霍李，王媛，高洪飛，那光耀

(中國人民解放軍63853部隊(duì)，白城 137001)

火炮回轉(zhuǎn)部分繞回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)與下架(或車體)之間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)[1]?；剞D(zhuǎn)軸與火炮上的一些特殊點(diǎn)的相對(duì)位置，會(huì)對(duì)火炮技術(shù)狀態(tài)產(chǎn)生影響，比如：轉(zhuǎn)管炮主側(cè)滾輪與回轉(zhuǎn)軸的相對(duì)位置影響其受力[2-3]，火炮回轉(zhuǎn)質(zhì)心與回轉(zhuǎn)軸的水平距離對(duì)彈丸起始擾動(dòng)影響較大[4-6]。在火炮試驗(yàn)中，也需要測(cè)量火炮上的一些特定點(diǎn)與回轉(zhuǎn)軸的水平距離，比如：在方向射界[7]、火炮偏離角[8]、調(diào)炮精度[9-10]及炮身軸線偏移[11]等檢測(cè)中需要用瞄準(zhǔn)鏡豎軸與回轉(zhuǎn)軸的水平距離對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正；在彈道修正[12]中用雷達(dá)轉(zhuǎn)軸與回轉(zhuǎn)軸的水平距離來參與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；炮塔轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼系數(shù)測(cè)試[13]中需要彈簧在身管連接點(diǎn)距炮塔回轉(zhuǎn)軸的水平距離參與計(jì)算。因此，準(zhǔn)確測(cè)量出火炮上給定的特定點(diǎn)與火炮回轉(zhuǎn)軸之間的水平距離，對(duì)火炮的試驗(yàn)鑒定具有現(xiàn)實(shí)意義。

然而，對(duì)于具體的火炮來說，其回轉(zhuǎn)軸的位置通常是未知的?？尚械囊环N方法是，先在火炮上標(biāo)記出回轉(zhuǎn)中心的位置[14]，再測(cè)量出目標(biāo)點(diǎn)至回轉(zhuǎn)軸的水平距離。但是，這種方法不僅在標(biāo)記回轉(zhuǎn)中心時(shí)操作復(fù)雜，而且由于標(biāo)記點(diǎn)在炮塔頂部與火炮上的多數(shù)待測(cè)點(diǎn)不通視，在現(xiàn)場(chǎng)很難進(jìn)行水平距離測(cè)量。

為此，在通過測(cè)邊網(wǎng)法實(shí)現(xiàn)火炮回轉(zhuǎn)中心相對(duì)坐標(biāo)解算[15-17]的基礎(chǔ)上，將被測(cè)的特定點(diǎn)投影到水平面上，計(jì)算出特定點(diǎn)與火炮回轉(zhuǎn)軸的水平距離；采用蒙特卡洛方法對(duì)測(cè)量過程中的影響因素進(jìn)行模擬，比較有無冗余測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)測(cè)量結(jié)果的差異，為現(xiàn)場(chǎng)實(shí)施提供了新思路，同時(shí)為國家軍用標(biāo)準(zhǔn)修訂提供了依據(jù)。

1 回轉(zhuǎn)圓三垂點(diǎn)

炮身水平時(shí)，火炮方向旋轉(zhuǎn)360°，炮身前端面中心在水平面上的投影圓稱為火炮回轉(zhuǎn)圓。在回轉(zhuǎn)圓上選取3個(gè)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量的方式稱為“回轉(zhuǎn)圓三垂點(diǎn)”。在同一水平面上，通過其中的2個(gè)點(diǎn)采用距離交會(huì)的方式確定特定點(diǎn)的投影點(diǎn)坐標(biāo)，無任何冗余測(cè)量數(shù)據(jù)，稱為非冗余測(cè)距法；通過其中的3個(gè)點(diǎn)采用距離交會(huì)的方式，存在1條冗余數(shù)據(jù)，稱為冗余測(cè)距法。

