楊帥， 李昌清， 賴虹君， 王艷鋒

(1.安陽師范學院 建筑工程學院，河南 安陽 455000； 2.天津大學 機械工程學院， 天津 300350)

聲子晶體是一種周期性排列的多相結構。由于其特有的物理特性，近些年受到了廣泛的關注和研究[1-5],其中最引人注目的是能夠操控彈性波的能力。通過單元結構的設計，可以較為自由地實現(xiàn)波的局域化、負折射、定向傳播等奇異的物理特性。這些特性在吸聲降噪[6-7]、振動控制[8-9]、聲隱身斗篷[10-11]、聲整流器件[12-13]等諸多領域具有廣闊的應用前景。聲子晶體在新效應、新特性等方面的研究極大地提高人們對聲波的控制能力，有望實現(xiàn)功能器件性能的極大提升，為民用、軍用高端裝備及工業(yè)設備的設計帶來巨大變革。本文研究了由工字型鋼柱正方排列在空氣中組成的聲子晶體的波動特性，討論了波在完好聲子晶體中產(chǎn)生的負折射效應，并通過引入缺陷，分析了線性波導和耦合共振波導中導波的傳播特性。

1 幾何模型和計算方法

本文考慮工字型鋼正方排列在空氣中，如圖1所示。其中單胞幾何參數(shù)為：晶格常數(shù)a0=2 cm，工字型鋼由3個相同的矩形組合而成，L=1.4 cm，t=0.2 cm。鋼的密度ρs=7 800 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.275。空氣的密度ρa=1.25 kg/m3，波速c=343 m/s。

機械波在固體中的傳播形式為矢量波(可以分為縱波和橫波)，而在流體中的傳播形式為標量波(只有縱波)。因此，在計算流固耦合型聲子晶體的能帶結構時，不僅要將整個區(qū)域分為流體和固體區(qū)域，而且要在流固連接處建立合理的邊界條件以滿足實際情況。在流固界面法向位移和力連續(xù)，即：

Us·n=Uf·n

(1)

p·n=σ·n

(2)

式中：Us、Uf分別為固體和流體中的位移；n為流固界面的法向向量；p為界面處流體壓強；σ為界面處固體的應力張量。因為流固體系具有相同周期的函數(shù)，根據(jù)Bloch定理，邊界上應滿足：

Us(r+a)=ei(k·a)Us(r)

(3)

p(r+a)=ei(k·a)p(r)

(4)

對于二維聲子晶體，r=(x，y)為位置矢量；k=(kx，ky)為波矢且被限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)(圖1所示)。

目前，計算聲子晶體的方法有很多，比如傳遞矩陣法，平面波展開法，時域有限差分法，多重散射法和有限元法等[14]。其中有限元法在適用性、計算速度、精確度及收斂性等方面有著明顯的優(yōu)越性而被廣泛應用。本文采用有限元軟件Comsol Multiphysics進行計算。單胞內(nèi)特征方程的離散形式為：

(K-ω2M)U=0

(5)

式中：U是節(jié)點位移；K和M分別是剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。需要說明的是，由于工字型散射體是長方形對稱，故第一布里淵區(qū)與正方晶格的結果有些區(qū)別，如圖1(c)所示。將波矢k遍歷圖1(c)所示的第一布里淵區(qū)進行計算，就可得到能帶結構。

2 數(shù)值仿真結果

2.1 能帶結構和響應譜

首先計算了圖1所示聲子晶體的能帶結構，如圖2(a)所示。同時，圖中還給出了ΓX方向和ΓY方向含8個單胞有限結構的響應譜。分別在有限結構的一側邊界處施加一個長度為l的線源激勵，在結構另一邊拾取響應。為了消除反射的影響，在接收端加入完美匹配層。結構的響應值為：

(6)

