朱瑞林朱國林

（湖南師范大學工學院)（江西警察學院基礎部）

自增強圓筒塑性區(qū)深度和承載能力探討*

朱瑞林**朱國林

（湖南師范大學工學院)（江西警察學院基礎部）

從限制彈塑性界面處總應力的當量應力與內壁面處卸除自增強壓力后的殘余應力的當量應力出發(fā)，探討了厚壁圓筒的塑性區(qū)深度和承載能力，提出了相關的計算公式和圖表。

厚壁圓筒自增強超應變度承載能力壓力容器

0 前言

自增強可提高厚壁圓筒的承載能力，并且通常認為，對于自增強容器，彈塑性界面處總應力的當量應力是危險的，必須加以限制[1-2]。但研究證明，自增強處理時施加的壓力太大，也會有不利影響[3-5]。而自增強壓力的大小直接影響塑性區(qū)的深度（超應變度），超應變度的大小又影響著承載能力。因此有必要同時考慮彈塑性界面處總應力的當量應力和卸除自增強壓力后筒體內壁面上的殘余應力，來研究自增強壓力和承載能力的問題。

本文基于第四強度理論，同時假定：

①容器材料是完全彈塑性的，包辛格（Bauschinger）效應不計，壓縮屈服強度等于拉伸屈服強度。

②不計應變硬化。

③材料沒有缺陷。實際材料可在本文的結果上加以修正。

1 理論分析

文獻[3]曾導出一個經(jīng)自增強處理卸除自增強壓力后殘余應力的當量應力不超過屈服強度（|σei′/σy|≤1），即不發(fā)生反向屈服的塑性區(qū)深度公式：

式中，e0.5≤kj≤kc=2.218 457 489 916 7…，同時k≥2.218 457 489 916 7…。由于

時，無論kj多大，也不會有σei′/σy≤-1，因此本文下述討論都是針對k≥2.218 457 489 916 7…的情況。關于數(shù)據(jù)2.218 457 489 916 7…的來歷可參考文獻[3]。式（1）可繪制成曲線圖，見圖1曲線1。

文獻[2]曾導出一個使彈塑性界面rj處總應力的當量應力最小的塑性區(qū)深度公式：

最大彈性載荷

將式（3）代入式（2）得

當kj按式（4）計算時，可使rj處的總應力的當量應力最小。式（4）的圖像見圖1曲線2。由式（4）和圖1可知，隨著k增大，kj亦增大，kj的極限值是而由式（1）和圖1可知，隨著k增大，kj是減小的，式（1）中kj的極限值也是這就是說，由式（1）確定的kj比由式（4）確定的要大，即由式（4）來確定的kj永遠不會發(fā)生反向屈服，即|σei′/σy|≤1，但僅限于承受最大彈性載荷。但是容器僅承受最大彈性載荷時，自增強就沒有意義，不進行自增強處理的容器也能承受式（3）所示的載荷。

圖1 kj與k的關系

由式（2）得承載能力與塑性區(qū)深度的關系：

滿足式（5）要求時，可保證rj處的總應力的當量應力最小。如果這時塑性區(qū)深度按式（1）確定，式（1）和式（5）聯(lián)合，承載能力是一個隱式，其圖像如圖2曲線1所示。曲線1可同時保證rj處的總應力的當量應力最小和不發(fā)生反向屈服，即|σei′/σy|≤1。由圖2可見，隨著k增大，承載能力是下降的，k趨于∞時，承載能力的極限是而這又恰是最大彈性載荷，即式（3）的極限，見圖2曲線2。

圖2 承載能力與k的關系

研究表明，“rj處的總應力的當量應力最小”并不是很值得追求的目標。由文獻[3]可知，一般地，rj處的總應力的當量應力最小時，該應力比屈服強度小不少，如果允許rj處的總應力的當量應力接近或達到屈服強度，可以提高承載能力。當σej/σy=1時，由文獻[3]可知，