1.1 非冗余測(cè)距法

回轉(zhuǎn)圓三垂點(diǎn)法非冗余測(cè)距在解算火炮回轉(zhuǎn)圓參數(shù)時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[15]提供的三邊法進(jìn)行。如圖1所示，在現(xiàn)場(chǎng)是通過測(cè)量回轉(zhuǎn)圓上3個(gè)投影點(diǎn)A、B、C之間的距離l1、l2、l3作為邊長構(gòu)成三角形。該三角形的外接圓為回轉(zhuǎn)圓，其圓心為回轉(zhuǎn)中心O，其半徑為回轉(zhuǎn)圓半徑Razi，按式(1)計(jì)算。點(diǎn)T為特定點(diǎn)在水平面上的投影點(diǎn)，l4、l5分別為點(diǎn)T與點(diǎn)A、點(diǎn)B之間的距離。

圖1 三邊網(wǎng)Fig.1 Trilateration network

(1)

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B為x軸正方向上的點(diǎn)，右手準(zhǔn)則確定y軸，建立平面相對(duì)坐標(biāo)系。由于圖形的其余點(diǎn)均在x軸一側(cè)，令其余點(diǎn)在y軸正方向上。回轉(zhuǎn)中心O(xO,yO)的相對(duì)坐標(biāo)計(jì)算公式為

(2)

則特定點(diǎn)在水平面上的投影點(diǎn)T(xT,yT)的相對(duì)坐標(biāo)計(jì)算公式為

(3)

點(diǎn)T與回轉(zhuǎn)中心O之間的距離dOT的計(jì)算公式為

(4)

該方法，無任何冗余測(cè)量數(shù)據(jù)，測(cè)量結(jié)果的精度完全取決于現(xiàn)場(chǎng)各邊長(距離)的測(cè)量精度。

1.2 冗余測(cè)距法

在圖1的基礎(chǔ)上，再測(cè)量測(cè)點(diǎn)C與點(diǎn)T之間的距離l6，便得到圖2所示的冗余測(cè)邊網(wǎng)。

圖2 回轉(zhuǎn)圓三垂點(diǎn)冗余測(cè)邊網(wǎng)Fig.2 Redundant trilateration network for three vertical points of artillery slewing circle

在圖2中，由觀測(cè)邊長li(i=1,2,…,6)可按三角形邊角關(guān)系計(jì)算得到角度值βj(j=1,2,…,9)；通過平差處理后的邊長為l′i(i=1,2,…,6)，也可計(jì)算得到平差后的角度值β′j(j=1,2,…,9)。

則角度改正數(shù)vβj及邊長改正數(shù)vli的計(jì)算公式分別為

vβj=β′j-βj

(5)

vli=l′i-li

(6)

在圖2中，可以列出平差值條件方程為

β′1+β′2+β′3=360°

(7)

由式(5)和式(7)得到以角度改正數(shù)表示的圖形條件，可表示為

vβ1+vβ2+vβ3+ω=0

(8)

式(8)中：ω為角度閉合差，其計(jì)算公式為

ω=β1+β2+β3-360°

(9)

在圖2中，β1的計(jì)算公式為

(10)

在圖2中，β1至其對(duì)邊的高h(yuǎn)1的計(jì)算公式為

h1=l4sinβ4=l5sinβ5

(11)

β1的角度改正數(shù)vβ1與邊長改正數(shù)的關(guān)系式為[16]

(12)

式(12)中：ρ≈206 264.8″為弧度與角秒的換算系數(shù)。

按式(12)的規(guī)律寫出圖2中β2、β3的角度改正數(shù)方程vβ2、vβ3，代入式(8)整理可得到條件方程為

a1vl1+a2vl2+…+a6vl6+ω=0

(13)

令A(yù)=[a1a2…a6]，Vl=[vl1vl2…vl6]T，則式(13)變換為AVl+ω=0。設(shè)聯(lián)系數(shù)ka，則等精度測(cè)量時(shí)按最小二乘原理得到的法方程為

AATka+ω=0

(14)

則有

ka=-(AAT)-1ω

(15)

有

Vl=ATka=-AT(AAT)-1ω

(16)

各邊長平差值l′i的計(jì)算公式為

l′i=li+vli，i=1,2,…,6

(17)