式中|pt|和|pi|分別為透射波和入射波的壓強幅值。在感興趣的頻率范圍內(nèi)計算并拾取響應，即可得到結構的頻率響應函數(shù)?？梢钥闯?，圖示頻率范圍內(nèi)出現(xiàn)了5條完全帶隙，帶隙范圍分別是5 500～6 000 Hz、9 335～10 092 Hz、10 186～11 055 Hz、17 210～17 690 Hz和20 200～20 700 Hz。圖中陰影表示了主要的方向帶隙。可以看到結構的響應在帶隙內(nèi)衰減明顯，衰減域與方向帶隙寬度幾乎相同。ΓY方向能帶結構在10 kHz和20 kHz附近出現(xiàn)2條平帶。但10 kHz處的平帶在響應譜中也能明顯的看到，20 kHz處的平帶卻沒有在響應譜中體現(xiàn)出來。為了探究原因，圖中給出了這2條能帶上Y點的振動模態(tài)。藍色(深色)表示負壓強，紅色(淺色)表示正壓強?？梢钥闯?，10 kHz附近平帶對應的模態(tài)關于ΓY方向是對稱的，因此可以被平面波源激發(fā)。而20 kHz附近平帶對應的模態(tài)關于ΓY是反對稱的，不能被平面波源激發(fā)。

另外，計算了工字型鋼繞單胞中心逆時針旋轉φ=45°單胞的能帶結構，如圖2(b)所示。圖中陰影表示了主要的完全帶隙?？梢悦黠@看出，此時的帶隙明顯變寬，相應主要的幾條帶隙范圍分別變?yōu)椋? 046～7 126 Hz、7 845～12 674 Hz、14 535～17 071 Hz、19 454～22 692 Hz和23 808～24 763 Hz?？梢?，旋轉工字型鋼會對結構的帶隙產(chǎn)生明顯的影響。與φ=0°時的情況類似，在20 kHz附近也出現(xiàn)了一條平帶。圖中給出了這條能帶上Y點的振動模態(tài)。振動模態(tài)為中心對稱模式，此種振動也不會被平面波源激發(fā)。

2.2 等頻率曲線和負折射

等頻率曲線反映的是波矢和頻率之間的關系。計算等頻率曲線的方法與計算能帶結構類似，不同的是需要對整個布里淵區(qū)的波矢k進行遍歷求解。本文圖中用等效波數(shù)Ωx=kx·a0/π,Ωy=ky·a0/π表示橫縱坐標，不同顏色表示相應的頻率。聲子晶體的強頻散特性會使其等頻率曲線非常復雜，進而出現(xiàn)群速度方向與波矢方向不一致的情況。這會在聲子晶體中產(chǎn)生一些異常波動行為，如負折射。

圖3為圖1中單胞(φ=0°)第1階能帶的等頻率曲線。從圖中可以看出，在頻率較小時，等頻率曲線的形狀為橢圓，但是隨著頻率的增大，等頻率曲線的曲率在逐漸變小。在5.25 kHz時等頻率曲線幾乎為一條直線。

為了更加清晰地說明等頻率曲線的意義，計算了不同頻率下中心點源激勵在周期結構中的傳播，如圖4所示。可以看出，在低頻下，波可以向四周傳播，且y方向波長大于x方向波長，聲壓場分布為一個個以y軸為長軸的同心橢圓(圖4(a)、(b))。對比圖3等頻率曲線，由于波長和波矢的反比關系，在等頻率曲線中為一個個以x軸為長軸的同心橢圓。而隨著頻率增大，波漸漸在x方向不能傳播，對應等頻率曲線中，隨頻率增大，等頻率曲線由橢圓變成曲線(圖4(c)、(d))。隨著頻率繼續(xù)增大，等頻率曲線漸漸變成直線，此時波只能沿y方向傳播，圖4(e)、(f)也驗證了這一點。

圖3 φ=0°時一階能帶的等頻率曲線Fig.3 Equifrequency contour of 1st band forφ=0°

圖4 不同頻率中心點源激勵時的壓強分布Fig.4 Pressure distribution of wave propagation under central point source at different frequencies

