈奎斯特判據分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而，小干擾分析結果僅適用于系統(tǒng)在平衡點附近的受擾情況，無法揭示非線性系統(tǒng)在大干擾下的暫態(tài)失穩(wěn)機理。

目前研究并網逆變器大干擾穩(wěn)定性分析的方法主要包括Lyapunov 方法、等面積法則（equal area criterion，EAC）和相圖法等。文獻［12-16］利用Lyapunov 方法分析并網逆變器系統(tǒng)的大干擾穩(wěn)定性，得到了保守性較強的分析結果。文獻［6,17-21］提出了虛擬功角和轉速的概念，采用等面積法則分析了并網逆變器的功角穩(wěn)定性。文獻［22-23］采用等面積法則研究了多逆變器并聯系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性，但未考慮頻率變化帶來的線路阻抗變化。文獻［24-26］應用相圖法研究了并網逆變器的同步暫態(tài)穩(wěn)定性。

弱電網條件下逆變器并網系統(tǒng)模型中存在可變的非線性阻尼項，其在一定功角范圍內可表現為負阻尼，對系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性不利［27］。傳統(tǒng)等面積法則完全忽略負阻尼的不利影響，易導致穩(wěn)定性誤判［6］。文獻［27］只給出正阻尼區(qū)域的穩(wěn)定性條件，保守性較大。文獻［28-29］通過建立逆變器阻抗模型分析了負阻抗對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。然而，負阻尼與負阻抗導致系統(tǒng)失穩(wěn)的機理有本質區(qū)別。前者從非線性系統(tǒng)的角度，反映傳輸功率與系統(tǒng)功角之間的暫態(tài)關系，關注的是系統(tǒng)在大干擾下的暫態(tài)穩(wěn)定性。而負阻抗則從阻抗的角度來描述系統(tǒng)的端口特性，只能表征系統(tǒng)中電壓與電流的動態(tài)關系，僅適用于小干擾穩(wěn)定性分析。

為此，本文充分考慮負阻尼的影響，提出了一種改進等面積法則的穩(wěn)定性判據，旨在提高系統(tǒng)穩(wěn)定邊界的估計精度。通過對負阻尼進行一定程度的縮放，計算出并網逆變器的暫態(tài)穩(wěn)定域，以改善現有方法的準確性與保守性。

1 并網逆變器非線性建模

如圖1（a）所示，三相逆變器通過一個濾波器與弱電網連接。弱電網的電壓幅值為Vg，電網三相電流為ig,abc，電流環(huán)參考值為Iref,dq。逆變器直流側電壓為Vdc，等效線路電阻和電感分別為Rg和Lg，濾波器電感為Lf。并網逆變器的控制系統(tǒng)包含鎖相環(huán)和電流控制環(huán)。鎖相環(huán)通過跟蹤輸入PCC 處三相電壓VPCC，abc的相位，實現與電網的同步。θPLL為鎖相環(huán)輸出相位。

圖1 并網逆變器與鎖相環(huán)結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of structure of grid-connected converter and PLL

典型三相鎖相環(huán)的基本結構如圖1（b）所示，包含Park 坐標變換和比例-積分（proportional-integral，PI）控制器。其中，Kp和Ki分別為PI 控制器的比例系數和積分系數；VPCC，q為PCC 處電壓q軸分量，ωn為電網額定角頻率；s為拉普拉斯算子。

通常情況下，電流環(huán)的動態(tài)響應速度遠快于鎖相環(huán)［6,27,30］，逆變器的同步穩(wěn)定性主要與鎖相環(huán)的慢時間尺度有關。為了便于分析，通?？衫枚鄷r間尺度分離解耦方法，忽略電流環(huán)的快動態(tài)。

本文假設直流側電壓Vdc為常數，且電網電流dq軸 分 量ig，d、ig，q恒 等 于 電 流 控 制 環(huán) 的 電 流 參 考值Iref,d、Iref,q：

利用Kirchhoff 電壓定律，可得PCC 處電壓vPCC的動態(tài)方程為：

式 中：vg=Vgcosθg為 電 網 電 壓，其 中θg為 電 網 電 壓相位；ig=Igcos（θPLL+φ）為電網電流，其中Ig為電網電 流 幅 值，φ=arctan（Iref，q/Iref，d）為 逆 變 器 的 功 率 因數角。