由邊長平差值l′i，分別按式(2)和式(3)計(jì)算回轉(zhuǎn)中心O′(x′O,y′O)和特定點(diǎn)T′(x′T,y′T)的相對(duì)坐標(biāo)。再按式(4)計(jì)算出兩點(diǎn)在水平面上的距離d′OT。

2 回轉(zhuǎn)圓四垂點(diǎn)冗余測(cè)距法

在回轉(zhuǎn)圓上選取4個(gè)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量的方式稱為回轉(zhuǎn)圓四垂點(diǎn)。由于在現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)間距的測(cè)量，相比垂點(diǎn)的投影標(biāo)記，其工作量較小。因此，通常都會(huì)采集所有的點(diǎn)間距，構(gòu)成3條冗余數(shù)據(jù)的冗余測(cè)邊網(wǎng)，如圖3所示。

圖3 回轉(zhuǎn)圓四垂點(diǎn)冗余測(cè)邊網(wǎng)Fig.3 Redundant trilateration network for four vertical points of artillery slewing circle

在圖3中，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)D為回轉(zhuǎn)圓上選取的4個(gè)點(diǎn)，由觀測(cè)邊長li(i=1,2,…,10)可按按式(10)的規(guī)律計(jì)算得到角度值βj(j=1,2,…,24)；βj至其對(duì)邊的高h(yuǎn)j可按式(11)計(jì)算。通過平差處理后的邊長為l′i(i=1,2,…,10)，也可計(jì)算得到平差后的角度值β′j(j=1,2,…,24)。平差值條件方程為

(18)

式(18)按式(5)的規(guī)律得到以角度改正數(shù)表示的圖形條件為

(19)

式(19)中：ω1、ω2、ω3為角度閉合差，其計(jì)算公式為

(20)

按式 (12)的規(guī)律，得到式(19)中的角度改正數(shù)vβj與邊長改正數(shù)vli的關(guān)系式為

(21)

把式(21)代入式(19)整理可得條件方程為

(22)

式(22)中：a1～a10、b1～b10、c1～c10分別為合并后vl1～vl10的系數(shù)。

按式(14)～式(16)的規(guī)律，有

(23)

各邊長平差值l′i的計(jì)算公式為

l′i=li+vli，i=1,2,…,10

(24)

由邊長平差值l′i，按式(3)的規(guī)律計(jì)算出點(diǎn)A′(x1,y1)、點(diǎn)B′(x2,y2)、點(diǎn)C′(x3,y3)、點(diǎn)D′(x4,y4)及點(diǎn)T′(x′T,y′T)的相對(duì)坐標(biāo)。將點(diǎn)A′、B′、C′及D′的相對(duì)坐標(biāo)代入式(25)，求出參數(shù)a、b和c。

(25)

將參數(shù)a和b代入式(26)得到圓心O′(x′O,y′O)相對(duì)坐標(biāo)。再按式(4)計(jì)算出兩點(diǎn)在水平面上的距離d′OT。

(26)

3 模擬分析

3.1 測(cè)量誤差

在檢測(cè)現(xiàn)場(chǎng)，是直接測(cè)量水平地面上垂點(diǎn)之間的距離，不可避免地存在測(cè)量誤差，稱之為點(diǎn)間距測(cè)量誤差，其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差記為σl。

水平地面上的垂點(diǎn)，是通過鉛垂將火炮上預(yù)設(shè)標(biāo)記點(diǎn)投影到水平地面上標(biāo)記得到。在標(biāo)記垂點(diǎn)的過程中，鉛垂很難做到絕對(duì)靜止，往往會(huì)繞投影點(diǎn)進(jìn)行輕微擺動(dòng)；另外，所做的標(biāo)記點(diǎn)也不完全和鉛垂點(diǎn)重合。上述各種原因?qū)е聵?biāo)記的垂點(diǎn)與投影點(diǎn)位置的差異稱為垂點(diǎn)位置標(biāo)記誤差，其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差記為σr。

通常情況下，即便進(jìn)行火炮調(diào)平操作，火炮的回轉(zhuǎn)面也不一定絕對(duì)水平。火炮調(diào)平后，回轉(zhuǎn)面與水平面之間的夾角，稱為火炮調(diào)平誤差，其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差記為σα。

