姜秀杰,劉 艷,2,李秋彤,2,劉 歡,袁賢浦,2

(1.上海材料研究所,上海 200437； 2.上海消能減震工程技術(shù)研究中心,上海 200437； 3.上海第二工業(yè)大學(xué)環(huán)境與材料工程學(xué)院,上海 201209)

隨著城鎮(zhèn)化和軌道交通線路的迅速增長，城市高架軌道交通以經(jīng)濟(jì)、高效以及占地面積小等優(yōu)點得到了快速發(fā)展，但其運(yùn)行時產(chǎn)生的振動會產(chǎn)生嚴(yán)重的擾民問題[1-3]。在振動特性評價方面，軌道交通大多采用力、加速度、速度和位移等傳統(tǒng)評價指標(biāo)。而大量研究表明，振動是以能量的形式傳遞的，傳統(tǒng)的評價指標(biāo)具有一定局限性[4]。

功率流結(jié)合了力和速度兩種變量，可以從能量的角度對系統(tǒng)振動的傳遞特性進(jìn)行評價，在機(jī)械、船舶、航天器等領(lǐng)域隔振性能方面均得到了廣泛應(yīng)用[5-7]。功率流概念最初是由GOYDER和WHITE[8]在1980年提出的，目標(biāo)是減少振源和鄰近結(jié)構(gòu)之間能量的傳遞。隨著功率流理論的發(fā)展和完善，上官文斌等[9]計算分析了在路面不平度激勵下，經(jīng)懸架襯套和減振器上端支撐傳遞到車身車架的功率流，從而識別出能量的最大傳遞路徑，并分析了襯套特性對功率傳遞的影響；CHOI等[10]基于等效功率流遞進(jìn)法確定了夾層結(jié)構(gòu)浮筏隔振系統(tǒng)的功率流，研究表明，僅通過增大阻尼的方式，并不能避免高頻范圍內(nèi)夾層浮筏對稱模態(tài)的共振峰；吳梓峰[11]基于振動功率流理論，開發(fā)出控制結(jié)構(gòu)體內(nèi)振動功率流流向的裝置和方法，并應(yīng)用到船舶結(jié)構(gòu)振動控制中。功率流在軌道交通領(lǐng)域也得到了相關(guān)應(yīng)用。HUSSIN等[12]通過建立地下隧道內(nèi)置板模型，以平均功率流為評價指標(biāo)評價了減振措施的有效性；汪力等[13]基于功率流理論，采用諧響應(yīng)分析方法，研究了扣件系統(tǒng)垂向剛度的匹配，給出了較優(yōu)的剛度匹配配置；劉輝鵬[14]通過建立鋼軌-浮置板-基礎(chǔ)功率流傳遞模型，研究軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對功率流傳遞的影響特性。

綜上可知，盡管功率流在軌道交通行業(yè)得到了相關(guān)應(yīng)用，但研究成果較少，且存在一些不足。例如，模型過于簡化且大多未經(jīng)過試驗驗證，或僅進(jìn)行頻域內(nèi)的諧響應(yīng)分析，未考慮實際車輛作用下的振動特性。而城市軌道交通中采用的高架軌道由多層隔振系統(tǒng)組成，振動從上往下的傳遞是一種能量分配、儲存和耗散的過程。因此，以城市高架軌道交通中常見的減振墊式浮置板道床為研究目標(biāo)，基于單層隔振系統(tǒng)和多層隔振系統(tǒng)功率流理論，分析能量的傳遞和耗散；通過建立車-軌-橋系統(tǒng)垂向有限元模型，結(jié)合功率流計算方法，分頻段研究了功率流在軌道結(jié)構(gòu)中的分布和傳遞規(guī)律。研究結(jié)果可為高架軌道結(jié)構(gòu)振動控制和減振設(shè)計提供工程指導(dǎo)。

1 功率流理論基礎(chǔ)

1.1 單層隔振系統(tǒng)

圖1 單自由度隔振系統(tǒng)

(2)

式(2)左側(cè)的第一項和第三項可通過對系統(tǒng)動能和勢能的求導(dǎo)獲得

(3)

(4)

