☉陳時(shí)琰

數(shù)學(xué)語(yǔ)言能反映出學(xué)生的思維水平。在教學(xué)中，一方面學(xué)生需要從學(xué)會(huì)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)問(wèn)題這一渠道出發(fā)，逐漸發(fā)現(xiàn)思維存在的問(wèn)題；一方面學(xué)生需要接受系統(tǒng)的思維訓(xùn)練來(lái)優(yōu)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言應(yīng)用。部分鄉(xiāng)村學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較差、思維水平不高，他們需要教師給予專門(mén)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)訓(xùn)練。

一、結(jié)合模板學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)方法

雖然部分小學(xué)生不知道如何應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是他們擅長(zhǎng)模仿學(xué)習(xí)。在開(kāi)展教學(xué)時(shí)，學(xué)生可以結(jié)合教師給出的既有模板來(lái)描述數(shù)學(xué)問(wèn)題。在長(zhǎng)期接受模板訓(xùn)練，學(xué)生掌握了這種數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的方法以后，他們就能夠慢慢脫離模板，正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題。以《認(rèn)識(shí)人民幣》的教學(xué)為例［1］。

（一）描述問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系

部分學(xué)生在遇到生活中的問(wèn)題時(shí)，不知道怎么提取生活問(wèn)題中的數(shù)學(xué)材料，更不知道要用什么樣的語(yǔ)言來(lái)描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而導(dǎo)致部分學(xué)生不會(huì)在具體的情境中描述數(shù)學(xué)應(yīng)用題，也不會(huì)分析數(shù)學(xué)應(yīng)用題中給出的材料。教師需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)描述生活問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。

教師為學(xué)生展示出不同數(shù)額的人民幣圖片，圖片中包含大量50元、20元、10元和1元面值的人民幣和1分、2分，5分、1角、2角和5角的人民幣輔幣。然后教師建立以上模板。

問(wèn)題1：請(qǐng)說(shuō)出以上人民幣的面額。

以上人民幣的面額有50元、10元……（剩下由學(xué)生自己補(bǔ)充）

問(wèn)題2：請(qǐng)說(shuō)出以上不同面額人民幣的數(shù)量。

以上50元人民幣的面額共有（ ）張、20元人民幣面額共有（ ）張……（剩下由學(xué)生自己補(bǔ)充）

問(wèn)題3：以上的人民幣加起來(lái)有多少呢？

50元人民幣的面額共有（ ）張＋20元人民幣面額共有（ ）張＝（ ）元人民幣

問(wèn)題4：結(jié)合以上的學(xué)習(xí)案例，你覺(jué)得什么是提取數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生開(kāi)始思考和分析，結(jié)合以上的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他們認(rèn)為提煉數(shù)學(xué)材料中數(shù)量關(guān)系的方法，首先就是要了解他們需要探討一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，在人民幣數(shù)量問(wèn)題上，他們要探討的就是在情境中人民幣有多少?gòu)埢蚨嗌僭ń?、分）的?wèn)題。結(jié)合問(wèn)題探討的需求，他們需要提煉數(shù)學(xué)材料的數(shù)與量的信息。

部分小學(xué)生在探討數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，不能了解生活問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的差異，不會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述事物，于是他們的描述存在漏洞。在這一則案例中，教師應(yīng)用案例讓學(xué)生看到生活語(yǔ)言的描述和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的描述存在著差異。通過(guò)案例學(xué)生看到，他們?cè)谏钪忻枋鋈嗣駧庞袝r(shí)會(huì)說(shuō)：“這東西多少錢(qián)？”“這本書(shū)幾塊錢(qián)？”，在生活中人們常常默認(rèn)“錢(qián)幣”就是“人民幣”，而“塊”就是“元”的意思，而在數(shù)學(xué)問(wèn)題的探討中，數(shù)學(xué)語(yǔ)言要求學(xué)生應(yīng)用準(zhǔn)確、無(wú)歧義的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題，于是學(xué)生需要應(yīng)用正確的數(shù)學(xué)概念來(lái)描述事物。

（二）描述問(wèn)題的邏輯關(guān)聯(lián)

當(dāng)學(xué)生提煉出了數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系以后，學(xué)生需要建立數(shù)量關(guān)系的關(guān)聯(lián)。而這一環(huán)節(jié)的訓(xùn)練，能夠反映出學(xué)生數(shù)學(xué)建模的水平。在小學(xué)階段，學(xué)生需要學(xué)會(huì)應(yīng)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)算式建立數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)聯(lián)，完成數(shù)學(xué)問(wèn)題的描述。

