殷璐佳

（黃岡師范學(xué)院 湖北黃岡 438000）

關(guān)鍵字：初高中函數(shù)銜接 函數(shù)的概念 教學(xué)設(shè)計(jì) 抽象思維

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）指出，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不僅是學(xué)生形成理性思維的重要基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要掌握的思維能力。數(shù)學(xué)抽象思維的掌握對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)高中函數(shù)知識(shí)，促進(jìn)初高中函數(shù)的銜接學(xué)習(xí)都有巨大幫助。近年來，不斷有專家學(xué)者探究初高中函數(shù)銜接問題。霍曼曼[1]通過調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和教學(xué)銜接現(xiàn)狀分析得出，當(dāng)前教學(xué)銜接不理想的主要原因是知識(shí)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生認(rèn)知等，并針對(duì)以上問題提出相應(yīng)策略，以促進(jìn)初高中函數(shù)的教學(xué)銜接。郭見孫[2]通過調(diào)查得出，初高中三角函數(shù)在教材內(nèi)容、教學(xué)方法、課標(biāo)要求等存在差異，并從APOS理論出發(fā)提出了相應(yīng)的銜接策略。

隨著新課程改革的不斷深入，初高中數(shù)學(xué)教材的相繼改版，初高中函數(shù)銜接問題受到更多學(xué)者的關(guān)注。截至2022年7月15日，在“中國(guó)知網(wǎng)”以“初高中數(shù)學(xué)銜接”為主題，匹配度為“精確”，共檢索到各類文獻(xiàn)1180篇；以“初高中函數(shù)銜接”為主題，匹配度為“精確”，共檢索各類文獻(xiàn)205篇?？梢姡醺咧袛?shù)學(xué)銜接問題的研究中，有近六分之一的學(xué)者研究函數(shù)銜接。雖然不少專家學(xué)者對(duì)初高中函數(shù)銜接都提出了相應(yīng)的解決措施，但并未從本質(zhì)上探究初高中函數(shù)銜接問題，即函數(shù)銜接問題并未徹底解決。因此，本文以數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)為視角，從學(xué)生抽象思維角度探究函數(shù)銜接問題，通過對(duì)初高中在職數(shù)學(xué)教師訪談和對(duì)人教版初高中函數(shù)教材內(nèi)容的深入探究，分析初高中函數(shù)銜接的問題所在，進(jìn)一步思考探究如何促進(jìn)初高中函數(shù)銜接，幫助學(xué)生順利從初中函數(shù)學(xué)習(xí)過渡到高中函數(shù)學(xué)習(xí)。

一、研究方法及過程

1.訪談對(duì)象的選取

為了深入了解初高中函數(shù)銜接現(xiàn)狀，本研究在選取訪談對(duì)象時(shí)，采用專家取樣方法，即指選取在某方面具有專業(yè)技能或經(jīng)驗(yàn)的人作為研究樣本的取樣方法[3]。最終選擇湖北省黃岡市直屬完全中學(xué)的數(shù)學(xué)教師為研究對(duì)象，其中初中數(shù)學(xué)教師3名，高中數(shù)學(xué)教師4名，均為專家型教師。

2.訪談提綱的編制

在研究相關(guān)論文后發(fā)現(xiàn)，初高中函數(shù)銜接問題涉及的方面較多且復(fù)雜，因此，訪談提綱設(shè)計(jì)為半開放式。經(jīng)過與指導(dǎo)老師、在職數(shù)學(xué)教師的討論和修改，最終確定2個(gè)訪談主題：①了解教師對(duì)初高中函數(shù)銜接的認(rèn)識(shí)及在進(jìn)行銜接教學(xué)時(shí)存在的困難；②了解教師如何促進(jìn)初高中函數(shù)銜接。根據(jù)這兩個(gè)訪談主題對(duì)初高中數(shù)學(xué)教師進(jìn)行訪談，訪談以錄音形式進(jìn)行，并由人工對(duì)錄音進(jìn)行文字轉(zhuǎn)錄。

