武恒星， 婁佳

(寧波大學(xué) 工程力學(xué)系，浙江 寧波 315211)

聲子晶體具有某種形式的空間周期性，可以是組分材料、內(nèi)部幾何或邊界條件[1-4]。與光子晶體類似，基于Bragg散射機(jī)制，聲子晶體可以阻止特定頻率范圍內(nèi)的聲波/彈性波傳播[5- 6]，將這樣的頻率范圍稱為Bragg禁帶。Mead等[7]研究了具有周期性邊界條件的無限梁的波傳播問題，揭示了該結(jié)構(gòu)的頻帶特征。Ruzzene等[8-9]將周期性結(jié)構(gòu)的概念應(yīng)用于夾芯板，研究表明，通過使不同的芯體材料周期排列，可以阻止特定頻率范圍內(nèi)的彈性波在某一方向的傳播。Bragg禁帶的產(chǎn)生要求晶格尺寸與彈性波的波長相當(dāng)。那么，長波長就意味著不切實(shí)際的巨大結(jié)構(gòu)。這使得聲子晶體不適用于低頻波操縱或振動抑制[10-11]。Liu等[12]實(shí)現(xiàn)了聲學(xué)/彈性超材料。他們通過將局域共振單元引入周期性結(jié)構(gòu)獲得了亞波長禁帶。與聲子晶體相比，聲學(xué)/彈性超材料的顯著優(yōu)勢在于其可以更加緊湊、輕質(zhì)，尤其適用于低頻波操縱。

受到Liu的啟發(fā)，科研人員對聲學(xué)/彈性超材料進(jìn)行了廣泛的研究，包括質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)[13-14]、梁[15-17]、板[18-19]等。具體來說，Huang等[20]研究了一個復(fù)合鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，指出在局域共振頻率附近系統(tǒng)表現(xiàn)出負(fù)有效質(zhì)量。Airoldi等[21]設(shè)計了一種周期性粘貼分流壓電片的可調(diào)節(jié)超材料梁，揭示了其禁帶特征。Assouar等[22]研究了一種由薄鋁板和其上周期性排列的柱體構(gòu)成的聲學(xué)超材料板，并通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)了其可以在亞波長范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)波導(dǎo)以及波的捕獲。大量的研究表明，聲學(xué)/彈性超材料在很多領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用，如聲學(xué)透鏡[23]、聲學(xué)/彈性斗篷[24]、亞波長成像[25]等。

眾所周知，各向同性均勻材料中傳播的縱波是無色散的(群速度等于相速度)。而在均勻介質(zhì)中引入周期性夾雜(與母材具有不同彈性參數(shù)的介質(zhì))將顯著影響彈性波的傳播。在此方面，Wang等[26]研究了縱波(和面內(nèi)橫波)在一維聲子晶體中的傳播問題。該聲子晶體由2種(或3種)組元周期排列構(gòu)成。Xiao等[27]設(shè)計了一種由均勻介質(zhì)和多質(zhì)量諧振單元構(gòu)成的聲學(xué)超材料桿，并計算了其頻帶結(jié)構(gòu)，研究結(jié)果表明多質(zhì)量諧振單元可用于獲得多個亞波長禁帶。Khajehtourian等[28]研究了由均勻介質(zhì)和周期性諧振器構(gòu)成的聲學(xué)超材料桿中縱波的傳播。與以往的工作不同，他們考慮了基體材料的幾何非線性。

本文設(shè)計了一種新型聲學(xué)超材料，其基體是由2種組元構(gòu)成的桿，每個胞元內(nèi)部附加一個雙質(zhì)量諧振單元。采用Bloch定理給出了該結(jié)構(gòu)色散關(guān)系的解析解。該解析模型可退化用于求解聲子晶體桿和含有單質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿的色散。探索了利用Bragg散射機(jī)制和局域共振機(jī)制的耦合作用獲得寬頻禁帶和/或多個禁帶的途徑。

