尹 健

（華能國際電力江蘇能源開發(fā)有限公司 南通電廠，江蘇 南通 226001）

0 引言

由if-then規(guī)則描述的T-S模糊模型，其后件部分為線性表達(dá)式，在非線性系統(tǒng)的模糊模型辨識與控制方面具有較大的優(yōu)勢[1]。模糊聚類是一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，針對給定數(shù)據(jù)集，根據(jù)一定的尋優(yōu)算法將數(shù)據(jù)自動分為若干類。因此，模糊聚類經(jīng)常應(yīng)用于T-S模糊模型的辨識，聚類數(shù)目即T-S模糊模型的規(guī)則數(shù)。其中，模糊C均值聚類（Fuzzy c-means，F(xiàn)CM）算法是應(yīng)用較多的算法[2-4]。

由于一型模糊邏輯系統(tǒng)（Type-1 fuzzy logic systems，T1-FLS），其隸屬度函數(shù)的值為確定值，不能夠處理實際非線性系統(tǒng)的不確定特性。針對這一缺陷，Zadeh提出了一種新的模糊集合，即二型模糊集合（Type-2 fuzzy sets，T2-FS）[5]。二型模糊集合與傳統(tǒng)一型模糊結(jié)合的區(qū)別就在于隸屬度函數(shù)的描述方面，二型模糊集合的隸屬度由首隸屬度和次隸屬度構(gòu)成。首隸屬度與傳統(tǒng)一型模糊集合一樣，是輸入變量的函數(shù)，一般可選擇三角函數(shù)、高斯函數(shù)等；次隸屬度由輸入變量和首隸屬度確定。

二型模糊集合分為區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)和普通二型模糊集合，區(qū)別在于兩者的次隸屬度函數(shù)。區(qū)間二型模糊集合的次隸屬度定義為1，而普通二型模糊集合的次隸屬度為函數(shù)。由于區(qū)間二型模糊集合的計算比較簡單，不僅在控制系統(tǒng)中得到了大量應(yīng)用[6-8]，也應(yīng)用于區(qū)間二型模糊C均值聚類（Interval type-2 fuzzy c-means，IT2-FCM）算法[9]。區(qū)間二型模糊集合與傳統(tǒng)一型模糊集合的差別在于其存在一降階過程，一般采用Karnik-Mendel （KM）降階算法[10]。KM降階算法是一重復(fù)迭代過程，其計算過程耗時較多，不適用于實時控制系統(tǒng)。

為了克服傳統(tǒng)KM降階算法的缺陷，相關(guān)文獻(xiàn)中研究了多種提高KM降階效率的算法，比如EKM[11]，IASC[12]，EIASC[13]等。雖然這些算法提高了KM降階算法的效率，但其本質(zhì)上也是迭代算法。本文采用一種直接降階算法BMM算法[14]，并將其應(yīng)用于IT2-FCM聚類算法的降階過程，避免了區(qū)間二型模糊集合降階過程中的迭代過程，提高了IT2-FCM聚類算法的降階效率。其次，根據(jù)IT2-FCM聚類算法對T-S模糊模型的輸入空間進(jìn)行劃分，得到了區(qū)間二型T-S模糊模型，并進(jìn)行前件參數(shù)的辨識。最后，利用最小二乘算法進(jìn)行T-S模糊模型的后件參數(shù)辨識，通過兩個典型的非線性系統(tǒng)的辨識結(jié)果驗證了本文算法的有效性和實用性。

1 區(qū)間二型T-S模糊模型

與傳統(tǒng)T-S模糊模型類似，區(qū)間二型T-S模糊模型也由if-then規(guī)則來描述。根據(jù)前件形式和后件形式的不同，區(qū)間二型T-S模糊模型有3種形式，分別為：前件為區(qū)間二型模糊子集，后件為確定值；前件為一型模糊子集，后件為區(qū)間值，以及前件為一型模糊子集，后件為區(qū)間值。本文采用第一種形式，則第i條模糊規(guī)則描述如下：

針對第k個采樣時刻的輸入向量xk，設(shè)第i條模糊規(guī)則的激發(fā)隸屬度高、低限分別為，則T-S模糊模型的輸出可根據(jù)KM降階算法得到。為了簡化，一般利用高、低限的平均值，表示如下：

其中：

2 本文算法

2.1 區(qū)間二型模糊C均值聚類

模糊C均值（Fuzzy c-means，F(xiàn)CM）聚類算法是硬C均值聚類（Hard c-means，HCM）算法的拓展。將模糊隸屬度引入聚類算法，克服了傳統(tǒng)HCM聚類算法非0即1的缺陷，更符合實際人們的認(rèn)知系統(tǒng)。FCM聚類算法定義了樣本屬于某一類別的隸屬度的概念，可用uik來表示，i表示聚類的標(biāo)識，k表示樣本的標(biāo)識。傳統(tǒng)模糊C均值聚類算法的目標(biāo)函數(shù)如式（1）。

其中：dik為樣本xk到聚類中心θi的歐式距離；加權(quán)指數(shù)m是算法的關(guān)鍵參數(shù)，m取大于1的實數(shù)，一般m選擇2。聚類的最終結(jié)果是得出目標(biāo)函數(shù)Jm的極小值，并滿足式（2）的約束條件。

根據(jù)拉格朗日乘子法，F(xiàn)CM樣本隸屬度和聚類算法中心的迭代計算公式如式（3）和式（4）。

區(qū)間二型模糊C均值聚類算法設(shè)置兩個m值，分別為m1和m2，其聚類目標(biāo)是最小化如式（5）的兩個目標(biāo)函數(shù)[9]。

區(qū)間二型模糊C均值聚類隸屬度的高、低限表示如式（6）和式（7）。

聚類中心θi則通KM降階算法得到，具體的算法流程可參考文獻(xiàn)[9]。

2.2 算法流程

本文采用一種直接降階算法——BMM降階算法，避免了KM降階算法的迭代過程。將其應(yīng)用于區(qū)間二型模糊C均值聚類算法的降階過程，聚類中心的計算過程如式（8）。

圖1 模糊模型與原始輸出曲線（實例1）Fig.1 Fuzzy model and original output curve (Example 1)

其中：0≤n≤1。

基于區(qū)間二型模糊C均值聚類算法的T-S模糊模型辨識流程描述如下：

1）針對N對訓(xùn)練數(shù)據(jù)(xk，yk)，設(shè)置聚類個數(shù)c（也即模糊規(guī)則數(shù)），參數(shù)m1、m2、n，算法結(jié)束閾值ε，算法的最多迭代次數(shù)rm，隨機初始化聚類中心θi0，設(shè)迭代計數(shù)器r=0。

2）根據(jù)式（6）和式（7）計算樣本隸屬于第i個聚類的隸屬度的高、低限。

3）根 據(jù) 式（8）計 算θi(r+1)，如 果||θi(r+1)-θi(r)||或 者r＞rm，則退出算法，執(zhí)行步驟4），否則繼續(xù)執(zhí)行步驟2）。

4）根據(jù)最小二乘算法計算T-S模糊模型的后件參數(shù)。

3 仿真實例

3.1 仿真實例1

本例選取如下非線性方程：

該方程共有100組數(shù)據(jù)，前50組作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后50組作為驗證數(shù)據(jù)。辨識參數(shù)設(shè)置如下：模糊規(guī)則數(shù)c=6，m1=2，m2=3，n=0.2。圖1和圖2分別為辨識結(jié)果的輸出曲線和誤差曲線。

圖2 模糊模型與原始輸出誤差曲線（實例1）Fig.2 Fuzzy model and original output error curve (Example 1)

3.2 仿真實例2

本例選取如下非線性離散模型：

該模型共產(chǎn)生1000組數(shù)據(jù)，前200組作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后800組作為驗證數(shù)據(jù)。辨識參數(shù)設(shè)置如下：模糊規(guī)則數(shù)目c=2，m1=2，m2=3.5，n=0.4。圖3和圖4分別為辨識結(jié)果的輸出曲線和誤差曲線。

4 結(jié)論

區(qū)間二型模糊集合常用的KM降階算法，其計算過程繁瑣，并不適合于實時控制系統(tǒng)。目前，已有多種直接降階算法來代替KM降階算法。本文將BMM降階算法應(yīng)用于區(qū)間二型模糊C均值聚類，提高了區(qū)間二型模糊C均值聚類算法的實時性。在此基礎(chǔ)上，利用區(qū)間二型模糊C均值聚類進(jìn)行T-S模糊模型的輸入空間劃分，建立了區(qū)間二型T-S模糊模型。仿真實驗表明，本文算法的辨識精度較高，并可用于實時建模與控制。在實際應(yīng)用的時候，可根據(jù)對象特性選擇合適的m1，m2以及n值，以得到較好的辨識效果。

圖3 模糊模型與原始輸出曲線（實例2）Fig.3 Fuzzy model and original output curve (Example 2)

圖4 模糊模型與原始輸出誤差曲線（實例2）Fig.4 Fuzzy model and original output error curve (Example 2)