福建省泉州市泉港區(qū)圭峰中學(xué)（362802）郭淑華

應(yīng)用性問題是近幾年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)之一，它以解決實(shí)際問題為目標(biāo)。要想破解應(yīng)用性問題，需找到其解題關(guān)鍵。下面筆者結(jié)合近幾年各地中考數(shù)學(xué)試題，分析應(yīng)用性問題的特點(diǎn)，找出其解題關(guān)鍵，以供參考。

一、方程（組）的應(yīng)用性問題

該類問題常見的類型有：（1）行程問題（包括相遇問題、追及問題、環(huán)形問題、水中航行問題等）；（2）工程問題；（3）濃度問題；（4）增長率或降低率問題；（5）數(shù)字問題；（6）最優(yōu)策略問題；（7）最值問題。

［例1］（2021·張家界）2021 年是中國共產(chǎn)黨建黨100 周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長征路”主題教育學(xué)習(xí)活動，我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀(jì)念館”成為重要的活動基地。據(jù)了解，今年3 月份該基地接待參觀人數(shù)10 萬人，5 月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人。

（1）求這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率；

（2）按照這個增長率，預(yù)計6 月份的參觀人數(shù)是多少？

簡析（1）設(shè)這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)5 月份該基地接待參觀人數(shù)=3 月份該基地接待參觀人數(shù)×（1+增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案；（2）利用6 月份該基地接待參觀人數(shù)=5 月份該基地接待參觀人數(shù)×（1+增長率），即可求出答案。

點(diǎn)評列方程（組）解應(yīng)用題，關(guān)鍵是認(rèn)真審題，正確分析題意，找出問題中的等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）。列方程（組）時，等式兩邊應(yīng)意義相同、單位一致、數(shù)量相等。若所列的方程是分式方程，結(jié)果要驗(yàn)根并且所得的解與實(shí)際要相符合。

二、不等式（組）的應(yīng)用性問題

該類問題常見的類型有：（1）以市場經(jīng)濟(jì)為背景的不等式（組）應(yīng)用題；（2）運(yùn)用不等式（組）解決的方案設(shè)計類應(yīng)用題。

［例2］（2018·湘潭）湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國文明城市之后，又準(zhǔn)備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市。某小區(qū)積極響應(yīng)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2 個溫馨提示牌和3 個垃圾箱共需550 元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍。

（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？

（2）該小區(qū)至少需要安放48 個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100 個，且費(fèi)用不超過10 000 元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？

簡析（1）2 個溫馨提示牌和3 個垃圾箱的總價格是550 元，垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3 倍，據(jù)此建立方程組即可得出答案；（2）根據(jù)“至少需要安放48 個垃圾箱”“費(fèi)用不超過10 000 元”這兩個信息，建立不等式組即可得出答案。

點(diǎn)評列不等式（組）解應(yīng)用題的一般步驟是：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)；（2）找出能夠表示題目全部含義的一個或幾個不等式；（3）列出不等式（組），解不等式（組），求出解集并作答。解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)問題實(shí)際建立不等式（組）模型，利用不等式（組）解的情況對問題作出最佳決策。

三、函數(shù)的應(yīng)用性問題

該類問題常見的類型有：（1）一次函數(shù)的應(yīng)用性問題；（2）二次函數(shù)的應(yīng)用性問題；（3）分段函數(shù)及其他函數(shù)的應(yīng)用性問題。

［例3］（2021·金華）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同。如圖1，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為

圖1

（1）求雕塑高OA；

（2）求落水點(diǎn)C，D之間的距離；

（3）若需要在OD上的點(diǎn)E處豎立雕塑EF，OE=10 m，EF=1.8 m，EF⊥OD。問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明。

簡析（1）利用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得出雕塑高OA的值；（2）利用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得出OD的長度，由噴出的水柱為拋物線且形狀相同，可得出OC的長度，再由CD=OC+OD即可求出落水點(diǎn)C，D之間的距離；（3）代入x=10 求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)在拋物線y=上，將與1.8 比較后即可得出頂部F不會碰到水柱。