1 模型建立

聲學(xué)超材料桿如圖1所示。其基體材料由2種組元周期排列構(gòu)成，每個胞元內(nèi)部附加一個雙質(zhì)量諧振單元。本文將研究該聲學(xué)超材料桿中縱波的傳播。

圖1 聲學(xué)超材料桿示意Fig.1 Sketch of the acoustic metamaterial rod

桿的縱向運(yùn)動控制方程為：

(1)

式中：Ej表示楊氏模量；ρj表示質(zhì)量密度;u1表示桿的縱向位移；t表示時間；j=A或B表示不同的組分材料。

控制方程(1)的解寫為：

(2)

(3)

A2exp(-iκAx)]exp(-iωt)

(4)

B2exp(-iκBx)]exp(-iωt)

(5)

對于每個諧振單元，質(zhì)量m1和m2的運(yùn)動方程為：

(6)

(7)

式中：um1和um2分別表示質(zhì)量m1和m2沿x方向的位移；位移分量上方的點(diǎn)表示對時間t求導(dǎo)。

(8)

將式(8)代入式(7)，有：

(9)

將式(8)和式(9)代入式(6)可得：

Um1=

(10)

在材料A和材料B的界面處，位移和應(yīng)力都應(yīng)該是連續(xù)的，即:

(11)

將式(2)～(5)代入式(11)可得:

A1+A2=B1+B2

(12)

κAEA(A1-A2)=κBEB(B1-B2)

(13)

由式(12)和(13)，B1和B2可以用A1和A2表示為：

(14)

(15)

每個胞元左右兩端的位移和軸力應(yīng)該滿足Bloch定理，即：

(16)

(17)

式中：a1和a2分別表示每個胞元內(nèi)2種組元的長度，a=a1+a2；κ表示波數(shù)；S表示桿的橫截面積；F表示諧振單元給桿的力，以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?/p>

(18)

將式(2)，(8)1和式(10)代入式(18)，有:

(19)

將式(19)代入式(17)，并利用式(2)～(5)，可得:

exp(iκBa2)B1+exp(-iκBa2)B2=

exp(iκa)[exp(-iκAa1)A1+exp(iκAa1)A2]

(20)

EB(iκB)[exp(iκBa2)B1-exp(-iκBa2)B2]=
exp(iκa){EA(iκA)[exp(-iκAa1)A1-
exp(iκAa1)A2]+Γ[exp(-iκAa1)A1+
exp(iκAa1)A2]}

(21)

其中：

(22)

式(21)還可以寫作：

iκBEBexp(iκBa2)B1-iκBEBexp(-iκBa2)B2=

exp(iκa)[(iκAEA+Γ)exp(-iκAa1)A1+

(-iκAEA+Γ)exp(iκAa1)A2]

(23)

將式(14)、(15)代入式(20)、(23)，有：

(24)

(25)

式中β=exp(iκa)。

由式(24)和(25)構(gòu)成的方程組有非零解{A1,A2}的條件為其相應(yīng)的系數(shù)行列式為零。據(jù)此，對于每一個ω，可以得到β的閉合解為：

(26)

其中：

L=b11b22-b12b21

M=a11b22+a22b11-a12b21-a21b12

N=a11a22-a12a21

a11=exp(iκBa2)[1+κAEA/(κBEB)]+

exp(-iκBa2)[1-κAEA/(κBEB)]

a12=exp(iκBa2)[1-κAEA/(κBEB)]+

exp(-iκBa2)[1+κAEA/(κBEB)]

a21=iκBEBexp(iκBa2)[1+κAEA/(κBEB)]-

iκBEBexp(-iκBa2)[1-κAEA/(κBEB)]

a22=iκBEBexp(iκBa2)[1-κAEA/(κBEB)]-

iκBEBexp(-iκBa2)[1+κAEA/(κBEB)]

b11=-2exp(-iκAa1)
b12=-2exp(iκAa1)
b21=-2(iκAEA+Γ)exp(-iκAa1)
b22=-2(-iκAEA+Γ)exp(iκAa1)

