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        新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)的低頻跳躍穩(wěn)定性分析

        2022-10-09 09:02:54王勝杰韓翻珍郭翔鷹
        關(guān)鍵詞:模態(tài)結(jié)構(gòu)分析

        王勝杰, 韓翻珍, 郭翔鷹

        (1.北京工業(yè)大學(xué) 材料與制造學(xué)部, 北京 100124; 2.國家知識(shí)產(chǎn)權(quán)局專利局, 北京 100088)

        雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)具有2個(gè)穩(wěn)定的平衡態(tài),當(dāng)外界輸入載荷達(dá)到其跳躍突變所需的臨界值時(shí),將從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)跳躍突變到另一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài),從而實(shí)現(xiàn)能量的轉(zhuǎn)移及消耗。雙穩(wěn)態(tài)可通過磁鐵、彈簧、屈曲梁等結(jié)構(gòu)產(chǎn)生,由于屈曲梁結(jié)構(gòu)質(zhì)量輕、體積小、適應(yīng)性強(qiáng),以及雙穩(wěn)態(tài)跳躍位移大等特性,受到學(xué)者們的廣泛青睞,用在能量吸收和耗散的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中[1-2],尤其在能量采集[3-4]、隔振[5-6]等機(jī)械裝置[7-9]方面有了大量的研究報(bào)道。Vangbo[10]建立了一個(gè)理論模型來跟蹤雙夾緊預(yù)壓屈曲梁在中心力作用下的快速跳變路徑。趙和賈等[11-12]基于廣義變分原理,借助半純函數(shù)公式解析地給出了預(yù)壓屈曲梁雙穩(wěn)態(tài)跳躍過程中橫向力與位移間的非線性關(guān)系式。Camescasse等[13-14]對(duì)雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁的跳變機(jī)制進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,分析了梁受到中心載荷和偏心載荷作用下的力與位移的關(guān)系,研究了力的施加點(diǎn)對(duì)靜態(tài)分叉的影響,并得到了分叉驅(qū)動(dòng)力的最小值。Su等[15]研究了力矩輸入驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁,建立了理論模型預(yù)測(cè)必要的輸入力矩,并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。肖和黃[16]對(duì)帶有初始小撓度的兩端固支屈曲梁進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)在初始小撓度屈曲下,梁的反對(duì)稱模態(tài)并未被激發(fā); 而隨著外激勵(lì)力的變化,系統(tǒng)會(huì)發(fā)生倍周期分岔和鞍結(jié)分岔,導(dǎo)致解的突變。Jin等[17]理論分析了石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料板后屈曲夾層梁的非線性彎曲和強(qiáng)迫振動(dòng),得到了不同軸向壓縮條件下彎曲缺陷靈敏度和主共振特性。此外,還有一些學(xué)者通過設(shè)計(jì)不同的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)形式的快速跳變[18-19],用于振動(dòng)能量的俘獲和采集[20-21]。

        目前雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)大部分用于俘能裝置的設(shè)計(jì)中,將雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)用于吸振裝置方面報(bào)道比較少。本文主要探索新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)跳變的最小勢(shì)能阱,分析隨著中間鉸支約束位置變化時(shí),雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁發(fā)生跳變的最小力矩變化趨勢(shì)。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)在低頻外部激勵(lì)下的跳變,并分析能產(chǎn)生良好跳變的頻率范圍。

        1 新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁理論模型

        基于Euler-Bernoulli梁模型,考慮小撓度假設(shè),建立如圖1所示雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁模型。考慮彈性簡(jiǎn)支邊界條件,并在梁中間施加鉸支約束,無外力作用時(shí)如圖1(a)所示,梁原始長度為L0。沿x軸兩端施加相同的軸向壓力P,當(dāng)壓力大于其臨界屈曲載荷時(shí)梁會(huì)發(fā)生屈曲,被壓縮為L,被壓縮長度為d0,軸向壓縮比為η=d0/L0。在移動(dòng)鉸支處施加驅(qū)動(dòng)力矩,誘導(dǎo)屈曲梁產(chǎn)生跳變。屈曲梁的2個(gè)穩(wěn)定平衡狀態(tài)如圖1(b)Ⅰ位置和Ⅱ位置所示。