由上可知，輸入系統(tǒng)的瞬時功率等于阻尼元件的瞬時耗散功率加上動能和勢能的瞬時變化率之和。

實際中不規(guī)則外力的作用效果可用多個規(guī)則的簡諧力疊加來代替，因此，研究簡諧力作用下的響應(yīng)具有重要意義[16]。用f(t)表示結(jié)構(gòu)中某點所受的激勵，對應(yīng)的速度響應(yīng)為v(t)，如式(5)、式(6)所示。

(5)

(6)

式中，F(xiàn)和V分別為力和速度的復(fù)數(shù)幅值，包含相位信息；*為復(fù)數(shù)的共軛。

將式(5)、式(6)代入式(2)可得輸入系統(tǒng)瞬時功率的另一種表達(dá)方式，如式(7)所示。

(7)

(8)

式中，右側(cè)第一項是常數(shù)，表示輸入系統(tǒng)的平均功率，第二項表示隨時間變化的瞬時功率，頻率為外界激勵頻率的2倍。

將式(5)和式(6)左右兩側(cè)相乘可得

(9)

式中，F(xiàn)為向量，因此，式(9)的第一項可寫為

(10)

式中，Pav為輸入系統(tǒng)的平均功率；φ為外界激勵載荷f(t)和速度v(t)之間的夾角。

圖2表示輸入系統(tǒng)的瞬時功率，圖中陰影部分的瞬時功率為負(fù)值，表示能量在激勵源和系統(tǒng)之間相互交換，這部分能量被存儲系統(tǒng)的振動能量，即動能和勢能。又因系統(tǒng)中包含阻尼元件，所以輸入系統(tǒng)的一部分能量被阻尼元件所消耗，導(dǎo)致返回激勵源的能量小于輸入系統(tǒng)的能量。因此，瞬時功率均值大于0，如圖2中紅色虛線所示。

圖2 瞬時功率隨時間的變化規(guī)律

1.2 多層隔振系統(tǒng)

對于多層隔振系統(tǒng)，其運(yùn)動學(xué)方程如式(11)所示[17-18]

(11)

式中，[M]， [C]和[K]分別代表質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{f(t)}為外界激勵向量。

當(dāng)外界有N個激勵同時作用于系統(tǒng)時，輸入系統(tǒng)的瞬時功率可用式(12)表示。

(12)

式中，{v}T為速度向量的轉(zhuǎn)置。

對于多自由度隔振系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，能量計算公式如下

(13)

(14)

(15)

由上節(jié)知，輸入系統(tǒng)的瞬時功率等于阻尼耗散功率與動能和勢能瞬時變化率之和，因此，綜合公式(13)～式(15)，可得

(16)

式中，D、T和U分別為阻尼元件的瞬時耗散功率、動能和勢能[12]。

參照單自由度隔振系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的速度和位移復(fù)數(shù)表示如下

(17)

(18)

將上式代入公式(12)，可得輸入多層隔振系統(tǒng)的瞬時功率

(19)

式中，等式右側(cè)第一項Pav為輸入系統(tǒng)的平均功率；第二項為隨時間變化的瞬時功率，頻率為外界激勵頻率的2倍。

2 有限元模型及功率流計算

2.1 模型建立

常見的城市高架結(jié)構(gòu)包含軌下-板下-橋下多層彈性體，自上而下各層彈性子系統(tǒng)之間在幾十到幾百赫茲的范圍內(nèi)存在相互作用，如圖3所示。因此，采用有限元分析將更加方便、高效。建立有限元模型如圖4所示，模型中車輛系統(tǒng)由車體、轉(zhuǎn)向架、輪對以及一系、二系懸掛組成，軌道系統(tǒng)由鋼軌、軌道板、橋梁以及扣件、軌道板支承和橋梁支座組成。其中，一系懸掛、二系懸掛、扣件、軌道板支承、橋梁支座采用彈簧/阻尼器單元，鋼軌、浮置板、橋梁采用實體單元，車體、轉(zhuǎn)向架、輪對采用剛體單元。在車體中心施加質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，同時假設(shè)車輛勻速前進(jìn)。車體考慮點頭、搖頭、浮沉、側(cè)滾、橫移5個方向的自由度，轉(zhuǎn)向架和輪對考慮點頭、浮沉和側(cè)滾3個方向的自由度。鋼軌為60 kg/m軌，僅考慮其垂向振動。軌道板單個長6.0 m，寬2.7 m，一垮橋上裝配5塊軌道板。考慮動力邊界效應(yīng)，橋梁為3跨的簡支箱梁模型。模型總長104 m，鋼軌兩端施加全約束。車輛系統(tǒng)和軌道結(jié)構(gòu)基本參數(shù)分別如表1、表2所示。

