廣州第七中學數(shù)學科(510080) 陳武生 陸曼麗

1 學生作業(yè)的一道題

設銳角ΔABC 的內角A,B,C 所對的邊分別為a,b,c,若的取值范圍.

由于這題的作答情況不理想,出現(xiàn)了各種問題(基本功不扎實、方法不合理等),所以想用一節(jié)課專門講這道題.

2 問題分析

本題涉及內角范圍的確定,邊角轉化,以及如何合理處理目標b2+c2+bc,最后是如何轉化為一個角的三角函數(shù)問題.應該說切入口很寬.很考學生的基本功.

3 課堂教學實錄(節(jié)選)

師: 作業(yè)中這道題,做得不是很理想,今天,我們再次征戰(zhàn)這道題,請同學生拿出紙,重做這道題.

師: 好,經過10 分鐘時間,有一部分同學做出了這題,有還不少同學沒有完成.我們一起來分析一下.

(1)從問題的設置來說,解題目標b2+c2+bc 的處理,是第一個關口.直接邊化角,會出現(xiàn)角B、C 的正弦的平方的化簡問題,通常會無功而返.從結構來看,余弦定理的出場顯得很合時宜.

問1: 請大家思考, 有沒有別的手段進行化簡? 聯(lián)想所學公式, 有哪些公式涉及兩角的正弦的積? (生作答:cos(B+C))

問2: cos(B+C)展式中,除了sin B sin C,還有什么? 能不能消除? )

問3: 你看你就得到了一個積化和差公式.

學生嘗試后,大獲喜悅,這減少不少計算量,而且公式也不用背.

問4: 如果此處改為: cos B cos C 呢?

問5: 如果改為: sin B cos C 呢?

(學生都找到了問題的答案,此處略)

師生總結: 積化和差公式,本質上是利用A+B 與A-B的展式中的對偶性,利用方程組的思想進行構造解決的.

(3)解決bc 的范圍問題,只有化為角一條路嗎?

學生回答: 因為用基本不等式,只能得到范圍的一端,而兩邊之和大于第三邊,又會把鈍角的情況包括進來.

問1: 能不能解決它是銳角三角形這個限制問題?

生: 我只想到這樣做: 如圖1.我覺得當A 在BC 中垂線與圓的交點時, bc 有最大值; 當A移動到A′且A′C 垂直于BC時,bc 有最小值.

問2: 為什么一個取到最大值一個取到最小值?

生: 初中時這樣做過,理由我不知道.

問3: 你這是用數(shù)形結合的辦法作為切入點,很好.特別是兩個特殊位置把握得很到位.只是bc 作為邊長的積,沒有什么明顯的幾何意義作為呼應,很可惜.你認為有沒有可能bc 也可以有明確的幾何意義的嗎?

師: 很利害哦.這算是“無中生有”吧.生大笑.如何準確的表達,我們需要注意,讓看我們答案的人一下子就知道我們在講什么,你認為要講清哪幾點最重要?

生:“無中生有”最重要,當然還有面積的變化,在底BC不變的情況下,主要看高,又受銳角三角形的限制,點A 能移動的位置也被限制,這樣就可以了.(師生板書略)

(4)面積改周長

問4: 如果改為求周長的范圍呢?

生: 那相當于求b+c 的范圍,我想用基本不等式(其它學生提醒只能求一端),再用兩邊之和大于第三邊.

問5: 這能排除鈍(直)角三角形的情況嗎?

生: 不能,但我可以按剛才的圖解.

問6: 為什么這時候兩個特殊位置對應著兩個取值范圍的端點呢?

生: 這個我沒想過,但我覺得是對的.(其它生笑)

師: 看來這題我們只能轉化為角: 2R(sin B +sin C)來解了.這個大家都會吧? (會)有沒有快捷方法化簡呢? 這個問題給大家課后解決啊.我還是不死心,為什么b+c 就沒有幾何意義呢? 它不能象bc 那樣可以和面積聯(lián)系在一起.

問7: b+c 表面看來是兩條折線的和,無法解決剛才的問題.你能不能給b+c 賦予一定的幾何意義? 它和面積有關嗎?

生: 怎么可能和面積有關?

生: 我想,b+c 與bc,它們的關系,只能靠平方來解決,但(b+c)2=b2+c2+2bc,但那平方和不知怎么想.

生: 你把它用余弦定理解就行了,對了,和原來的問題是一樣了.(b+c)2=b2+c2+2bc=3+3bc,接下來就可以轉化為之前的問題了.(全班學生鼓掌)

不知不覺,一節(jié)課時間到了.

師: 這節(jié)課,我們對一道作業(yè)題,進行了多方面多角度的分析與研究,做過的題,你再想想,總是還有一些問題有待解決.所以,請多多回顧一些典型的題,從不同角度,不同切入點考慮,“明知山有虎,偏向虎山行”.知此可為,知彼不可為,如庖丁解牛.則你距離成功更近了.

這題如果再作一些變化,又會怎么樣呢? 請你試試.

4 課后反思

這算是一節(jié)習題課,以作業(yè)中出現(xiàn)的典型問題為切入點,試圖解決一些學生重做題輕反思總結的不良習慣,通過問題串,層層引導,不斷的在學生困惑或思維受阻時,利用設問、反問等手段引起學生的進一步思考,在這個過程中,提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).個人認為,讓數(shù)學課多點數(shù)學味道,在學生的最近發(fā)展區(qū)進行設問,既有效鞏固了知識與方法,又提高了學生的學習興趣,有利于學生形成解題后反思的習慣.