需注意的是，工程應用中通常置Iref，q=0，即φ=0。此時ig，d=Igcosφ=Ig，ig，q=Igsinφ=0。

根據文獻［31-32］，線路動態(tài)遠快于鎖相環(huán)的動態(tài)，所以對線路的建?？梢圆捎么鷶捣匠淌奖硎尽κ剑?）等號兩端進行Park 變換，并取q軸分量可得：

式中：k1、k2、k3、k4為等效的模型系數；ω為等效的角頻率；M為虛擬慣量（類比同步發(fā)電機）。

對比式（6）和單臺同步發(fā)電機并網系統(tǒng)的轉子搖擺運動方程（附錄A 式A1）以及相應的等效控制框圖（附錄A 圖A1）可以發(fā)現，并網逆變器與同步發(fā)電機的動力學特性具有相似之處。式（6）中的k1、k2sinδ、k3+k4cosδ可分別視為等效機械功率Pm、隨系統(tǒng)狀態(tài)變量功角δ變化而變化的等效電磁功率Pe（δ）和等效阻尼系數Deq（δ）。

等效阻尼系數Deq（δ）的正負由功角的運行范圍決定。由式（7）可知，一般有k3＜0，k4＞0，當π/2＜δ＜π 時，可得Deq（δ）=k3+k4cosδ＜k3＜0，可見，不論系統(tǒng)參數如何選擇，區(qū)間［π/2，π］內系統(tǒng)的等效阻尼均為負。對于區(qū)間［0，π/2］，通過比較k3與k4的相對大小，可進一步確定負阻尼區(qū)間的范圍。如圖2 所示，不同系統(tǒng)參數下保持-k3為常值，隨著k4變化，k4cosδ是一簇過定點（π/2，0）的余弦曲線。圖2 中δa、δb、δc分別對應圖2 中點a、b、c處的功角。由式（6）和式（7）易知，當k4cosδ在水平直線-k3下方時，系統(tǒng)等效阻尼系數Deq（δ）為負。當k3+k4＞0時，系統(tǒng)的負阻尼區(qū)間左邊界點在k4cosδ+k3=0處。此時，系統(tǒng)的負阻尼區(qū)間為（δb，π］。當k4減小時，負阻尼區(qū)間左邊界點向左移動，逐漸由點a變?yōu)辄cb再變?yōu)辄cc。當k3+k4≤0 時，系統(tǒng)在（0，π）上的阻尼均為負。為了進一步說明并網逆變器正常運行工況下負阻尼區(qū)域存在的合理性，附錄A 表A1 給出了逆變器參數的常規(guī)取值范圍和相應的極限負阻尼區(qū)間。計算結果表明阻尼過零點的范圍在0.38π～π/2 之間。實際系統(tǒng)運行中必須充分考慮負阻尼區(qū)間對并網逆變器系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的影響［33］。

圖2 負阻尼區(qū)域示意圖Fig.2 Schematic diagram of negative damping interval

2 傳統(tǒng)等面積法則的局限性

等面積法則一般利用故障前、中、后的3 條功角特性曲線來計算加減速面積。電力系統(tǒng)的擾動主要包括2 種形式：1）持續(xù)性擾動，受擾后系統(tǒng)進入新的運行工況；2）短暫性擾動，受擾后系統(tǒng)通過切除故障恢復原來的運行工況。為便于分析，本文主要針對第1 種擾動展開。

在不考慮故障切除的情況下，故障前的功角特性曲線PⅠ只是確定受擾后的初始狀態(tài)。為便于分析，后續(xù)的等面積法則分析示意圖只給出了故障后功角特性曲線PⅡ，如圖3（a）中Pe所示。其中，δa表示故障前系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)工作點。

圖3 改進等面積法則示意圖Fig.3 Schematic diagram of improved equal area criterion

傳統(tǒng)等面積法則不考慮阻尼項（k3+k4cosδ）ω的影響，最大減速面積對應的邊界為電磁功率和機械功率相等的點，分別記為δb、δc，根據式（6）可計算得到：

利用傳統(tǒng)等面積法則計算出對應的最大加速面積和最大減速面積。令最大減速面積等于最大加速面積，可求出功角的暫態(tài)穩(wěn)定左邊界δa：

由圖3（a）可知，非線性阻尼隨著功角增大逐漸由正變?yōu)樨摗Ｘ撟枘岬淖饔昧乜偸桥c功角運動方向一致，對系統(tǒng)起加速作用，從而相當于增大了加速面積，更容易導致系統(tǒng)的失穩(wěn)?？梢?，負阻尼區(qū)間會對系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性產生不利影響。若直接忽略阻尼，則傳統(tǒng)等面積法則對穩(wěn)定域的計算誤差較大，可能導致暫態(tài)穩(wěn)定性結果的誤判［33］。