例如，教師繼續(xù)展示不同人物手持不同面額人民幣的圖片，為學(xué)生建立模板：爸爸手中有15元、媽媽手中有28元，我手中有13元，請(qǐng)問(wèn)我們一家人加起來(lái)有多少元？然后引導(dǎo)學(xué)生明確：以上已知條件是什么，未知條件是什么，已知條件和未知條件的關(guān)系是什么……學(xué)生在教師的引導(dǎo)下說(shuō)數(shù)學(xué)問(wèn)題、說(shuō)算式。在學(xué)生掌握了應(yīng)用描述數(shù)學(xué)問(wèn)題模型的方法以后，教師為學(xué)生出示其它的圖片，學(xué)生需要通過(guò)遷移學(xué)習(xí)的方法來(lái)完成數(shù)學(xué)問(wèn)題的描述。

以往，學(xué)生常常應(yīng)用文學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述事物，這種描述方式與數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述存在差異。教師需要引導(dǎo)學(xué)生明白，不能應(yīng)用過(guò)多的修辭語(yǔ)言來(lái)描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，即學(xué)生不用描述與數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)關(guān)的事物信息，更不能夠在描述事物時(shí)模糊數(shù)量關(guān)系。學(xué)生需要應(yīng)用一套科學(xué)的邏輯說(shuō)明生活中事物的已知條件數(shù)量、未知答案的數(shù)量，然后能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)邏輯建立它們之間的關(guān)聯(lián)。

二、應(yīng)用科學(xué)思維輔助數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)

在描述一件事物時(shí)，學(xué)生需要學(xué)會(huì)應(yīng)用科學(xué)的思維來(lái)說(shuō)明這件事物的概念、性質(zhì)、特點(diǎn)等。而如果沒(méi)有科學(xué)的思維方法，學(xué)生是難以準(zhǔn)確地完成數(shù)學(xué)問(wèn)題的描述的。在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生需要先應(yīng)用科學(xué)思維完成問(wèn)題的描述，令事物的描述精煉、準(zhǔn)確、有邏輯［2］。現(xiàn)以《角的認(rèn)識(shí)》教學(xué)為例。

（一）說(shuō)概述

數(shù)學(xué)概念的描述，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重點(diǎn)。學(xué)生在探討數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要基于抽象化的概念作為依據(jù)來(lái)進(jìn)行探討，而不是基于某一個(gè)具象化的事物形象來(lái)進(jìn)行探討。假設(shè)學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)存在思維漏洞，那么他們?cè)谔接憜?wèn)題的過(guò)程會(huì)存在各種問(wèn)題。教師需要引導(dǎo)學(xué)生觀看一個(gè)具象化的案例，這個(gè)案例能夠呈現(xiàn)典型的數(shù)學(xué)概念，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作，以此強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，讓學(xué)生可以基于體驗(yàn)來(lái)理解概念。在學(xué)生認(rèn)識(shí)了概念的基礎(chǔ)上，教師需要引導(dǎo)學(xué)生思考概念形成的條件，以及條件與條件的邏輯關(guān)系。當(dāng)學(xué)生能夠應(yīng)用科學(xué)的邏輯來(lái)說(shuō)明概念以后，就意味著他們可以基于科學(xué)思維來(lái)認(rèn)知數(shù)學(xué)概念。

教師給出幾則案例，讓學(xué)生判斷案例中幾個(gè)三角形的三個(gè)角分別是什么樣的角？學(xué)生開(kāi)始用量角器來(lái)量出角的度數(shù)。學(xué)生經(jīng)過(guò)測(cè)量后，提出一個(gè)三角形的內(nèi)角分別為一個(gè)“直角”和兩個(gè)“銳角”。在這一環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)技能。接下來(lái)，教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)判斷依據(jù)。學(xué)生在分析判斷過(guò)程中，需要思考什么樣的角是“直角”，什么樣的角是“銳角”，在描述和思考的過(guò)程中形成概念。在完成概念學(xué)習(xí)后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中常見(jiàn)的“直角”與“銳角”的例子，共同分析生活中的“角”與幾何圖形中的“角”之間的差異，然后形成幾何圖形概念。通過(guò)這一則案例學(xué)習(xí)，學(xué)生從一則具象化的案例中理解了抽象化的“直角”與“銳角”的概念。