        圖1 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁的理論示意Fig.1 Schematic diagram of pre-compressed bistable buckling beam theory

        根據(jù)Euler-Bernoulli梁模型,梁的抗彎剛度為EI,抗拉模量為EA,在軸向壓力P作用下梁的控制方程為:

        w(4)+n2w″=0

        (1)

        式中:w為梁的橫向位移;n2=P/EI;E為楊氏模量;I為梁的慣性矩。

        當(dāng)x=xM時(shí),簡(jiǎn)支梁的邊界條件為:

        (2)

        將邊界條件代入梁的控制方程(1)可得梁的振型函數(shù)為:

        (3)

        考慮驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)屈曲梁跳變的影響,屈曲梁在2個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)間跳變表示為梁的不同階屈曲模態(tài)的疊加:

        (4)

        首先,通過能量法來求解雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁在2個(gè)穩(wěn)態(tài)之間的跳躍突變行為,在軸向壓力和外加力矩作用下,系統(tǒng)的總勢(shì)量為:

        U=Ub+Up+UM

        (5)

        式中Ub表示彎曲勢(shì)能:

        (6)

        (7)

        壓縮勢(shì)能由胡克定律給出,表示為:

        (8)

        驅(qū)動(dòng)力矩所做的功表示為:

        UM=-Mw′(xM)

        (9)

        當(dāng)無中間鉸支約束時(shí),屈曲梁主要產(chǎn)生一階屈曲,產(chǎn)生高階屈曲比較困難且不穩(wěn)定。本設(shè)計(jì)通過中間鉸支約束,使簡(jiǎn)支屈曲梁能在一階頻率附近產(chǎn)生穩(wěn)定的二階屈曲雙穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,而其他階屈曲模態(tài)對(duì)其跳變行為影響較小。此時(shí),只需要取其一階屈曲模態(tài)函數(shù)就足以表明梁的穩(wěn)態(tài)跳變行為,其屈曲形狀函數(shù)為:

        (10)

        將式(10)代入勢(shì)能方程(5),即可求得系統(tǒng)的總勢(shì)能。由于梁的平衡狀態(tài)發(fā)生在勢(shì)能最小的位置,因此必須求出最小勢(shì)能的解a1,即求解

        ?U/?a1=0

        (11)

        這樣求出a1的同時(shí),得到相應(yīng)屈曲函數(shù)w1(x)。然后將求解出來的a1代回方程(10)再結(jié)合梁長的約束方程,即可求得使雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁跳躍突變的最小驅(qū)動(dòng)力和移動(dòng)鉸支位置之間的關(guān)系式:

        (12)

        考慮移動(dòng)鉸支位置變化時(shí),簡(jiǎn)支梁發(fā)生二階屈曲的最小力矩變化情況,取正交鋪設(shè)的碳纖維梁為研究對(duì)象,其中材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1。

        表1 梁的材料和尺寸參數(shù)Table1 Material and dimensional parameters of the beam

        本文研究了驅(qū)動(dòng)位置在0~L/2內(nèi),驅(qū)動(dòng)力矩隨驅(qū)動(dòng)位置的變化情況,將表1材料參數(shù)代入方程(11)即可求出不同位置處梁發(fā)生跳變的最小驅(qū)動(dòng)力矩,得到最小驅(qū)動(dòng)力矩和驅(qū)動(dòng)位置的之間的關(guān)系,如圖2所示。

        圖2 最小驅(qū)動(dòng)力矩與力矩作用位置的關(guān)系Fig.2 Critical actuation moment versus position of applied moment