圖3中等頻率曲線在5.25 kHz時幾乎為一條直線。這意味著在這個頻率處，波的傳播會表現(xiàn)出一定的方向性，僅沿y方向傳播，如圖4(f)所示。圖5給出了5 255 Hz時波從45°方向入射到聲子晶體后的聲壓場分布。由圖5可知，波在聲子晶體中以幾乎垂直于法線的方向傳播，并以相同的角度射出。這個現(xiàn)象與等頻率曲線所顯示的結果一致。

圖5 φ=0°時波以5 255 Hz傳播時的壓強分布Fig.5 Pressure distribution of wave propagation at 5 255 Hz forφ=0°

另外，計算了φ=45°時單胞的第1階能帶的等頻率曲線，如圖6(a)所示?？梢钥闯觯S著頻率的增大，等頻率曲線先從正圓變成矩形，然后逐漸變回正圓。在一定的頻率范圍內(nèi)，沿ΓM方向等頻率曲線為直線且垂直于ΓM連線，這為負折射現(xiàn)象的產(chǎn)生提供了基礎。圖6(b)給出了3 045 Hz時波從45°方向入射(也就是沿ΓM方向)進入聲子晶體后的聲壓場分布。從圖中可以看出，聲子晶體中的折射波與入射波在法線的同側，也就是出現(xiàn)了負折射現(xiàn)象。隨后，在出射界面，波以相同的角度射出。

2.3 缺陷態(tài)和波導

通過改變一排單胞的幾何形狀或材料，可以將理想的聲子晶體轉化為含線缺陷的聲子晶體。線缺陷聲子晶體容易使波在缺陷中傳播，產(chǎn)生波導現(xiàn)象。因此線缺陷在聲學濾波器和聲學傳感器領域具有很大的應用價值。為了研究工字型鋼/空氣二維聲子晶體的波導特性，分別計算了具有中心缺陷的1×13超胞結構在ΓX方向上的能帶結構和具有中心缺陷的1×13超胞結構在ΓY方向上的能帶結構，即圖7所示。圖中陰影表示完美超胞的帶隙。從圖7可以看出，線缺陷的引入在ΓX方向帶隙內(nèi)出現(xiàn)了一條導波帶，但在ΓY方向帶隙內(nèi)出現(xiàn)了2條導波帶。從導波帶的模態(tài)可以看出，P2點所在導波帶受通帶影響較大，局域性較差。其他2點則表現(xiàn)出良好的局域性。

圖6 φ=45°時一階能帶的等頻率曲線和波以3 045 Hz傳播時的壓強分布Fig.6 Equifrequency contour of 1st band and pressure distribution of wave propagation at 3 045 Hz forφ=45°

圖7 線性波導的能帶結構和對應點的振動模態(tài)Fig.7 Band structures and vibration modes of linear waveguides

為了進一步研究導波的傳播特性，采用有限元法計算了3種由13×13單胞組成的有限陣列結構的響應，如圖8所示。設計了3種線缺陷形式，分別為沿x方向直線型，沿y方向直線型和Z型。其響應分別用虛線、短點線和實線在圖中標識。相應陰影區(qū)域表示不同缺陷可以形成波導的范圍。從圖中可以看出，x方向直線型缺陷結構在5.5～8.5 kHz出現(xiàn)峰值，意味著波在這個頻率內(nèi)可以很好地通過。對于y方向直線型缺陷結構，其響應在5～6.8 kHz出現(xiàn)峰值。對比圖7可以發(fā)現(xiàn)，響應譜的峰值范圍與相應方向超胞的帶隙范圍基本重合。也說明了不同方向的波導一般會出現(xiàn)在不同帶隙范圍內(nèi)。對于Z型線性波導，響應譜的峰值出現(xiàn)在大約5.8～6.7 kHz?？梢钥闯?，這個范圍在前2種缺陷結構響應譜峰值范圍的交集內(nèi)，這是由于Z型線性波導本質(zhì)上是由x方向直線型和y方向直線型2種線性波導組合而成。