圖3 城市高架軌道力學(xué)模型

圖4 城市高架軌道有限元模型

表1 車輛系統(tǒng)基本參數(shù)

表2 軌道結(jié)構(gòu)基本參數(shù)

模型中的輪軌接觸定義為面-面接觸，車輪為主面，鋼軌軌頭為從面。輪軌間的接觸屬性包含法向作用和切向作用。法向采用赫茲非線性接觸模型定義，切向作用采用軟件中的“軟”接觸表格定義，切向作用力為

F=μP(t)

(20)

式中，μ取0.25。

考慮車體質(zhì)量及車輛經(jīng)過鋼軌時幾何不平順的共同作用，選擇美國六級高低不平順譜作為模型的激勵，時域樣本如圖5所示；行車速度取60 km/h。

圖5 高低不平順譜

2.2 模型驗證

測試地點為國內(nèi)某城市軌道交通高架橋線路區(qū)間，測試斷面為直線區(qū)段。橋梁形式為30 m雙線簡支箱梁，梁高1.8 m，道床為墊式浮置板結(jié)構(gòu)，布置了橋梁底板Z1、橋梁腹板Z2、橋梁翼板Z3三個垂向加速度振動測點，如圖6所示。

圖6 測點示意

對試驗和仿真獲得的加速度響應(yīng)進(jìn)行時頻轉(zhuǎn)換，得到加速度在頻域內(nèi)的大小和分布，為直觀展示，引入振動加速度級的概念，并采用1/3倍頻程的展示方法。

(21)

式中，振動加速度級La的單位為dB；a為實測加速度；a0為基準(zhǔn)加速度，取值1×10-6m·s-2。

實測與仿真的振動加速度級如圖7所示。由圖7可知，橋梁各測點振動加速度級在63 Hz及500 Hz附近存在峰值，且仿真結(jié)果與測試結(jié)果具有較好的一致性，從而驗證了有限元模型的準(zhǔn)確性。

圖7 各測點振動加速度級

2.3 功率流計算

功率流計算過程如下，首先，采用有限元模型在時域內(nèi)求解隔振元件節(jié)點的載荷和速度；然后，通過傅里葉變換轉(zhuǎn)化到頻域內(nèi)；最終求得高架軌道結(jié)構(gòu)各層功率的分布特性及各層之間的功率流傳遞規(guī)律[5]。

由第一節(jié)單層隔振系統(tǒng)和多層隔振系統(tǒng)的功率流計算式(2)和式(12)可知，輸入系統(tǒng)的瞬時功率可表示為

Pi=Fi×Vi

(22)

式中，Pi為輸入節(jié)點的瞬時功率；Fi為輸入節(jié)點的瞬時載荷；Vi為節(jié)點的瞬時速度響應(yīng)。

對于結(jié)構(gòu)振動分析而言，平均功率具有實際意義，因為一段時間內(nèi)的平均功率更能反映外部激勵注入結(jié)構(gòu)的能量強(qiáng)度[13]。因此，將一段時間內(nèi)輸入至系統(tǒng)的功率進(jìn)行積分后，再對時間求平均，得到輸入系統(tǒng)的振動功率流，即

(23)

式中，F(xiàn)(t)為作用于結(jié)構(gòu)某點處的時域外力；V(t)為該點因F(t)而產(chǎn)生的速度響應(yīng)。

如果激勵和響應(yīng)均用復(fù)數(shù)表示，根據(jù)單層隔振系統(tǒng)計算式(6)以及多層隔振系統(tǒng)計算式(19)，可知輸入系統(tǒng)的平均振動功率如下式所示[14]

(24)

