重慶市彭水第一中學(xué)校 (409632) 劉恩坤 李紅霞

本文從一道2021年中科大不等式強(qiáng)基題入手，逐步展開(kāi)均值不等式與聯(lián)賽中的一些應(yīng)用，然后給出試題的一般性結(jié)論和變式拓展，希望給讀者帶來(lái)學(xué)習(xí)與借鑒.

1. 試題呈現(xiàn)

已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=1，求a2+b2+c2+2abc的取值范圍.

2 試題解法探究

3. 一般性探究

已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=1，求a2+b2+c2+kabc的最小值.

4. 一般結(jié)論

綜上所述，已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=1，求S=a2+b2+c2+kabc(k≠0)最小值.

5.變式拓展

變式1 (2021年數(shù)學(xué)通訊第7期504問(wèn)題)已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足ab+bc+ca=a+b+c>0，求證：a3+b3+c3+13abc≥16.

探索性結(jié)論：已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足ab+bc+ca=a+b+c>0，求a3+b3+c3+kabc(k>0)的最小值.

變式2 已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足ab+bc+ca=a+b+c>0，求證：a2+b2+c2+13abc≥8.

變式3 (數(shù)學(xué)通報(bào)2016年第10期2321號(hào)問(wèn)題)已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足ab+bc+ca=a+b+c>0，求證：a2+b2+c2+5abc≥8.

若考慮k∈N+時(shí)，可以寫(xiě)成當(dāng)0