為了更清晰地顯示導波現(xiàn)象，圖9給出了波在2種直線型波導中傳播的聲壓場分布。從圖9(a)中可以看出，波在x方向直線型線性波導中可以很好地傳播，其傳播模態(tài)與圖7(a)所示模態(tài)一致。相似的情況也發(fā)生在y方向直線型線性波導中，如圖9(b)所示。但只有圖7(b)P1點所對應的模態(tài)被激發(fā)。

圖9 直線型波導傳播時的壓強分布Fig.9 Pressure distributions of linear waveguides

接下來計算了波在Z型線性波導中的傳播，壓力分布如圖10所示。由圖可知，頻率為6 520 Hz時波在Z型線性波導中能夠較好地傳播，而在7 470 Hz時，波并不能沿缺陷傳播。這是由于Z型線性波導包含x方向和y方向2種直線型線性波導，其導波產(chǎn)生的頻率范圍必須在2種直線型線性波導共同的導波頻率范圍內(nèi)。

由一系列缺陷腔或共振體周期排列形成的耦合共振波導，可以實現(xiàn)很強的局域性和低群速度傳輸[15]。為了研究耦合共振波導的波動特性，首先分別計算了耦合共振波導在ΓX方向(2×13單胞)和ΓY方向(2×13單胞)的能帶結構，如圖11所示。圖中陰影表示完美超胞的帶隙。從圖11可以看出，耦合缺陷的引入在ΓX方向和ΓY方向帶隙內(nèi)均出現(xiàn)了一條導波帶，范圍分別為6.1～6.5 kHz和5.5～5.8 kHz。從模態(tài)圖可以看出，導波均呈現(xiàn)一定的局域性，且ΓX方向局域性相對較強。

圖10 Z型線性波導中波傳播時的壓強分布Fig.10 Pressure distribution of Z-type linear waveguide

圖11 耦合共振波導的能帶結構和對應點的振動模態(tài)Fig.11 Band structures and vibration modes of coupled-resonator waveguides

接下來，研究了耦合共振波導的傳播特性。同樣采用有限元法計算了2種由13×13單胞組成的有限波導結構的響應，如圖12所示。設計了沿x方向和y方向的2種直線型耦合共振波導。其響應分別用點劃線和實線在圖中標識。相應陰影區(qū)域表示不同缺陷可以形成耦合共振波導的范圍。

圖12 直線型耦合共振波導的響應譜和計算模型Fig.12 Transmission spectrum of straight coupled-resonantor waveguides and calculation models

從圖中可以看出，x方向直線型耦合共振波導在6.1～6.5 kHz和8.7～8.9 kHz范圍出現(xiàn)峰值，意味著波在這個頻率內(nèi)可以很好的通過。對于y方向直線型耦合共振波導，其響應在5.1～5.8 kHz出現(xiàn)峰值。2個響應譜的峰值范圍沒有重合，這與圖11能帶結果相一致。同時這也意味著波不能在彎折耦合共振波導中傳播。

為了更清晰地顯示波導現(xiàn)象，圖13給出了波在2種直線型耦合共振波導中傳播的聲壓場分布。從圖13(a)中可以看出，波在x方向直線型耦合共振波導中可以很好地傳播，但是相比圖9(a)，能量有些發(fā)散。相似的情況也發(fā)生在y方向直線型耦合共振波導中，如圖13(b)所示。

圖13 直線型耦合共振波導中波傳播時的壓強分布Fig.13 Pressure distributions of straight coupled-resonantor waveguides

3 結論

1)計算了2種結構的等頻率曲線，闡明不同形狀等頻率曲線的意義，并進一步研究了聲子晶體中出現(xiàn)的負折射現(xiàn)象。

2)研究了含線缺陷以及耦合共振缺陷結構中導波的傳播特性，說明結構中產(chǎn)生波導的條件，計算了直線型和Z型線性波導以及直線型耦合共振波導的波動特性，說明了復雜(如Z型)波導中導波存在的條件。