二、初高中函數(shù)銜接問題

通過對(duì)訪談結(jié)果和人教版初高中函數(shù)教材的分析發(fā)現(xiàn)，初高中函數(shù)銜接的困難之處主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面，是初中函數(shù)與高中函數(shù)知識(shí)上存在脫節(jié)現(xiàn)象；另一方面，是學(xué)生的思維能力沒有隨著年級(jí)的升高而提升。

1.知識(shí)點(diǎn)差異

初中對(duì)函數(shù)的定義是：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)，如果當(dāng)x=a時(shí)y=b，那么b叫作當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值[4]。重點(diǎn)突出的是x與y之間的某種變化關(guān)系，以及可以根據(jù)一個(gè)變量的值求解出另一個(gè)變量的值。

而學(xué)生進(jìn)入高中后所學(xué)的函數(shù)概念則是：一般地，設(shè)A、B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作其關(guān)鍵點(diǎn)是以集合為基礎(chǔ)探究函數(shù)本質(zhì)，突出實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，強(qiáng)調(diào)函數(shù)本身就是一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量x在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，按照等式右邊的式子的法則計(jì)算得出f（x）的值。對(duì)于剛升入高中的學(xué)生而言，函數(shù)的理解只是停留在初中的單值對(duì)應(yīng)的程度，由于對(duì)應(yīng)關(guān)系f具有較高的抽象性，學(xué)生很難在已有的初中函數(shù)基礎(chǔ)上理解高中函數(shù)。學(xué)生對(duì)于符號(hào)f（x）的認(rèn)識(shí)也存在困難，不清楚與初中所學(xué)的y有何聯(lián)系，與f（a）又有什么關(guān)系。這些認(rèn)知困難歸根結(jié)底是由于高中函數(shù)更加符號(hào)化、抽象化，學(xué)生對(duì)新定義的函數(shù)概念不理解，沒有理解函數(shù)真正的本質(zhì)是什么，只是停留在初中函數(shù)概念階段。

函數(shù)的相關(guān)學(xué)習(xí)中，函數(shù)性質(zhì)的探究也是極其重要的。初中所學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等都是畫出函數(shù)圖像后，根據(jù)圖像探究函數(shù)的增減性。而高中則用新的名詞“單調(diào)性”來重新定義函數(shù)的增減性，并且學(xué)生需要證明“此函數(shù)為什么是增函數(shù)或減函數(shù)”。高中函數(shù)還會(huì)探究其奇偶性，引入奇偶函數(shù)的概念，而學(xué)生在初中只有學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)探究過函數(shù)圖像的對(duì)稱性，并沒有深入研究。以上是初高中函數(shù)性質(zhì)的差異，發(fā)現(xiàn)高中函數(shù)性質(zhì)相對(duì)初中研究的更加深入，難度驟增，學(xué)生學(xué)習(xí)存在較大困難。

因此，初高中函數(shù)在概念、性質(zhì)等方面存在較大差異，初中函數(shù)重點(diǎn)探究的是變量之間的對(duì)應(yīng)變化和求值，而高中函數(shù)則突出集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和單調(diào)性、奇偶性。知識(shí)點(diǎn)銜接存在明顯不足，所以，教師在進(jìn)行初高中函數(shù)銜接時(shí)，需要注意從知識(shí)點(diǎn)上進(jìn)行銜接教學(xué)。

2.學(xué)生思維差異

教師們認(rèn)為，初高中函數(shù)銜接除了知識(shí)點(diǎn)上的銜接困難外，還有學(xué)生思維能力的銜接轉(zhuǎn)換。初中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)大都是通過畫出函數(shù)圖像，將表達(dá)式轉(zhuǎn)變成具體的圖像，學(xué)生可以直觀地感受這個(gè)函數(shù)所表達(dá)的深層含義，無論是y的取值范圍還是函數(shù)的增減性，此時(shí)學(xué)生的思維大多處于形象思維階段。升入高中后，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)不再像之前一樣可以形象化、具體化，可以利用圖像、表格等完全展示出來，只能從表達(dá)式中抽象獲得相關(guān)概念和性質(zhì)。但此時(shí)學(xué)生的抽象思維能力還不足以支撐函數(shù)的學(xué)習(xí)，已有的形象思維又無法深入理解函數(shù)，以至于學(xué)生對(duì)初中函數(shù)掌握扎實(shí)，升入高中后卻心余力絀。

