廣東省云浮市云浮中學(527300) 黎 麗

“隱圓問題”是近年來中考熱點問題,是以動點的軌跡問題及線段最值問題為載體,考查學生數(shù)學建模和邏輯推理能力,對學生的數(shù)學思維提出更高的要求.廣東中考數(shù)學考卷2020年與2021年連續(xù)兩年的第17 題都考查了“借助隱圓求線段最值”的動態(tài)問題,那么如何在題設條件發(fā)現(xiàn)隱藏的圓呢? 怎樣借助圓的知識進行解題呢? 本文基于數(shù)學核心素養(yǎng)數(shù)學建模思想的理解,對中考數(shù)學考卷出現(xiàn)的新題型“隱圓”問題進行剖析,歸納概括解決這類問題的策略: 理解題意→剖析問題→建立模型→驗證模型→應用模型,幫助學生建立解決隱圓問題的思維路徑.

1 隱圓問題的歸類

學生要解決“隱圓問題”,必要的知識儲備不可少,在題目中沒有給出圓的有關信息時,需要對教材中圓的定義與性質(zhì)的有深刻的理解,通過對題意的深度思考,發(fā)現(xiàn)隱藏的圓,并能結(jié)合圓的相關知識進行解答.筆者分析近年來中考考題,可把隱圓問題分為以下類型: (1)定點定長;(2)定弦對定角;(3)直角所對的直徑;(4)四點共圓.本文重點探討定點定長、定弦定角這兩種類型的“隱圓求最值問題”.

2 中考試題剖析

2.1 定點定長問題

根據(jù)圓定義,平面上到定點距離等于定長的點的集合叫圓,這是找出隱圓的其中一個依據(jù).

例1(2020年廣東)有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑,一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠,等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點,模型如圖,∠ABC = 90°,點M,N 分別在射線BA,BC 上,MN 長度始終保持不變,MN = 4,E 為MN 的中點,點D 到BA,BC 的距離分別為4 和2.在此滑動過程中,貓與老鼠的距離DE 的最小值為____.

圖1

(1)分析題意

已知ΔBMN 是直角三角形,B、D 是定點,梯子MN是動線,老鼠E 位于MN 的中點,隨著MN 的位置變化而變化,E 是動點,因此DE 也是動線段.

未知梯子MN 在滑動的過程中老鼠E 的運動軌跡.

目標貓離老鼠最近時DE 的最短距離.

(2)問題剖析

問題1老鼠E 運動軌跡是是什么,是如何產(chǎn)生的?

問題2思考老鼠E 在何處時,DE 最短,你如何聯(lián)系到已學的知識.

(3)建立模型

如圖2 所示, E 是RtΔBMN 中斜邊MN 的中點,連接BE, 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得= 2, 根據(jù)圓的定義, B 是定點, 動點E 的運動軌跡是以點B 為圓心2 為半徑的圓弧HN.

圖2

(4)驗證模型

E 在圓弧HN 上運動, 由三角形三邊關系可知BD ≤BE + DE, 因此當B、E、D 三點共線時, DE 最短.連接BD 交圓弧交于點F, 當E 與F 重合時, 則DF 的長度即為所求的最小值.如圖2 所示, 過點D作DH⊥AB 于點H, 則DH = 4,BH = 2, 由勾股定理可得所以

點評本題中考數(shù)學填空壓軸題第17 題,是全卷難度的一個小高峰.題目的背景是一個“貓捉老鼠”的故事,用簡煉的數(shù)學語言描述情景,貼近實際生活,題型新穎,是一道有區(qū)分度的好題.這道題要求學生有勾股定理、圓、最短路徑等知識儲備.本題的關鍵在于畫出老鼠E 的運動軌跡是到定點B的距離等于定長2 的“隱圓”.

(5)應用模型

變式訓練如圖3,∠MON =90°,矩形ABCD 的頂點A,B 分別在邊OM、ON 上,當點B 在邊ON 上運動時,點A 隨之在OM 上運動,矩形ABCD 的形狀保持不變,其中AB =8,BC =2.在運動過程中點D 到點O 的最大距離為______.