點(diǎn)評利用函數(shù)模型來解決實(shí)際問題，首先要求出函數(shù)的解析式和自變量的取值范圍，然后通過函數(shù)的增減性來確定函數(shù)的最值。

四、統(tǒng)計初步的應(yīng)用性問題

統(tǒng)計初步有關(guān)問題是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的一個方面。隨著素質(zhì)教育對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識要求的提高，近幾年在中考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常出現(xiàn)統(tǒng)計初步的應(yīng)用性問題，教師在中考總復(fù)習(xí)時應(yīng)重視。

［例4］（2019·鄂州）某校為了解全校學(xué)生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況，隨機(jī)選取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求每名學(xué)生從中選出一類最喜愛的電視節(jié)目，以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分。（如下表和圖2所示）

圖2

請你根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）統(tǒng)計表中m的值為______，統(tǒng)計圖中n的值為______，A類對應(yīng)扇形的圓心角為______度；

（2）該校共有1500 名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計該校最喜愛體育節(jié)目的學(xué)生人數(shù)；

（3）樣本數(shù)據(jù)中最喜愛戲曲節(jié)目的有4 人，其中僅有1 名男生。從這4 人中任選2 名同學(xué)去觀賞戲曲表演，請用樹狀圖或列表求所選2 名同學(xué)中有男生的概率。

簡析（1）由B 類別人數(shù)及其百分比求出調(diào)查人數(shù)，再用調(diào)查人數(shù)減去A、B、C、E 類別總?cè)藬?shù)得出m的值，然后根據(jù)百分比概念求出n，最后用360°乘以A 類別人數(shù)所占比例，獲得圓心角的度數(shù)；（2）根據(jù)統(tǒng)計圖表中的樣本數(shù)據(jù)來估計，答案可得；（3）利用樹狀圖或列表，將所有等可能的結(jié)果列舉出來，利用概率公式求解即可。

點(diǎn)評解這類問題的關(guān)鍵是運(yùn)用統(tǒng)計的思想對數(shù)據(jù)進(jìn)行耐心、細(xì)致的觀察，通過分析、比較，得到相應(yīng)的特征數(shù)，運(yùn)用統(tǒng)計初步的有關(guān)知識解決問題。

五、幾何應(yīng)用性問題

該類問題常見的類型有：（1）利用全等、相似及解直角三角形等知識進(jìn)行測量的問題；（2）利用等腰三角形、圓、直角三角形等知識解決航海、氣象等方面的問題。

［例5］（2020·聊城）如圖3，小瑩在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測量。先測得居民樓AB與CD之間的距離AC為35 m，后站在M點(diǎn)處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°，居民樓AB的頂端B的仰角為55°，已知居民樓CD的高度為16.6 m，小瑩的觀測點(diǎn)N距地面1.6 m。求居民樓AB的高度（精確到1 m）。（參考數(shù)據(jù)：sin 55° ≈0.82，cos 55° ≈0.57，tan 55°≈1.43）

圖3

簡析過點(diǎn)N作EF∥AC交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，通過解Rt△DFN得到線段NF的長度，進(jìn)而得到線段NE的長度，再解Rt△BEN得到BE的長度。

點(diǎn)評解這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解一些專有術(shù)語（如仰角、俯角、坡角、坡比、方位角、海拔等）的含義，在理解題意的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確畫出圖形，把題目中的已知量和未知量轉(zhuǎn)化到圖形中，然后運(yùn)用相應(yīng)的幾何知識來解決問題。

六、綜合應(yīng)用性問題

對應(yīng)用性問題的考查，是近年中考數(shù)學(xué)的一大熱點(diǎn)，有些試題同時考查多種應(yīng)用性問題，要綜合利用多種模型和各種知識才能解決。

［例6］（2018·南充）某銷售商準(zhǔn)備在南充采購一批絲綢，經(jīng)調(diào)查，用10 000 元采購A 型絲綢的件數(shù)與用8 000 元采購B 型絲綢的件數(shù)相等，一件A型絲綢進(jìn)價比一件B型絲綢進(jìn)價多100元。