3 用于并網逆變器暫態(tài)穩(wěn)定性分析的改進等面積法則

文獻［27］雖然只指出了負阻尼區(qū)間的存在性，但未定量分析其影響，并且僅給出了正阻尼區(qū)間內的穩(wěn)定性條件，所得到的最大功角穩(wěn)定邊界為阻尼過零點δd=arccos（-k3/k4）。從能量的觀點來看，非線性系統(tǒng)負阻尼區(qū)域的存在會使系統(tǒng)的最大減速面積減少，從而導致系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度降低，但不一定會導致系統(tǒng)的失穩(wěn)。只要考慮負阻尼效應后的最大減速面積大于加速面積的條件仍然滿足，則系統(tǒng)仍然能穩(wěn)定在負阻尼區(qū)域內。顯然，文獻［27］基于Lyapunov 方法計算出的穩(wěn)定域過于保守。因此，本文希望提出一種適用于并網逆變器暫態(tài)穩(wěn)定分析的改進等面積法則，同時提高傳統(tǒng)等面積法則穩(wěn)定域的估計精度和改善Lyapunov 方法計算穩(wěn)定域的保守性。

系統(tǒng)暫態(tài)過程中的等效阻尼項Deq（δ）ω與功角δ和功角變化率ω均有關聯。對于非線性微分方程式（6），難以求出解析表達式，因而非線性阻尼項Deq（δ）ω難以量化。本文的核心是通過對阻尼項Deq（δ）ω的合理縮放，定量計算出最大負阻尼對最大減速面積的影響。因為考慮的是暫態(tài)過程中的最大負阻尼，所以分析結果仍然存在一定的保守性。

系統(tǒng)在受擾動后的暫態(tài)過程中可能出現的最大角 頻 率 為ωmax。將ω=ωmax代 入 式（6），令ω?=0可得：

利用式（10）可以計算出新的穩(wěn)定臨界點，將其作為系統(tǒng)穩(wěn)定域的右邊界。這一步的作用在于通過數學縮放，將與δ和ω都相關的阻尼項（k3+k4cosδ）ω轉化為僅與δ有關的擾動項（k3+k4cosδ）ωmax。將Pe（δ）+（k3+k4cosδ）ωmax視為新的等效電磁功率。此時，穩(wěn)定判據式（10）與不考慮阻尼采用等面積法則計算臨界穩(wěn)定點的公式一致。這也進一步說明，系統(tǒng)負阻尼區(qū)間帶來的不利影響可以等效為最大減速面積的減少，如圖3（c）所示。

ωmax是考慮所有在穩(wěn)定域內的擾動過程中可能出現ω的最大值。如圖3（b）所示，對于任何一個在穩(wěn)定域內的受擾過程，系統(tǒng)在δb處達到本次擾動的最大速度（加減速交替點）。負阻尼區(qū)間的存在不利于系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性，故而考慮負阻尼區(qū)間情況下的穩(wěn)定域最小臨界點位于δa的右側，其中δa是不考慮阻尼情況下的穩(wěn)定域左臨界點。所以考慮負阻尼區(qū)間情況下的最大加速面積將小于不考慮阻尼情況下的最大加速面積。因此，自點a沿著Pe曲線加速到點b的角頻率ωmax1一定大于考慮阻尼情況下的ωmax。實際上，在無法求解系統(tǒng)式（6）解析解的前提下，最大加速面積無法確定，因此，ωmax是無法精確計算的，需要再次縮放。

考慮到ωmax1＞ωmax，負阻尼情況下有k3+k4cosδ＜0，因此式（11）成立：

由式（11）知，使用ωmax1代替ωmax會使得系統(tǒng)的等效電磁功率減小，導致系統(tǒng)的最大減速面積減小，穩(wěn)定域范圍也縮小，但不會導致穩(wěn)定性誤判。

對于非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程式（6），無法得到ωmax1的解析表達式。于是，用一條經過點a和b的直線Aδ+B來逼近方程式（6）中的非線性項k2sinδ，其中，A和B分別為直線的斜率和截距。利用上述近似處理，可將式（6）轉化為式（12）所示的二階線性系統(tǒng)：