圖3

分析觀察題目條件,在RtΔAOB 中,取AB 的中點E,連接OD,OE,DE, 可得OE == 4, 可知OE 是定長,可把問題轉(zhuǎn)化為新的以E 為定點,以O 為動點之間的距離最大值, 可以建立模型, 以E 為圓心, OE 的長為半徑作圓(見圖4).OE、DE、OD 構成一個三角形,根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊,,因此當O、E、D 三點共線時,OD最大(見圖5).而四邊形ABCD 是矩形, AD = BC = 2,∠DAB = 90°,可得DE =即點D到點O 的最大距離=OE+DE =4+

圖4

圖5

2.2 定弦定角

根據(jù)圓周角定理,在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弦相等,可以構造“隱圓”.

例2(2021年廣東) 在ΔABC 中, ∠ABC = 90°,AB = 2,BC = 3.點D 為平面上一個動點,∠ADB = 45°,則線段CD 長度的最小值為____.

(1)分析題意

已知在RtΔABC 中, AB 是定長, ∠ADB 是定角, D是動點.

未知動點D 的運動軌跡.

目標求線段CD 的最小值.

(2)問題剖析

問題1動點D 是如何產(chǎn)生的? 運動軌跡是什么?

問題2動點D 在何處時,CD 最短,你能否聯(lián)系到已學的知識?

(3)建立模型

如圖6 所示,畫線段AB =2,任意取點D,作∠ADB =45°,根據(jù)定弦定角,A、B、D 三點共圓,作ΔABD 的外接圓O,D 的運動軌跡在ΔABD 的外接圓O 的圓周上.

圖6

(4)驗證模型

如圖7 所示,點D 在⊙O 上運動,因求CD 最小值,故圓心O 在AB 的右側(cè),連接OC,當O、D、C 三點共線時,CD 的值最小.連接AO、BO、DO、CD、OC,因為∠ADB = 45°,得出∠AOB = 90°, 因為OA = OB, 可得ΔOAB 是等腰直角三角形, 因為OA = OB =過O作OF ⊥BC 于F, 得得出FC =BC-BF =2,所以由三角形三邊關系知OD+CD ≥OC,當點D 運動到OC 與⊙O 的交點E 時,CD 的值最小,最小值為

圖7

點評本題沒有給出圖,要求學生自己畫圖,難度較大,綜合性強,是典型的定弦定角隱圓問題.解題的關鍵是如何確定D 點的運動軌跡,這道題要結(jié)合點與圓的位置關系、勾股定理、圓周角定理等相關知識知識進行推理,通過層層推導,撥開迷霧,有種山重水復疑無路,柳岸花明又一村的感覺.

(5)應用模型

變式訓練如圖8 所示,正方形ABCD 的邊長為4,點E、F 分別是BC,CD 上的一動點,且BE = CF,連結(jié)AE,BF,兩線交于點P,連接CP,則CP 的最小值是____.

分析由題意可證明ΔABEΔBCF, 即可得到∠APB = 90°是定角, AB 是定弦, 且可推出AB 是直徑.根據(jù)定弦定角建立模型,取AB 中點H 得點P 在以點H 為圓心, 以HP 為半徑的半圓上運動(見圖9) , 連接HP、CH, 則在ΔHPC 中, 根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊, CH ≤HP + PC, 因此當H、P、C 在同一條直線上時, CP 取最小值, 依據(jù)HP 與CH 的長,RtΔBCH 中,求得HC =即可得出CP 的最小值=HC -HP =

3 數(shù)學思考

本文從廣東中考數(shù)學近兩年考卷中的“隱圓求線段最值”熱點問題切入,立足數(shù)學核心素養(yǎng),重視培養(yǎng)學生建模思想,引導學生通過觀察分析問題條件和信息,引發(fā)學生深度思考,經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、類比、抽象、概括等思維過程,透過問題表象發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì),回歸知識原點(定點定長→圓的定義,定弦定角→圓的性質(zhì)),建構出“隱圓求線段最值”的數(shù)學模型.透過直觀可視的數(shù)學模型,對模型進行邏輯推理并論證模型的正確性,再通過變式訓練,強化學生模型意識,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維,歸納概括出隱圓問題解題策略,分為五個步驟: 理解題意→剖析問題→建立模型→驗證模型→應用模型,完整清晰的呈現(xiàn)模型解題教學的全過程,幫助學生建立的解思隱圓問題的思維路徑.