例如，復(fù)合函數(shù)f（f（x）），由于其復(fù)雜性，學(xué)生無法直接將函數(shù)圖像畫出來，只能從表達(dá)式中抽象出定義域、值域、單調(diào)性等。而復(fù)合函數(shù)定義域的求解往往需要換元，換元后“內(nèi)側(cè)函數(shù)的值域做外側(cè)函數(shù)的定義域”，沒有一個(gè)具體的形象引導(dǎo)學(xué)生理解這一句話，所以，學(xué)生們困惑為什么值域突然變成了定義域。簡(jiǎn)而言之，初中函數(shù)到高中函數(shù)的學(xué)習(xí)，對(duì)于學(xué)生思維而言最難的是從形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)變。

三、函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

根據(jù)教師訪談結(jié)果和初高中函數(shù)銜接困難的研究分析發(fā)現(xiàn)，教師不僅要注意初高中函數(shù)知識(shí)之間的銜接，還要注重學(xué)生抽象思維的銜接。函數(shù)的概念是學(xué)習(xí)函數(shù)模塊的基礎(chǔ)，而且學(xué)好函數(shù)的概念對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的要求較高。所以，在初高中函數(shù)銜接教學(xué)中，首先應(yīng)當(dāng)作好“函數(shù)的概念”這節(jié)銜接課。因此，本文以人教版A版高中數(shù)學(xué)必修一第3章第1節(jié)第1課時(shí)——“函數(shù)的概念”為例，設(shè)計(jì)教學(xué)過程，幫助學(xué)生理解函數(shù)本質(zhì)，也幫助教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)更好地促進(jìn)初高中函數(shù)銜接。

片段1：創(chuàng)設(shè)情境

問題1：2022年6月5日，神州十四號(hào)載人飛船于酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功圓滿發(fā)射。在神州十四號(hào)飛行期間，衛(wèi)星發(fā)射中心人員時(shí)刻關(guān)注著神州十四號(hào)距離地面的高度隨時(shí)間的變化。對(duì)于這一運(yùn)動(dòng)變化中的數(shù)量關(guān)系，在數(shù)學(xué)上我們是用什么來描述的呢？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生們喜聞樂見的航天事業(yè)出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引起探究欲望，同時(shí)引出今天研究的主題——函數(shù)。

問題2：請(qǐng)同學(xué)們列舉之前初中學(xué)過的函數(shù)？

問題3：那么初中所學(xué)的函數(shù)的定義又是怎樣的呢？

問題4：根據(jù)初中函數(shù)的定義，你能判斷y=1(x∈R)是函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題2和問題3，進(jìn)行初高中函數(shù)知識(shí)之間的教學(xué)銜接，喚起學(xué)生對(duì)初中函數(shù)的記憶，為學(xué)習(xí)高中函數(shù)的概念做準(zhǔn)備，以便順利進(jìn)行知識(shí)遷移。設(shè)計(jì)問題4，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生感受到初中所學(xué)的函數(shù)概念不能判斷所有表達(dá)式，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

片段2：?jiǎn)栴}探究

實(shí)例一：某復(fù)興號(hào)列車加速到340km/h后保持勻速行駛半小時(shí)，在這段時(shí)間里，列車行駛的路程S（km）與行駛時(shí)間t（h）的關(guān)系表示為S=340t。

問題1：S是t的函數(shù)嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：實(shí)例一采用的是學(xué)生熟知的列車運(yùn)行的情境，拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生生活的距離。問題1的設(shè)計(jì)幫助學(xué)生更深層次理解函數(shù)的概念，再次鞏固初中函數(shù)的概念。

問題2：可以畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像嗎？

問題3：在實(shí)例一中，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系式S=340t，可以知道，列車進(jìn)入勻速行駛后，運(yùn)行1h，行駛了340km。這一說法是否正確呢？