（1）求一件A型、B型絲綢的進(jìn)價分別為多少元？

（2）若銷售商購進(jìn)A 型、B 型絲綢共50件，其中A 型的件數(shù)不大于B 型的件數(shù)，且不少于16 件，設(shè)購進(jìn)A型絲綢m件。

①求m的取值范圍；

②已知A 型的售價是800 元/件，銷售成本為2n元/件；B 型的售價為600元/件，銷售成本為n元/件。如果50 ≤n≤150，求銷售這批絲綢的最大利潤w（元）與n（元）的函數(shù)關(guān)系式（每件銷售利潤=售價-進(jìn)價-銷售成本）。

簡析（1）根據(jù)題意，用分式方程解題；（2）①根據(jù)所提供條件，列出關(guān)于m的不等式組，可求得m的取值范圍；②根據(jù)題意，列出銷售利潤y與m的函數(shù)關(guān)系式，討論所含字母n的取值范圍，則w與n的函數(shù)關(guān)系式可得。

［例7］（2021·盤錦）某工廠生產(chǎn)并銷售A，B 兩種型號車床共14臺，生產(chǎn)并銷售1臺A 型車床可以獲利10 萬元；如果生產(chǎn)并銷售不超過4 臺B 型車床，則每臺B 型車床可以獲利17 萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元。設(shè)生產(chǎn)并銷售B型車床x臺。

（1）當(dāng)x＞4時，完成以下兩個問題：

①請補(bǔ)全下面的表格：

②若生產(chǎn)并銷售B 型車床比生產(chǎn)并銷售A 型車床獲得的利潤多70 萬元，問：生產(chǎn)并銷售B 型車床多少臺？

（2）當(dāng)0 ＜x≤14 時，設(shè)生產(chǎn)并銷售A，B 兩種型號車床獲得的總利潤為W萬元，如何分配生產(chǎn)并銷售A，B 兩種車床的數(shù)量，使獲得的總利潤W最大？并求出最大利潤。

簡析（1）①由題意知，生產(chǎn)并銷售B 型車床x臺時，生產(chǎn)并銷售A 型車床(14 -x)臺，當(dāng)x＞4時，每臺B型車床可以獲利[17 -(x-4)]=(21 -x)萬元，②由題意得方程10(14 -x)+70=[17 -(x-4)]x，解得x1=10，x2=21（舍去）；（2）當(dāng)0 ＜x≤4時，W=10(14-x)+17x，整理得W=3x+140，因?yàn)? ＞0，故當(dāng)x=4 時總利潤W最大，為3×4 +140=152（萬元）；當(dāng)x＞4 時，W=10(14 -x) +[17 -(x-4) ]x，整理得W=-x2+11x+140，因?yàn)?1 ＜0，所以當(dāng)x==5.5 時總利潤W最大，又由題意知x只能取整數(shù)，所以當(dāng)x=5或x=6時，總利潤W最大，為-52+11 × 5+140=170（萬元）。

點(diǎn)評綜合應(yīng)用性問題在突出綜合性的同時強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，這類問題一般注意聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，關(guān)注社會熱點(diǎn)，注重學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系和整合，能夠有效考查學(xué)生收集信息和處理信息的能力、模型轉(zhuǎn)化能力、分析綜合能力、計算和表達(dá)的能力。解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件，分析數(shù)量關(guān)系，靈活運(yùn)用分析法或綜合法把隱蔽的“中間問題”找出來，迅速地找到解題的切入點(diǎn)，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。

縱觀近幾年來全國各地的中考數(shù)學(xué)試題，通過歸類分析可知，應(yīng)用性問題的解題關(guān)鍵是：在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，利用已知條件，運(yùn)用方程（組）、不等式（組）、函數(shù)、統(tǒng)計初步、幾何等數(shù)學(xué)知識，分析實(shí)際問題中內(nèi)在的、本質(zhì)的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型解決問題。