在現(xiàn)場(chǎng)實(shí)施時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮構(gòu)形對(duì)測(cè)量精度的影響，盡量做到回轉(zhuǎn)圓上的點(diǎn)分布均勻。但在實(shí)際標(biāo)記點(diǎn)時(shí)可能會(huì)與預(yù)設(shè)出現(xiàn)偏差，稱為標(biāo)記點(diǎn)位置分布不均勻，對(duì)應(yīng)的圓心角標(biāo)準(zhǔn)差記為ση。

3.2 蒙特卡洛方法的實(shí)施步驟

步驟1構(gòu)建火炮回轉(zhuǎn)半徑R，以及特定點(diǎn)至火炮回轉(zhuǎn)軸的水平距離d。

步驟2以各測(cè)量誤差ε在概率上符合正態(tài)分布特征，即ε∈N(0,σ2)，選取合適的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σl、σr、σα、ση，仿真出測(cè)量過程中的1組偽隨機(jī)數(shù)(εl,εr,εα,εη)。

步驟3由給定值R、d與偽隨機(jī)數(shù)εη，解算出火炮回轉(zhuǎn)圓上各標(biāo)記點(diǎn)坐標(biāo)和特定點(diǎn)坐標(biāo)。

步驟4由偽隨機(jī)數(shù)εα，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到回轉(zhuǎn)圓上各標(biāo)記點(diǎn)在水平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)和特定點(diǎn)投影坐標(biāo)。

步驟5由偽隨機(jī)數(shù)εr，解算出垂點(diǎn)在水平坐標(biāo)系上的坐標(biāo)。

步驟6由偽隨機(jī)數(shù)εl計(jì)算出各邊的模擬值li。

步驟7計(jì)算水平面上回轉(zhuǎn)中心和特定點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)。

回轉(zhuǎn)圓三垂點(diǎn)非冗余測(cè)距法，由邊長模擬值li按式(2)和式(3)分別計(jì)算O(xO,yO)和T(xT,yT)。

冗余測(cè)距法：先由各邊的模擬值li通過測(cè)邊網(wǎng)平差處理得到各邊的平差值l′i，按式(3)的規(guī)律計(jì)算出點(diǎn)A′、B′、C′、D′及點(diǎn)T′(x′T,y′T)的相對(duì)坐標(biāo)，再按式(26)計(jì)算回轉(zhuǎn)中心O′(x′O,y′O)的相對(duì)坐標(biāo)。

步驟8按式(4)計(jì)算幾種方法的特定點(diǎn)與火炮回轉(zhuǎn)中心的距離dc。

步驟9重復(fù)步驟2～步驟8的過程m次，計(jì)算得到幾種方法各m個(gè)距離模擬樣本(dc1,dc2,…,dcm)。對(duì)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到特定點(diǎn)與火炮回轉(zhuǎn)中心距離的測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差δd，其計(jì)算公式為

(27)

3.3 蒙特卡洛模擬分析

3.3.1 測(cè)量實(shí)施的基本條件

設(shè)定測(cè)量實(shí)施的基本條件為：σl=1 mm、σr=1 mm、σα=1°、ση=1°；取火炮回轉(zhuǎn)半徑R=5 000 mm，特定點(diǎn)至火炮回轉(zhuǎn)軸的水平距離d=1 000 mm；Monte Carlo方法模擬抽樣m=105次。

得到回轉(zhuǎn)圓三垂點(diǎn)非冗余測(cè)距法、冗余測(cè)距法以及回轉(zhuǎn)圓四垂點(diǎn)冗余測(cè)距法的特定點(diǎn)與火炮回轉(zhuǎn)中心距離的測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差δd分別為1.72、1.56、1.27 mm。

3.3.2 點(diǎn)間距測(cè)量誤差

在基本條件的基礎(chǔ)上，分別取點(diǎn)間距測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σl為不同值時(shí)得到的特定點(diǎn)與火炮回轉(zhuǎn)中心距離的測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差δd，結(jié)果如表1所示。