問題4：所以，我們畫出的這個(gè)圖像是正確的嗎？正確的圖像形狀應(yīng)該是什么樣的呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生初步感知判斷函數(shù)是否正確須先判斷自變量的取值范圍，同時(shí)也體會(huì)自變量取值范圍和因變量取值范圍之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過函數(shù)圖像直觀感受此函數(shù)與初中所學(xué)的正比例函數(shù)存在的差異，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)，促進(jìn)形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)變。

實(shí)例二：某電氣維修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超過6天，每天工資標(biāo)準(zhǔn)是340元，且是每周結(jié)一次工資，那么請(qǐng)問如何確定一個(gè)工人每周工資w（元）與工作天數(shù)d之間的關(guān)系呢？w是d的函數(shù)嗎？

問題1：這里的變量w的變化范圍是多少？變量d的變化范圍又是多少？你可以用數(shù)集分別表示嗎？

問題2：這兩個(gè)數(shù)集之間存在什么樣的關(guān)系呢？

問題3：這個(gè)函數(shù)的圖像你可以畫出來嗎？

問題3：實(shí)例一和實(shí)例二中的函數(shù)具有相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)圖像可以判斷出它們是同一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題1、2，讓學(xué)生建立使用集合表示變化范圍的意識(shí)，探討集合之間的關(guān)系來認(rèn)識(shí)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。問題3、4的設(shè)計(jì)讓學(xué)生從函數(shù)圖像中初步直觀感知兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，再分析根本原因，使得學(xué)生深入認(rèn)識(shí)函數(shù)不僅要關(guān)注解析式，還要關(guān)注自變量、因變量的取值范圍。

實(shí)例三：圖 1是黃岡市某天24小時(shí)的氣溫變化圖。

問題1：你能根據(jù)圖 1得出14時(shí)的氣溫是多少？在什么時(shí)刻氣溫為6℃？

問題2：如何根據(jù)圖 1確定這一天內(nèi)某一時(shí)刻t h的氣溫T？你認(rèn)為這里的T是t函數(shù)嗎？

圖1 氣溫變化圖

問題3：此時(shí)I和t需要考慮取值范圍嗎？假如需要，那么它們的范圍分別是多少呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從圖像中分析問題，體會(huì)對(duì)任意自變量的值都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生分析變量的取值范圍，為后續(xù)概括函數(shù)本質(zhì)打下基礎(chǔ)。

反映一個(gè)地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。表1是我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，你可以得到年份y與恩格爾系數(shù)r的關(guān)系是怎樣的？

表1 我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

問題1：根據(jù)表1給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，你認(rèn)為恩格爾系數(shù)r是年份y函數(shù)嗎？為什么？

問題2：在實(shí)例四中，對(duì)于r和y的取值范圍有沒有要求呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例四的分析，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從表格數(shù)據(jù)來分析問題，初步體會(huì)表格數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

片段3：概念提煉

問題1：請(qǐng)嘗試用表格的形式將以上4個(gè)實(shí)例中數(shù)學(xué)信息進(jìn)行歸納整理。

問題2：根據(jù)表2里面的數(shù)據(jù)信息，你可以得出它們的共同特征嗎？請(qǐng)把表2補(bǔ)充完整。

表2 數(shù)學(xué)信息歸納表

問題3：通過4個(gè)實(shí)例我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)關(guān)系不僅可以用解析式表達(dá)，也可以用圖像、表格的形式呈現(xiàn)，因此，我們采用德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨引入的f來統(tǒng)一表示對(duì)應(yīng)關(guān)系?，F(xiàn)在同學(xué)們可以根據(jù)初中函數(shù)的定義，重新對(duì)函數(shù)進(jìn)行定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用可視化方法，采用表格的形式，幫助學(xué)生梳理4個(gè)實(shí)例中所含有的全部信息，通過比較分析法找到實(shí)例中的共同特征，以完成表頭為橋梁抽象出函數(shù)的概念。也將學(xué)生的思維可視化，建立起學(xué)生思維之間的銜接，促進(jìn)學(xué)生形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)變，有助于學(xué)生抽象出函數(shù)的本質(zhì)，進(jìn)而概括得出函數(shù)的概念。

片段4：辨析概念

問題2：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诤瘮?shù)的定義中畫出你認(rèn)為的關(guān)鍵詞，用自己的話表述，并思考函數(shù)是由哪幾部分構(gòu)成？

問題3：如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等呢？

問題4：如果不采用f（x）表示函數(shù)符號(hào)，可以用其他符號(hào)如g（x）,F（x）等來表示嗎？

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)概念相對(duì)抽象，晦澀難懂，因此通過學(xué)生自己對(duì)函數(shù)概念的拆分、辨析，深刻理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的三要素，進(jìn)一步建構(gòu)自己的函數(shù)觀。

片段5：例題講解

（1）函數(shù)的定義域是多少？

（3）當(dāng)a＞0 時(shí)，求f（a）、f（a+2）的值。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固對(duì)函數(shù)概念的理解，初步掌握定義域求解的方法，理解f（a）（a為常數(shù)）與f（x）的關(guān)系，體會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的轉(zhuǎn)變，進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解。

四、相關(guān)建議

初高中函數(shù)銜接是為了建立初中函數(shù)到高中函數(shù)的學(xué)習(xí)臺(tái)階，幫助學(xué)生順利從初中數(shù)學(xué)過渡到高中數(shù)學(xué)。同時(shí)，初高中函數(shù)銜接教學(xué)也是一個(gè)長(zhǎng)期而又艱巨的任務(wù)。在這個(gè)任務(wù)中，無論是初中教師，還是高中教師都應(yīng)當(dāng)為了學(xué)生長(zhǎng)期的身心發(fā)展而努力。為了幫助初高中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)中更好地促進(jìn)初高中函數(shù)銜接，提出以下幾點(diǎn)建議。

1.注重函數(shù)的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)

教師首先應(yīng)當(dāng)以整體性、層次性兩個(gè)特性出發(fā)，分別建立初中函數(shù)和高中函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，清楚學(xué)生在不同學(xué)段需要掌握理解的函數(shù)內(nèi)容。接著以發(fā)展性為目標(biāo)從構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)中找出初高中函數(shù)銜接點(diǎn)，促進(jìn)初高中函數(shù)知識(shí)之間的銜接。同時(shí)教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)也要注重學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)的理解，在學(xué)完所有初中或高中函數(shù)知識(shí)之后，可以選擇帶領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建整體函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，理解各個(gè)知識(shí)之間的聯(lián)系，從而更易掌握函數(shù)知識(shí)，建立自己的函數(shù)觀。

2.適當(dāng)運(yùn)用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件

圖象具有一定的直觀性，使得學(xué)生從該函數(shù)的圖象中直接得出其函數(shù)性質(zhì)，從一定程度上降低了函數(shù)知識(shí)的理解難度，可以有效促進(jìn)初高中函數(shù)的銜接。由于高中函數(shù)相對(duì)復(fù)雜，圖象很難直接畫出，因此教師可以利用數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件如皓駿、GeoGebra、幾何畫板等進(jìn)行作圖，展示具體的函數(shù)圖象。在教學(xué)中加入靜態(tài)或者動(dòng)態(tài)圖象不僅可以很好的吸引學(xué)生注意力，還可以直觀、形象的幫助學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念、性質(zhì)等，以形象思維促進(jìn)抽象思維的發(fā)展。

3.可視化方法培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維

高中函數(shù)相對(duì)初中函數(shù)具有更強(qiáng)的抽象性，因此對(duì)于學(xué)生抽象思維能力的要求更高。教師在進(jìn)行授課時(shí)，可以從創(chuàng)設(shè)情境出發(fā)，以學(xué)生熟知的生活實(shí)例或者與之相關(guān)的知識(shí)為背景，引起學(xué)生興趣。然后根據(jù)探究的知識(shí)的特點(diǎn)，適當(dāng)運(yùn)用可視化的方法，采用圖示、表格等形式將探究過程中復(fù)雜知識(shí)、思維清晰地呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生理解知識(shí)的形成過程，有效的發(fā)展學(xué)生的抽象思維，促進(jìn)形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)變。