當δa＜δ＜δb時，由三角函數的性質可知，恒有k2sinδ＞Aδ+B。因此，利用一次函數逼近正弦函數后，系統(tǒng)從點a運動至點b的加速面積被再次放大，線性系統(tǒng)式（12）沿直線從點a運動到點b的角頻率記為ωmax2，顯然ωmax2＞ωmax1。此時，（k3+k4cosδ）ωmax2＜（k3+k4cosδ）ωmax1成立。系統(tǒng)的最大減速面積被再次縮小，故而本次放縮不會導致系統(tǒng)穩(wěn)定性的誤判，但不可避免地會導致穩(wěn)定域的計算保守性有所增加。

對于線性系統(tǒng)式（12），給出初值條件：δ（0）=δa，ω（0）=0?？赏ㄟ^拉普拉斯變換，直接計算出其解析解：

式 中：tb為 功 角δb達 到 的 時 間；δ′(·)為δ(·)的 反函數。

將式（16）的計算結果ωmax2代入式（10），即可計算出該穩(wěn)定域子集的右臨界點δmax。再利用等面積法則，即可計算出該穩(wěn)定域子集的左臨界點δmin。出于保守性的考慮，計算δmin的過程中，負阻尼部分使用最大負阻尼計算，正阻尼的部分則忽略。如圖3（c）所示，使用等面積法則可以得到式（17）：

由式（17）可以解出功角穩(wěn)定域的最小邊界δmin。考慮負阻尼區(qū)間的影響，利用本文提出改進等面積法則計算得到的功角穩(wěn)定域為［δmin，δmax］，如圖3（c）所示。

為了便于比較，利用Lyapunov 法［27］計算的穩(wěn)定域為［δk，δd］。其中，δk為穩(wěn)定域的左邊界，滿足式（18）：

Lyapunov 方法［27］認為負阻尼區(qū)域系統(tǒng)失穩(wěn)，對應的左邊界δk也會因為最大減速面積的減小而相對δmin右 移?？?知，［δk，δd］是 本 文 所 求 穩(wěn) 定 域［δmin，δmax］的子集。故而本文提出的改進等面積法則相比文獻［27］的保守性得到了改善，雖然仍具有一定的保守性，但這是非線性微分方程不能計算出解析解所致，一般難以避免。而傳統(tǒng)等面積法則［6］則完全忽略了負阻尼區(qū)間的影響，將不考慮阻尼所得到的邊界［δa，δc］作為并網逆變器系統(tǒng)的穩(wěn)定域，存在較大誤差。

4 仿真及實驗驗證

本章利用MATLAB/Simulink 和基于RT-Lab的硬件在環(huán)實驗來驗證本文所提出分析方法的有效性?？紤]到并網逆變器與同步發(fā)電機的等效性，傳統(tǒng)電力系統(tǒng)中出現大擾動的本質原因是機械功率或電磁功率的驟變。由式（6）和式（7）可知，并網逆變器的等效電磁功率k2sinδ與線路電流幅值Ig正相關，所以采取在電流環(huán)d軸參考電流Iref，d上施加擾動來驗證前文計算出的穩(wěn)定域是否正確?？刂葡到y(tǒng)和電網參數選取如附錄B 表B1 所示。此外，電網電壓的相位、電網電壓幅值和線路阻抗也是可能出現的擾動形式，相關的MATLAB/Simulink 仿真驗證如附錄B 圖B1 至圖B3 所示。仿真結果驗證了理論分析所得的穩(wěn)定域估計的準確性。

4.1 基于MATLAB/Simulink 的仿真驗證

根據式（8）—式（17），以及附錄B 表B1 中的參數，計算得到功角穩(wěn)定域各個臨界點為：δa=0.436 rad，δb=1.013 rad，δc=2.129 rad，δmin=0.682 rad，δd=1.353 rad，δmax=1.905 rad。

在t=2 s 時，將 電 流 環(huán)d軸 參 考 電 流Iref，d由8.7 A 跳變至18 A，其仿真結果如圖4（a）和圖4（b）所示。此時系統(tǒng)最大功角δg滿足δc＞δg＞δmax，可知系統(tǒng)在該擾動下穩(wěn)定，δmax的穩(wěn)定性得到了驗證。