表1的結(jié)果表明：隨著點(diǎn)間距測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σl的增加，3種測(cè)量方法的測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差都呈顯著的上升趨勢(shì)；在σl≤5 mm 范圍內(nèi)，冗余測(cè)距法始終比非冗余測(cè)距法的測(cè)量誤差?。辉谌哂鄿y(cè)距法中，回轉(zhuǎn)圓四垂點(diǎn)明顯優(yōu)于回轉(zhuǎn)圓三垂點(diǎn)。

3.3.3 垂點(diǎn)位置標(biāo)記誤差

在基本條件的基礎(chǔ)上，分別取垂點(diǎn)位置標(biāo)記誤差測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σr為不同值時(shí)得到的“特定點(diǎn)與火炮回轉(zhuǎn)中心距離”的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如表2所示。

表2 垂點(diǎn)位置標(biāo)記誤差對(duì)結(jié)果的影響Table 2 Influence of vertical point position marking error on results

表2的結(jié)果表明：隨著σr的增加，3種測(cè)量方法的測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差都呈上升趨勢(shì)；在σr≤5 mm 范圍內(nèi)，冗余測(cè)距法始終比非冗余測(cè)距法的測(cè)量誤差??；在冗余測(cè)距法中，回轉(zhuǎn)圓四垂點(diǎn)相對(duì)回轉(zhuǎn)圓三垂點(diǎn)具有優(yōu)勢(shì)。

3.3.4 火炮調(diào)平誤差

在基本條件的基礎(chǔ)上，分別取火炮調(diào)平誤差測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σα為不同值時(shí)得到的“特定點(diǎn)與火炮回轉(zhuǎn)中心距離”的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如表3所示。

從表3可以看出：隨著火炮調(diào)平誤差σα的增加，幾種測(cè)量方法的測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差都呈顯著的上升趨勢(shì)；在σα≤5°范圍內(nèi)，冗余測(cè)距法始終比非冗余測(cè)距法的測(cè)量誤差??；特別是當(dāng)σα接近5°時(shí)，回轉(zhuǎn)圓四垂點(diǎn)冗余測(cè)距法的測(cè)量結(jié)果受σα的影響明顯比其他兩種小，優(yōu)勢(shì)顯著。

表3 火炮調(diào)平誤差對(duì)結(jié)果的影響Table 3 Influence of gun leveling error on results

3.3.5 標(biāo)記點(diǎn)位置分布不均勻

在基本條件的基礎(chǔ)上，分別取標(biāo)記點(diǎn)位置分布不均勻?qū)?yīng)的圓心角標(biāo)準(zhǔn)差ση為不同值時(shí)得到的“特定點(diǎn)與火炮回轉(zhuǎn)中心距離”的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如表4所示。

表4 標(biāo)記點(diǎn)位置分布不均勻?qū)Y(jié)果的影響Table 4 Influence of uneven distribution of marker points on results

從表4可以看出：在ση≤5°范圍內(nèi)，標(biāo)記點(diǎn)位置分布不均勻?qū)追N測(cè)量方法的測(cè)量結(jié)果影響都不大，冗余測(cè)距法始終比非冗余測(cè)距法的測(cè)量誤差??；在冗余測(cè)距法中，“回轉(zhuǎn)圓四垂點(diǎn)”明顯優(yōu)于“回轉(zhuǎn)圓三垂點(diǎn)”。

4 結(jié)論

在測(cè)邊網(wǎng)法測(cè)量火炮回轉(zhuǎn)圓參數(shù)的基礎(chǔ)上，本文提出系列測(cè)量火炮上特定點(diǎn)與火炮回轉(zhuǎn)軸的水平距離的方法。

(1)在檢測(cè)現(xiàn)場(chǎng)可實(shí)現(xiàn)的測(cè)量條件下，3種方式得到的測(cè)量誤差都小于2 mm。

(2)隨著測(cè)量條件的改變，冗余測(cè)距法始終比非冗余測(cè)距法的測(cè)量誤差小。

(3)在條件許可的情況下，建議采用回轉(zhuǎn)圓四垂點(diǎn)冗余測(cè)距法。