        圖2中顯示了在相同壓縮條件下最小驅(qū)動(dòng)力矩與驅(qū)動(dòng)位置的關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)驅(qū)動(dòng)位置接近梁的末端時(shí),驅(qū)動(dòng)力矩將會(huì)變得無窮大,當(dāng)驅(qū)動(dòng)位置接近梁的中點(diǎn)時(shí),僅需要一個(gè)很小的驅(qū)動(dòng)力矩就可以使屈曲梁發(fā)生跳變,此時(shí)的驅(qū)動(dòng)力矩為0.26 N·m。

        2 屈曲梁有限元仿真分析

        通過有限元分析驗(yàn)證理論分析結(jié)果,建立圖1所示的雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁模型,其材料參數(shù)同表1相同。以xM=L/2位置為例,對(duì)施加鉸支約束的彈性梁進(jìn)行屈曲分析,首先對(duì)梁進(jìn)行線性屈曲分析,得到彈性梁屈曲的臨界屈曲載荷大小,求得臨界屈曲載荷后,對(duì)梁施加預(yù)壓軸向力(大于臨界屈曲載荷)或者軸向位移,并在梁中點(diǎn)鉸支處施加一個(gè)極小的初始轉(zhuǎn)角,使彈性直梁發(fā)生屈曲,彈性梁后屈曲狀態(tài)如圖3所示。

        圖3 彈性梁后屈曲Fig.3 Post-buckling beam

        接著對(duì)此屈曲梁進(jìn)行模態(tài)分析,得到簡(jiǎn)支梁前三階固有頻率分別為11.429、127.07、390.42 Hz,得到前三階模態(tài)振型如圖4所示,發(fā)現(xiàn)在一階固有頻率附近能產(chǎn)生穩(wěn)定的二階屈曲雙穩(wěn)態(tài)構(gòu)型,所以雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁可以在較低頻率范圍內(nèi)進(jìn)行跳躍突變。

        最后,基于上述模型,當(dāng)鉸支約束位置不同時(shí),在鉸支約束處施加較小的驅(qū)動(dòng)力矩,模擬預(yù)壓雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁的跳轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程,使其從初始位置跳躍到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)位置,跳躍突變過程示意圖如圖5所示,發(fā)現(xiàn)在外部驅(qū)動(dòng)力矩作用下,雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁可以產(chǎn)生跳躍突變。此時(shí)施加的驅(qū)動(dòng)力矩大小分別為0.309、0.291、0.274 N·m。

        通過仿真可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)移動(dòng)鉸支座移動(dòng)到梁的中點(diǎn)時(shí),所需要的驅(qū)動(dòng)力矩最小,與理論計(jì)算結(jié)果基本一致。

        3 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁跳躍突變實(shí)驗(yàn)

        為了驗(yàn)證外力矩對(duì)新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定跳變的影響,設(shè)計(jì)如圖6所示的實(shí)驗(yàn)裝置,基于理論和仿真分析,以xM=L/2為例,建立如圖5所示實(shí)驗(yàn)?zāi)P?,其中由質(zhì)量塊和扭轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)提供屈曲梁跳躍突變的驅(qū)動(dòng)力矩。

        圖4 前三階模態(tài)振型Fig.4 The first three mode shapes

        隨著外部激勵(lì)幅值的增加,當(dāng)扭轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)吸收的能量大于雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁的勢(shì)能壁壘時(shí),雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁發(fā)生跳躍突變,屈曲梁從第一/第二穩(wěn)定構(gòu)型轉(zhuǎn)變?yōu)榈诙?第一穩(wěn)定構(gòu)型。由于能量的突然釋放,在2個(gè)穩(wěn)態(tài)之間進(jìn)行跳變時(shí)會(huì)引起屈曲梁的高頻振動(dòng),從而將外部輸入能量轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)態(tài)之間進(jìn)行跳躍突變的能量。

