江蘇省如東縣馬塘初級中學 (226400) 王 陳

涂榮豹教授在文[1]中提到：教學生學會思考就是教“解題思路是怎樣想到的”，也就是說要“讓學生自己想到”.但是，解題思路的教學一直是數(shù)學解題教學的難題.本文就一道2021年上海中考題為例，談?wù)劷忸}教學的設(shè)計及其思考.

一、求解思路

考題(2021年上海中考題)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是對角線AC的中點，聯(lián)結(jié)BO并延長交邊CD或邊AD于點E.

(2)若DE=2，OE=3，求CD的長.

圖1

(2)由于點E的位置并沒有明確，所以需要分類討論，比如點E在AD上或點E在CD上.

情形1：如圖2，當點E在AD上時，可先證出四邊形ABCE是矩形.設(shè)AD=CD=x，在Rt△ACE和Rt△DCE中，將CE“算兩次”，即CE2=AC2-AE2，CE2=CD2-DE2，可得62-(x-2)2=x2-22，解得x=1或x=1(舍去).故CD=1.

圖2

二、解題教學微設(shè)計

教學環(huán)節(jié)一 基礎(chǔ)熱身

出示“考題”，預設(shè)以下問題啟發(fā)學生自主尋找“考題”第(1)①、②問的思路.

問題1：△DAC與△OBC形狀有什么特殊？你是從題目中哪些條件解讀出來的？

問題2：圖1中，與∠DAC相等的角有哪些，用一個記號把它們都標注出來；

問題3：若BE⊥CD，△BEC成為一個直角三角形了，它會是一個特殊的直角三角形形嗎？

問題4：“破譯”出圖形中有多個30°的銳角之后，待分析的值，你們有哪些好的思路呢？你能直接看出△ADC的三邊之比嗎？

教學環(huán)節(jié)二 拾級而上

預設(shè)以下問題，啟發(fā)學生自主攻克“考題”第(2)問的第1種情形“點E在AD上”.

問題5：再讀一下“題干”，點E有沒有明確在四邊形ABCD的哪條邊上？在開始處理第(2)問時，你覺得首先要怎樣去思考？(預設(shè)學生要想到分類討論，考慮點E在不同的邊上)

問題6：當點E在邊AD上時，你覺得本題的圖形該如何構(gòu)造？有哪些特殊的地方呢？比如四邊形ABCE是否比較特殊？

問題7：如圖2，在△ACD中，CE可看成該三角形高，這個三角形中有哪些線段的長是確定的？還有哪些邊長之間具有等量關(guān)系？該如何求△ACD的邊長CD呢？

問題8：“算兩次”是種重要的解題方法，在本題中，你體會到“算兩次”方法的價值了嗎？

教學環(huán)節(jié)三 攻克難點

問題9：當點E在CD上時，圖形仍然可以用圖1進行分析，除了第(1)①問已證過的兩個三角形相似(△DAC∽△OBC)之外，本圖中還有哪些三角形也能相似嗎？(預設(shè)：△EOC∽△ECB)

問題10：上面兩組三角形相似能帶來哪些對應(yīng)邊成比例，將它們書寫、對齊，研究一下，這些對應(yīng)邊中共有幾個未知量，能否用較少的未知數(shù)來表示它們？

圖3

問題11：設(shè)AD=CD=x，再設(shè)OB=OC=m，試用含x，m的式子，表示出兩組相似三角形的相應(yīng)對應(yīng)邊的比例式，整理一下，看看有什么進展？是否消去m得到關(guān)于x的方程？

問題12：另解思考，如圖3，延長BE，AD交于點F，能否用含x的式子表示EF？從而運用△DEF∽△CEB列出關(guān)于x的方程.

教學環(huán)節(jié)四 解后回顧

小結(jié)問題1：本題求解過程中，你覺哪一個步驟是最關(guān)鍵的，請說說你的理解；

小結(jié)問題2：反觀解題過程中，遇到了不少基本圖形、特殊圖形，你覺得這些基本圖形的哪些性質(zhì)對解題是有較大幫助的？

小結(jié)問題3：有同學針對第(2)問總是容易漏解，你有什么好的建議給他說說嗎？

小結(jié)問題4：繼續(xù)探究“考題”最后一問，點E在邊CD上時，有沒有其他的方法？(預設(shè)兩種輔助線構(gòu)造方法，如圖4，連接DO并延長交BC于F，過點F作FG∥BE交CD于點G；或者如圖5，作AF∥BE交CD的延長線于點F，供同學們課后繼續(xù)探究)

圖4

圖5

三、解題教學的一些思考

(1)精心預設(shè)教學引導語，讓學生自己想到解法

如涂榮豹教授指出的，解題教學要“以尋找思路為核心”，特別是解題教學的重點不是“解題”而是“學解題”.學生往往特別關(guān)注解題結(jié)果，而“學解題”的關(guān)鍵是解題方法或思路是如何發(fā)生、找到、接通的.所以在本文“考題”的教學微設(shè)計中，我們注重給出了針對每個小問的教學引導語，以問題驅(qū)動教學進程，讓學生能在這些啟性用語的幫助下，自己想到解法.這樣學生不僅解決了問題，而且收獲了解題方法和解題自信.特別是，經(jīng)常安排這樣的啟發(fā)式教學，學生在以后獨立遇到陌生問題的探究時，就可以聯(lián)想到老師是如何啟發(fā)自己理解題意、獲得思路.長此以往，學生會在“春風化雨、潤物無聲”中提升解題能力.

(2)重視解題回顧與反思，讓學生想清關(guān)鍵步驟

解題教學的最后環(huán)節(jié)要安排回顧與反思，精心預設(shè)一些小結(jié)問題，帶領(lǐng)學生圍繞本課所學進行回顧反思，特別是可以針對解題進程中的關(guān)鍵步驟進行回顧，考慮到不同層次學生對解題全過程中的關(guān)鍵步驟的理解可能會有差異，這時可安排學生小組內(nèi)先交流，然后再全班匯報.另外，課堂上因為教學時間所限，若針對某個問題的“一題多解”沒有能充分展開，可以作為小結(jié)時提出其他解法的一些思路或輔助線構(gòu)造，安排學有余力的學生課后繼續(xù)鉆研.

(3)開展“一題一課”教學，讓學生“長時間思考”

圍繞一道典型考題安排一節(jié)課進行專題教學是目前老師踐行“一題一課”成功經(jīng)驗，實踐表明，這類課型可以促進學生圍繞某個經(jīng)典問題進行“長時間思考”，從“快思”走向“慢想”的效果是對這類問題更具深刻的理解，也就能更好地踐行“學深、悟透、學活”的教學目標.