式中，Re為取復(fù)數(shù)的實部；上標(biāo)*為復(fù)數(shù)的共軛；F和V分別為頻域內(nèi)復(fù)數(shù)形式的力和速度。

有限元模型中彈簧阻尼單元節(jié)點的振動功率流計算示意如圖8所示，提取彈簧阻尼單元的彈簧力Fi，然后取相反數(shù)，得到作用于此節(jié)點的外力。結(jié)合此節(jié)點的速度響應(yīng)Vi，根據(jù)式(24)求得輸入系統(tǒng)的平均振動功率流。再對所有節(jié)點求和，得到輸入軌道結(jié)構(gòu)各層的總功率流，最終根據(jù)式(25)求出相對功率流。

(25)

式中，Pr(k)為相對功率流，dB；Ps(k)為總功率流；P0為參考功率流，計算高架軌道橋上的功率流時，P0取1×10-8N·m/s。

圖8 節(jié)點功率流計算

3 結(jié)果分析

采用上述已驗證模型，對鋼軌、軌道板和橋梁組成的高架軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，確定其模態(tài)振型和頻率。因在無砟軌道結(jié)構(gòu)中，鋼軌垂向振動響應(yīng)主要受列車固定軸距的影響，而軌下結(jié)構(gòu)即軌道板和橋梁的垂向振動響應(yīng)主要受扣件間距影響[19]。因此，以功率流為評價指標(biāo)，僅考慮由周期性引起的軌道結(jié)構(gòu)振動，通過計算給出輸入軌道結(jié)構(gòu)各子系統(tǒng)功率流的大小與分布，進(jìn)而分析功率流在軌道結(jié)構(gòu)中的傳遞規(guī)律。

3.1 模態(tài)分析

高架軌道橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。由于鋼軌和軌道板之間的連接剛性較大，將鋼軌、扣件、軌道板和軌道板支承作為一個整體，分析高架軌道結(jié)構(gòu)和橋梁的前五階振型，固有頻率和對應(yīng)振型見表3。由表3可知，在低頻范圍內(nèi)，軌道結(jié)構(gòu)和橋梁的振型主要表現(xiàn)垂向或橫向彎曲振動，其中，鋼軌、軌道板和橋梁三者同時出現(xiàn)的一階垂向彎曲振動的模態(tài)振型如圖9所示。

表3 軌道和橋梁前五階固有頻率和振型

圖9 鋼軌、軌道板和橋梁垂向彎曲振動(16.2 Hz)

3.2 功率流分布特性

圖10為功率流在軌道結(jié)構(gòu)中的垂向傳遞示意。選擇模型中間一塊軌道板長度范圍內(nèi)的軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動功率流計算。圖11為列車和軌道周期性作用下，輸入各子系統(tǒng)的振動功率流，曲線間間距表示功率流在傳遞過程中的損耗。由圖10、圖11可知，在1～1 000 Hz頻率范圍內(nèi)，最高的振動功率流主要發(fā)生在10 Hz頻率范圍以內(nèi)的低頻段，為軌道結(jié)構(gòu)的周期性激勵頻率。輸入至鋼軌的振動功率流主要有兩個峰值，對應(yīng)的頻率分別為16 Hz和200 Hz，鋼軌的振動能量主要集中在中高頻范圍內(nèi)。傳遞至軌道板和橋梁的第一階振動功率流峰值也出現(xiàn)在16 Hz處，同時在1～1 000 Hz頻率范圍內(nèi)有多個峰值，軌道板和橋梁的振動能量主要集中在中低頻范圍內(nèi)。16 Hz處的振動功率流峰值是因為鋼軌、軌道板和橋梁在此頻率處同時出現(xiàn)了一階振型模態(tài)(圖9)。傳遞至軌道板的振動功率流與輸入鋼軌的有類似分布情況。而傳遞至橋梁的振動功率流在較低頻段和較高頻段內(nèi)都較低，在10～63 Hz頻段內(nèi)取得較大值。由此可知，能量在經(jīng)過扣件系統(tǒng)后，高頻能量被衰減，低頻能量繼續(xù)往下傳遞；經(jīng)過軌道板支承后，低頻能量都得到了更有效衰減。

圖10 能量在軌道結(jié)構(gòu)中的傳遞示意

圖11 輸入各子系統(tǒng)的振動功率流

3.3 功率流傳遞規(guī)律

圖12為軌道結(jié)構(gòu)不同子系統(tǒng)間的功率流傳遞率。由圖12可知，軌道板至橋梁的功率流傳遞率在全頻段均小于1，說明能量經(jīng)過軌道板支承后在全頻段均得到了衰減。而鋼軌至軌道板的功率流傳遞率除10～100 Hz頻率范圍內(nèi)，其余頻段內(nèi)均小于1，出現(xiàn)功率流傳遞率大于1的原因是軌道板結(jié)構(gòu)在這些頻率處出現(xiàn)了共振現(xiàn)象。在63～500 Hz頻率范圍內(nèi)，鋼軌至軌道板的功率流傳遞率逐漸減小，說明扣件系統(tǒng)在較高頻頻段內(nèi)可發(fā)揮更好的能量儲存和耗散效果。在低頻段范圍內(nèi)，軌道板至橋梁的功率流傳遞率最小，說明軌道板支承在低頻范圍內(nèi)可發(fā)揮更優(yōu)越的能量儲存和耗散效果。

圖12 不同子系統(tǒng)間功率流傳遞率

采用平均振動能量級對軌道結(jié)構(gòu)不同頻率段內(nèi)的總振動能量進(jìn)行評價[20]。計算公式如下

(26)

式中，Pa為結(jié)構(gòu)的平均振動能量級；K為頻率點的數(shù)量。

圖13表示平均振動能量級在軌道結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)間的傳遞情況。由圖13(a)可知，從鋼軌至軌道板和軌道板至橋梁均發(fā)生了明顯衰減，且衰減量基本一致，主要是各子系統(tǒng)隔振元件發(fā)揮了其儲能和耗能作用。由圖13(b)可知，在低頻1～100 Hz頻率范圍內(nèi)，功率流呈現(xiàn)先增大后減小的走勢，主要是一方面扣件系統(tǒng)低頻隔振效果較差，另一方面如前文所述，軌道板在低頻段發(fā)生了共振，導(dǎo)致能量在傳遞過程中反而出現(xiàn)了增加的現(xiàn)象。由圖13(c)可知，在100～1 000 Hz的中高頻頻率范圍內(nèi)，能量在傳遞過程中呈現(xiàn)衰減趨勢，主要是扣件和軌道板支承在中高頻頻率范圍內(nèi)都發(fā)揮了較優(yōu)越的能量儲存和耗能效果。

圖13 軌道結(jié)構(gòu)的平均振動能量級

4 結(jié)論

本文引入功率流指標(biāo)，從能量的角度分析了高架軌道結(jié)構(gòu)周期性振動下能量分布及傳遞規(guī)律，得到如下結(jié)論。

(1)列車垂向振動產(chǎn)生的能量在軌道結(jié)構(gòu)固有頻率處取得峰值。鋼軌的振動能量集中在中高頻范圍，引起鋼軌的高頻振動，軌道板和橋梁的振動能量集中在中低頻范圍，引起兩者的低頻振動響應(yīng)。

(2)在全頻段(1～1 000 Hz)和中高頻(100～1 000 Hz)范圍內(nèi)，扣件和軌道板支承的存在，使得振動能量在傳遞過程中逐漸減小，且減小趨勢明顯；在低頻段(1～100 Hz)范圍內(nèi)，軌道板的共振導(dǎo)致振動能量從上往下傳遞過程中呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。

(3)扣件可有效衰減鋼軌中高頻段(100～ 1 000 Hz)振動能量；軌道板支承可有效衰減軌道板低頻(1～10 Hz)振動能量。實際中可通過設(shè)計扣件和軌道板支承的剛度和阻尼，獲得最優(yōu)的減振效果。

(4)功率流指數(shù)直觀反映振動能量在軌道結(jié)構(gòu)中的分布、傳遞和衰減規(guī)律，為軌道交通領(lǐng)域的減振、隔振設(shè)計提供理論基礎(chǔ)和工程指導(dǎo)。