        為了進(jìn)一步評(píng)估所提出的解析模型和有限元分析的可靠性,本文搭建了一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置來驗(yàn)證屈曲梁的跳躍突變特性。如圖7所示,將所建立的實(shí)驗(yàn)?zāi)P头胖迷谛吞?hào)JZK-5T的激振器上,信號(hào)輸入系統(tǒng)由YE1311信號(hào)發(fā)生器和YE5874功率放大器組成,信號(hào)采集系統(tǒng)由計(jì)算機(jī)、信號(hào)采及分析儀和加速度傳感器構(gòu)成。

        首先對(duì)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了掃頻分析,發(fā)現(xiàn)在8~13、31和88 Hz附近有一個(gè)共振峰,說明在此頻段附近結(jié)構(gòu)與外激勵(lì)頻率發(fā)生了共振。為了觀察屈曲梁在不同頻率激勵(lì)作用下的跳躍突變行為,通過激振器給所建實(shí)驗(yàn)?zāi)P褪┘硬煌l率的外部激勵(lì),觀察屈曲梁在不同頻率激勵(lì)作用下的跳躍突變行為,并用加速度傳感器來記錄雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁最高點(diǎn)在跳躍突變過程中的加速度變化,通過積分變換,得到屈曲梁最高點(diǎn)的位移變化歷程。

        圖5 不同作用位置驅(qū)動(dòng)力矩作用下的跳躍突變過程Fig.5 Snap through process under the concentrated moment

        分別對(duì)頻率范圍為8~15 Hz,激勵(lì)力幅值為2 vpp外部干擾下,雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁最高點(diǎn)的加速度進(jìn)行了采集分析,通過積分變換得到時(shí)間位移曲線如圖8所示。

        由上述時(shí)間位移圖可以看出,新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)在低于8 Hz和超過15 Hz外部激勵(lì)下,并不會(huì)發(fā)生跳躍突變行為,只是做簡(jiǎn)單的微幅振動(dòng),而在9~14 Hz屈曲梁在扭轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的帶動(dòng)下開始發(fā)生跳變,但在9~12 Hz時(shí)雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁在反向跳變時(shí)會(huì)出現(xiàn)微弱的遲滯現(xiàn)象,是因?yàn)橹亓ψ饔糜绊懴?,扭轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)在回到初始位置時(shí),會(huì)有一部分能量耗散。因此可以在此頻率區(qū)間內(nèi)進(jìn)行雙穩(wěn)態(tài)吸振結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。在13~14 Hz時(shí)外激勵(lì)頻率與雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了共振,雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁進(jìn)行穩(wěn)定的跳躍突變,在此頻率區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行俘能結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。

        圖6 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)Fig.6 Bistable buckling beam structure

        注:1.YE5874功率放大器,2.YE1311信號(hào)發(fā)生器,3.信號(hào)采及分析儀,4.計(jì)算機(jī),5.加速度傳感器,6.雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁跳轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu),7.JZK-5T激振器圖7 實(shí)驗(yàn)設(shè)備Fig.7 Experimental equipment

        目前僅對(duì)xM=L/2位置下受驅(qū)動(dòng)力矩的雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,對(duì)于隨著驅(qū)動(dòng)力矩位置的改變,雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁是否能夠在更寬的低頻范圍內(nèi)進(jìn)行跳躍突變,仍需要進(jìn)一步研究。

        圖8 不同頻率下雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁最高點(diǎn)的時(shí)間位移曲線Fig.8 Time-displacement curves of the highest point of a bistable buckling beam at different frequencies

        4 結(jié)論

        1)理論分析了新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)的跳躍突變特性,并通過仿真分析驗(yàn)證了可行性,為新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù);

        2)實(shí)驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)在低頻外部激勵(lì)下發(fā)生了快速跳轉(zhuǎn),為低頻減振和俘能結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了新的思路。

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