（二）講思辨

小學(xué)生的抽象思維不足，他們?cè)诜治龊徒鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中會(huì)存在各種思維漏洞。教師需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)典型的案例，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)辨析命題。在說(shuō)明自己思辨命題的過(guò)程中，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)存在的思維漏洞，然后學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)和交流，能夠提升自己的思維水平，從而提高知識(shí)認(rèn)知的水平。不同層次的學(xué)生思辨水平存在差異。在引導(dǎo)學(xué)生思辨數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師需要了解學(xué)生層次的差異，然后通過(guò)優(yōu)化教學(xué)組織，讓學(xué)生形成思維互補(bǔ)。

在教學(xué)中，教師讓學(xué)生以小組為單位，分工合作完成數(shù)學(xué)問(wèn)題判斷，學(xué)生在交流和探討數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)果的時(shí)候，形成思維互補(bǔ)。教師引導(dǎo)學(xué)生分析案例中幾個(gè)正方形圖形分割以后三角形的數(shù)量與分類判斷的問(wèn)題，學(xué)生需要結(jié)合學(xué)到的知識(shí)分析角可以怎么分類？分類的范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)是什么？不同分類的角有什么特征？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生應(yīng)用科學(xué)的思維一一完成辨析。學(xué)生思辨數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，就是讓學(xué)生應(yīng)用科學(xué)的思維去認(rèn)知，然后結(jié)合理論知識(shí)來(lái)分析和判斷數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。在思辨的過(guò)程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)自己的邏輯思維漏洞，繼而能夠?qū)W會(huì)應(yīng)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維來(lái)分析命題。

（三）成體系

學(xué)生完成理論知識(shí)以后，需要回顧學(xué)習(xí)過(guò)程。學(xué)生認(rèn)知思維的內(nèi)容為概念，學(xué)生完成這一階段的描述即完成認(rèn)知的學(xué)習(xí)，這是他們需要形成的理論體系；學(xué)生需要什么樣的技能來(lái)提出、思考問(wèn)題，這是學(xué)生需要形成的技能體系；學(xué)生需要結(jié)合問(wèn)題解決的需求掌握問(wèn)題判斷邏輯、計(jì)算方法，這是問(wèn)題體系。教師需要引導(dǎo)學(xué)生一邊應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)明，一邊應(yīng)用可視化圖形來(lái)呈現(xiàn)學(xué)生思維的過(guò)程，在完成了整個(gè)知識(shí)體系的描述以后，學(xué)生便能形成全面的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

學(xué)生把“角的認(rèn)知”知識(shí)體系、技術(shù)能系、問(wèn)題判斷的體系都呈現(xiàn)在圖1上。在這個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，為了避免遺漏系統(tǒng)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生以小組為單位，邊回顧，邊應(yīng)用思維導(dǎo)圖繪制知識(shí)形成、技能學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決的全部思維過(guò)程。在合作學(xué)習(xí)環(huán)境下，圖1呈現(xiàn)了小組成員關(guān)于“角的認(rèn)識(shí)”這一知識(shí)體系的建立。

圖1 “角的認(rèn)知”體系圖

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)剖析數(shù)學(xué)問(wèn)題

在了解了數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的方式以后，學(xué)生需要學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)剖析數(shù)學(xué)問(wèn)題。應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)圖形來(lái)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，能讓學(xué)生更加透徹地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，而避免發(fā)生數(shù)學(xué)問(wèn)題的歧義［3］。現(xiàn)以《百分比》的教學(xué)為例來(lái)說(shuō)明。

（一）應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言優(yōu)化數(shù)學(xué)材料的梳理

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生而言過(guò)于復(fù)雜，他們?cè)趹?yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言梳理材料的時(shí)候會(huì)犯錯(cuò)誤。他們需要通過(guò)學(xué)習(xí)把握數(shù)學(xué)材料分析的要點(diǎn)，從而才能理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言到底描述了什么樣的事物。抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的描述，理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的意思，能夠幫助學(xué)生審題，避免發(fā)生審題錯(cuò)誤。