由此，可以得到波數(shù)的解析解為：

κ=(-i/a)lnβ

(27)

2 結(jié)果與討論

本節(jié)將分別計算聲子晶體桿、含單質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿以及含雙質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿的頻帶結(jié)構(gòu)并進(jìn)行比較。

定義幾何和材料參數(shù)如下：

1)每個胞元中，材料A和材料B的長度分別為a1=a2=0.2 m，桿的橫截面積為S=0.01 m2；

2)材料A選用ABS聚合物，其材料參數(shù)為ρA=1 040 kg/m3，EA=2.4 GPa；材料B選用金屬鋁，其材料參數(shù)為ρB=2 700 kg/m3，EB=68.9 GPa。

同時，定義如下無量綱參數(shù)：

2.1 聲子晶體桿的頻帶結(jié)構(gòu)

圖2 聲子晶體桿的頻帶結(jié)構(gòu)Fig.2 Band structure of the phononic crystal rod

2.2 含單質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿的頻帶結(jié)構(gòu)

這一節(jié)中，計算含單質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿的頻帶結(jié)構(gòu)。令m2=0，式(22)退化為:

(28)

圖3 含單質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿的頻帶結(jié)構(gòu)Fig.3 Band structure of the acoustic metamaterial rod with single-mass resonant units

圖4 含單質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿的頻帶結(jié)構(gòu)Fig.4 Band structure of the acoustic metamaterial rod with single-mass resonant units

圖5 含單質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿的頻帶結(jié)構(gòu)Fig.5 Band structure of the acoustic metamaterial rod with single-mass resonant units

2.3 含雙質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿的頻帶結(jié)構(gòu)

下面將對含雙質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿進(jìn)行設(shè)計。對于雙質(zhì)量諧振單元，其在無阻尼情況下的固有頻率可由下式計算：

m1m2ω4-[m2k1+(m1+m2)k2]ω2+k1k2=0

(29)

(30)

(31)

圖6 k1=1.504×109 N/m，k2=3.830×108 N/m時無量綱波數(shù)的實(shí)部和虛部Fig.6 Band structure of the acoustic metamaterial rod with bi-mass resonant units

圖7 k1=7.660×108 N/m，k2=7.520×108 N/m時無量綱波數(shù)的實(shí)部和虛部Fig.7 Band structure of the acoustic metamaterial rod with bi-mass resonant units

圖8 k1=1.504×109 N/m，k2=3.830×108 N/m時無量綱波數(shù)的實(shí)部和虛部Fig.8 Band structure of the acoustic metamaterial rod with bi-mass resonant units

圖9 k1=7.660×108 N/m，k2=7.520×108 N/m時無量綱波數(shù)的實(shí)部和虛部Fig.9 Band structure of the acoustic metamaterial rod with bi-mass resonant units

3 結(jié)論

1)可以利用Bragg散射機(jī)制和局域共振機(jī)制的耦合獲得寬頻禁帶；

2)對于含單質(zhì)量諧振單元的聲學(xué)超材料桿，若諧振單元的固有頻率與相應(yīng)聲子晶體桿的第一Bragg禁帶的截止頻率重合，可以產(chǎn)生較寬的禁帶；

3)引入雙質(zhì)量諧振單元將增強(qiáng)聲學(xué)超材料桿的可設(shè)計性，有利于獲得低頻且相對較寬的禁帶；

4)在諧振單元中引入適當(dāng)阻尼，則可以進(jìn)一步拓寬禁帶。

本研究將為聲學(xué)超材料的設(shè)計和應(yīng)用以及低頻范圍內(nèi)的彈性波操縱和振動抑制提供理論指導(dǎo)。