圖4 電流參考值擾動仿真驗證Fig.4 Simulation verification under reference current disturbance

然而，當電流參考值擾動稍微增大后，即Iref，d在t=2 s 時由8.6 A 跳變至18 A，系統(tǒng)將失穩(wěn)，如圖4（c）和圖4（d）所示。此時的臨界點功角δh=2.093 rad，滿足δh＞δg＞δmax?？梢姡疚牡玫降姆€(wěn)定域是準確的，但具有一定的保守性。因為系統(tǒng)失穩(wěn)往往都是發(fā)生在右邊界點附近，所以只對右邊界δmax的穩(wěn)定性進行驗證。附錄B 圖B1（a）中給出了左邊界δmin的驗證結果。

4.2 硬件在環(huán)實驗驗證

利用基于RT-Lab 的硬件在環(huán)實驗（實驗裝置如附錄B 圖B4 所示）進一步驗證本文所提出改進等面積法則的有效性。電網相位在1.013 rad 處分別增加擾動至2.013 rad 和2.090 rad，實驗結果如附錄B 圖B5（a）和圖B5（b）所示。當相位擾動小于臨界值δmax時，系統(tǒng)仍保持穩(wěn)定。而當相位擾動超過臨界值時，并網變流器系統(tǒng)將失穩(wěn)。分別將電流控制環(huán)d軸 參 考 值Iref，d由8.7 A 和5.5 A 增 大 至18 A，實驗結果如附錄B 圖B5（c）和圖B5（d）所示。當電流擾動過大時，功角會超過臨界穩(wěn)定值，從而導致系統(tǒng)發(fā)生同步失穩(wěn)。在電流擾動與電網相位擾動下，系統(tǒng)均可能發(fā)生暫態(tài)失穩(wěn)。但二者的失穩(wěn)現象略有不同，相位擾動下系統(tǒng)失穩(wěn)更快。

5 討論

5.1 考慮故障切除情況的改進等面積法則

第2 章提到的2 種受擾過程的等面積法則示意圖分別如圖5（a）和圖5（b）所示。

圖5 兩種受擾過程下改進等面積法則示意圖Fig.5 Schematic diagram of improved equal area criterion in two disturbed processes

圖5（a）中的PⅠ是故障前的電磁功率曲線，PⅡ是故障后的電磁功率曲線。對于如圖5（b）所示的系統(tǒng)故障后有切除動作的情況：3 條功角特性曲線PⅠ、PⅡ、PⅢ分別代表故障前、故障后和故障中3 種工況下的電磁功率曲線。

將改進等面積法則拓展到如圖5（b）所示的系統(tǒng)中，只需改動2 點：1）由式（12）至式（16）通過線性逼近計算ωmax2時，點b的位置需通過繼電保護設置參數確定；2）通過式（17）計算δmin時，加速面積部分應改為梯形面積Scabe。除以上2點不同外，本文提出的改進等面積法則與圖5（a）和圖5（b）中的應用一致。

5.2 分段線性逼近

除了使用如式（12）—式（16）所示一次函數進行線性逼近外，還可以采用分段的線性逼近方法。雖然分段線性逼近可以提高計算精度，改善穩(wěn)定域的保守性，但也加大了計算工作量，不利于后續(xù)將改進等面積法則拓展至多機系統(tǒng)。

5.3 改進等面積法則的保守性

大量仿真算例表明，當鎖相環(huán)的比例系數Kp較大時，改進等面積法則的保守性會變大。由式（6）和式（7）可知，Kp較大會導致k4較大，從而導致系統(tǒng)的正阻尼區(qū)間變大。這會導致由式（17）計算δmin時，因忽略正阻尼對暫態(tài)穩(wěn)定性的有利影響，本文所提出改進等面積法則的保守性變大。

6 結語

針對并網逆變器暫態(tài)穩(wěn)定性分析，本文提出了一種充分考慮負阻尼區(qū)間影響的改進等面積法則，有效地改善了Lyapunov 方法對負阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)定域估計的保守性。所提出的改進等面積法則，將為電力電子化電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性分析提供簡單有效的技術手段。多環(huán)耦合和多逆變器系統(tǒng)的復雜暫態(tài)穩(wěn)定性問題將是下一步研究的重點。

論文受到國家自然科學基金智能電網聯合基金項目（U1866601）資助，謹此致謝！

附錄見本刊網絡版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網絡全文。