以學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)為例。學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)百分比的應(yīng)用題：“女生有30人，是男生的3倍，男女生一共有多少人？”有些學(xué)生沒(méi)有認(rèn)真地分析習(xí)題，就給出答案30＋3＝33，33＋30＝63，男生和女生總共有63人。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言仔細(xì)分析數(shù)學(xué)材料，建立已經(jīng)條件和未知答案。通過(guò)分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)探討女生是男生的3倍，探討的是把女生人數(shù)視為一個(gè)整體，然后男生人數(shù)為30÷3＝10人，男女生一共有10＋30＝40人。通過(guò)這一次學(xué)習(xí)，學(xué)生意識(shí)到了在探討人的個(gè)數(shù)與人的倍數(shù)存在不同的差異。如果探討的是多3人，那么就要探討人數(shù)＋3，探討的是多3倍，就是探討人數(shù)×4。而如果應(yīng)用題中男生人數(shù)是女生人數(shù)的120%，那男生人數(shù)就是女生人數(shù)×120%。學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言探討問(wèn)題時(shí)，必須了解問(wèn)題探討的對(duì)象、另一個(gè)對(duì)象和這個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系、它們之間的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)。如果學(xué)生沒(méi)有準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的這三要素，就不能基于數(shù)學(xué)語(yǔ)言全面地梳理數(shù)學(xué)材料中的數(shù)量關(guān)系。

（二）結(jié)合問(wèn)題本質(zhì)理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)

部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題看似比較復(fù)雜，學(xué)生對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)語(yǔ)言難以理解它要表達(dá)的意思，教師就需要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用畫(huà)表格、畫(huà)圖形等方式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用圖形來(lái)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、用數(shù)據(jù)來(lái)分析數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的數(shù)量關(guān)系。應(yīng)用這樣的方式，學(xué)生能夠看到數(shù)學(xué)語(yǔ)言背后的本質(zhì)，從而理解這個(gè)具象化情境中指向的問(wèn)題。

例如，學(xué)生看到這樣一題（如圖2）：大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的n（n＞1）倍?，F(xiàn)小圓沿著大圓滾動(dòng)一周，大圓滾動(dòng)的圈數(shù)是小圓滾動(dòng)圈數(shù)的幾分之幾？部分學(xué)生初看到這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，會(huì)覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題很難。那么現(xiàn)在，學(xué)生在圖形上分析這個(gè)問(wèn)題：現(xiàn)在小圓沿著大圓滾動(dòng)一周，那么就意味著大圈有多長(zhǎng)，小圓無(wú)論滾多少圈，最終它的長(zhǎng)度會(huì)和大圓的圈數(shù)一樣長(zhǎng)。而題目給的已知條件是大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的n倍，那么小圓沿大圓轉(zhuǎn)一圈就意味著小圓轉(zhuǎn)了n圈。結(jié)合圖2顯示的已知條件可知大圓滾動(dòng)的圈數(shù)是小圓滾動(dòng)圈數(shù)的幾分之幾，就意味著小圓長(zhǎng)度÷大圓長(zhǎng)度×100%。通過(guò)這一次的學(xué)習(xí)，證明有些數(shù)學(xué)信息難以從文字上直接看出，運(yùn)用畫(huà)圖、繪表格等方法整理數(shù)學(xué)材料中的數(shù)量關(guān)系，就能比較容易地找到數(shù)學(xué)問(wèn)題的已知條件、未知答案、數(shù)學(xué)問(wèn)題關(guān)系的理論知識(shí)指向。

圖2 大小圓具象化情境感知數(shù)量關(guān)系

四、總結(jié)

數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。學(xué)生是否能夠理解和詮釋數(shù)學(xué)語(yǔ)言，決定著學(xué)生是不是能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)思維來(lái)理解問(wèn)題。受到環(huán)境的制約，很多鄉(xiāng)村學(xué)生在小學(xué)時(shí)期沒(méi)有夯實(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言基礎(chǔ)，于是教師需要重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)。教師在開(kāi)展數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)時(shí)，要幫助學(xué)生打下說(shuō)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基礎(chǔ)，讓學(xué)生能夠從提煉數(shù)學(xué)材料的數(shù)量及建立數(shù)學(xué)材料關(guān)系的層面來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)；教師要引導(dǎo)學(xué)生從理解、辨析數(shù)學(xué)概念及建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系的角度來(lái)掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言背后呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維；教師要能從應(yīng)用的角度熟悉數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)方法及它的理論指向。