華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院(510631) 葉秀錦 劉潤濤

利用函數(shù)的凹凸性證明不等式是一種比較常用的手段,也有較多的文章對此進(jìn)行研究.絕大多數(shù)研究都是應(yīng)用Jensen不等式研究上凸函數(shù)的最大值和下凸函數(shù)的最小值問題[1-2].而上凸函數(shù)求最小值,下凸函數(shù)求最大值問題研究甚少.本文探究上凸函數(shù)的最小值和下凸函數(shù)的最大值問題.

1 預(yù)備知識

引理1對于任意a≤x1≤x2≤x3≤x4≤b,x1+ x4= x2+ x3.若f(x)在[a,b]為下凸函數(shù),則有:f (x1) + f (x4)≥f (x2) + f (x3).等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x1= x2= x3= x4.

引理2對于任意a≤x1≤x2≤x3≤x4≤b,x1+ x4= x2+ x3.若f(x)在[a,b]為上凸函數(shù),則有: f(x1) + f(x4)≤f(x2) + f(x3).等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x1= x2= x3= x4.

引理1和引理3的證明見文獻(xiàn)[3],引理2和引理4是引理1和引理3的對偶形式,類似可證.

2 本文結(jié)論及證明

由引理3知:

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)yi(1≤i≤k)中有u個lnb, 1個ln(av),k-u-1個lna,即xi(1≤i≤k)中有u個b,1個av,k-u-1個a.

(2)是(1)的對偶形式,類似可證.

證明(2)是(1)的對偶形式, (4)是(3)的對偶形式,類似可證.下面僅證明(1)和(3).

(1) lnf (x)是下凸函數(shù),由引理3,有:

(3) ln(-f (x))是下凸函數(shù),由引理3,有:

證明(2)是(1)的對偶形式, (4)是(3)的對偶形式,類似可證.下面僅證明(1)和(3).

由引理3知:

即

當(dāng)k是偶數(shù)時,

當(dāng)k是奇數(shù)時,

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)xi(1≤i≤k)中有u個b, 1個av,k - u - 1個a.

3 定理的應(yīng)用

應(yīng)用定理1-3可以命制一些有難度較大的題目,比如,以下問題: