一個(gè)函數(shù)不等式的探究
2022-10-10 08:56:28湖南省桃江縣第一中學(xué)413400胡芳舉
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2022年9期
湖南省桃江縣第一中學(xué) (413400) 胡芳舉
該題題干簡煉，內(nèi)涵豐富，但證明思路不易尋找，本文將給出該題的四個(gè)巧證、二個(gè)推廣以及兩個(gè)變式.
一、巧證
二、推廣
推廣1 設(shè)x,a>0，則ex-lnx≥(1+a)+(1-a)lna.
注：由原題證法四可得推廣1.
注：設(shè)f(x)=aex-cx,x>0，g(x)=cx-blnx,x>0，同原題證法三可得推廣2.
三、變式
變式1 設(shè)x,a>0，則ex-lnx≥(1+a)+(1-a)ea.
注：(1)在推廣1中，將a換成ea可得變式1.
變式2 設(shè)x,a,b>0，則xaex-(a+b)lnx-1≥b-blnb.
注：當(dāng)a∈R時(shí)，變式2同樣成立.
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