如果讓容器產生式（4）所示的塑性區(qū)深度，將式（4）代入式（5），則承載能力

這個承載能力就比最大彈性載荷大多了，而這時雖然rj處總應力的當量應力不是最小，但沒有超過屈服強度，同時有|σei′/σy|≤1。不過，這個承載能力比之于文獻[3]所建議的

要小。因為，

為什么會這樣呢？因為由式（4）確定的kj比由式（1）確定的小，而式（1）是剛要發(fā)生反向屈服，即|σei′/σy|=1的塑性區(qū)深度，塑性區(qū)深度淺，承載能力就小。所以由式（7）確定承載能力還沒有充分發(fā)揮容器的承載潛力。而文獻[3]所建議的承載能力計算式

但需注意：塑性區(qū)深度小可能導致rj和/或ri處總應力的當量應力過大。因為塑性區(qū)深度小，自增強處理后的殘余壓應力小，當與工作應力疊加時，會使總應力的當量應力增大。當容器受載超過式（6）所示的值時，將使σej/σy>1，σei/σy>1。文獻[3]曾給出下述若干公式。

rj處總應力的當量應力：

rj處殘余應力的當量應力：

ri處總應力的當量應力：

ri處殘余應力的當量應力：

其中σzi′為內壁面處軸向殘余應力。

令σej/σy>1，σei/σy>1，均得到：

由圖2還可以看到k>5后，增加厚度對提高承載能力幾乎不起作用。

塑性區(qū)深度也常用超應變度來衡量。超應變度的定義是：

或

將式（9）代入式（1）得：

k2ln[ε(k-1)+1]2－k2－[ε(k-1)+1]2+2=0(10)式（10）關聯(lián)了一定超應變度ε下的最大壁厚k，或一定壁厚k下的最大超應變度ε。這是一個隱式，可將其圖像繪于圖3。

圖3 ε與k的關系

k≤kc=2.218 457 489 916 7…時，超應變度ε可達100%，即整體屈服，k越大，ε越小。

將式（10）或式（9）分別與式（8）、式（7）和式（2）結合，可得三種情況下的承載能力，這些表達式都是隱式，其圖像繪于圖4的曲線1、2、3?？梢岳脠D4來確定一定超應變度下的承載能力。為方便和精確計，將ε、k和p/σy的數(shù)值關系列于表1。

圖4 承載能力與超應變度的關系

表1 ε、k和p/σy的數(shù)值關系

2 算例

下面以兩個例子來驗證本文的研究。例1：圓筒k=5。

按式（1），不發(fā)生反向屈服的kj=1.675 565。

按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.554 256。

按式（4），使rj處總應力的當量應力最小的kj=1.616 074<1.675 565，不會發(fā)生反向屈服，但限于承載能力p/σy=0.554 256。

按式（7）得承載能力p/σy=1.071 292，按式（8）得承載能力p/σy=1.108 513，二者相差0.037 221。假設σy=500 MPa，則按式（8）所得的承載能力比按式（7）的高18.610 5 MPa。

（1）kj=1.616 074（ε=15.402%）時

①按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.554 256，在此條件下的計算結果為:

②按式（7）得承載能力p/σy=1.071 292，在此條件下的計算結果為:

p/σy=1.071 292時，按式（2）的觀點，kj=2.528 854。這時：σej/σy=0.878 782；σej′/σy=0.576 543；σei/σy=0.224 796；σei′/σy=-1.708 05。雖然σej/σy較小，但σei′遠遠超過壓縮屈服強度，所以限制σej并不可取。

③按式（8）得承載能力p/σy=1.108 513，在此條件下的計算結果為:

殘余應力不變，因為它只取決于k和kj。如果允許σej和σei略超過屈服強度，則這一方案也是可取的。

按式（5）得承載能力p/σy=0.554 256=pe/σy。

p/σy=1.108 513時，按式（2）的觀點，kj=2.611 698。這時：σej/σy=0.888 951；σej′/σy=0.595 737；σei/σy=0.242 54；σei′/σy=-1.757 46。雖然σej/σy較小，但σei′遠遠超過壓縮屈服強度。

（2）kj=1.675 565（ε=16.889 2%）時

①按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.554 256，在此條件下的計算結果為:

②按式（7）得承載能力p/σy=1.071 292，在此條件下的計算結果為:

③按式（8）得承載能力p/σy=1.108 513，在此條件下的計算結果為:

按式（5）可得承載能力p/σy=0.595 999。這時：

例2：圓筒k=3。

按式（1），不發(fā)生反向屈服的kj=1.748 442。

按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.513 2。

按式（4），使rj處總應力的當量應力最小的kj=1.559 623<1.748 442，不會發(fā)生反向屈服，但限于承載能力p/σy=0.513 2。

按式（7）得承載能力p/σy=0.934 51，按式（8）得承載能力p/σy=1.026 4，二者相差0.091 89。假設σy=500 MPa，則按式（7）所得的承載能力比按式（8）的高45.945 MPa，這個數(shù)值不小。

（1）kj=1.559 623（ε=27.981%）時

①按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.513 2，在此條件下的計算結果為:

②按式（7）得承載能力p/σy=0.934 51，在此條件下的計算結果為:

p/σy=0.934 51時，按式（2）的觀點，kj=2.246 356。這時：σej/σy=0.835 237；σej′/σy=0.501 107；σei/σy=0.168 588；σei′/σy=-1.517 47。雖然σej/σy較小，但σei′遠遠超過壓縮屈服強度。

③按式（8）得承載能力p/σy=1.026 4，在此條件下的計算結果為:

殘余應力不變，因為它只取決于k和kj。σei超過屈服強度過多，這一方案不可取。

按式（5）得承載能力p/σy=0.513 2。p/σy=1.026 4時，按式（2）的觀點，kj=2.432 424。這時：σej/σy=0.865 611；σej′/σy=0.552 623；σei/σy=0.204 862；σei′/σy=-1.646 99。雖然σej/σy較小，但σei′遠遠超過壓縮屈服強度。

（2）kj=1.748 442（ε=37.422%）時

①按式（3），最大彈性載荷pe/σy=0.513 2，在此條件下的計算結果為:

②按式（7）得承載能力p/σy=0.934 51，在此條件下的計算結果為:

③按式（8）得承載能力p/σy=1.026 4，在此條件下的計算結果為:

按式（5）得承載能力p/σy=0.645 16（比k=5情況下的承載能力p/σy=0.595 999還大，不合理）。這時：

3 結論

比較了不同觀點下的塑性區(qū)深度和承載能力，給出了相關的計算公式和圖表，通過算例驗證了研究結果。再一次證明了以公式

確定塑性區(qū)深度，同時以公式

確定承載能力是最佳的，這時σej/σy=1，σej′/σy<1，σei/σy=1，σei′/σy=-1。

符號說明

ri、rj、ro——分別為圓筒的內半徑、彈塑性界面半徑和外半徑，m

k——圓筒的外、內半徑之比，k=ro/ri

kj——圓筒的彈塑性界面半徑與內半徑之比，kj=rj/ri

kc——臨界徑比，kc=2.218 457 489 916 7…

p——圓筒的內壓，MPa

pe——最大彈性承載能力（初始屈服壓力）,MPa

σy——屈服強度，MPa

σe——當量應力，MPa

[1] 余國琮.化工容器及設備[M].北京：化學工業(yè)出版社，1980.

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[6] 數(shù)學手冊編寫組.數(shù)學手冊[M].北京:高等教育出版社,1984.

Study on Depth of Plastic Zone and Load-bearing Capacity of Autofrettaged Cylinder

Zhu Ruilin Zhu Guolin

From the standpoint of limiting the equivalent stress of the total stresses at elastic-plastic juncture and the equivalent residual stresses at inside surface,depth of plastic zone and load-bearing capacity for thick wall cylinder are studied，and formulas，figures and tables are offered.

Thick wall cylinder；Autofrettage；Overstrain；Load-bearing capacity；Pressure vessel

TQ 050.1

*國家科技部創(chuàng)新基金資助項目（09C26214305047）。

**朱瑞林，男，1962年生，博士，教授。長沙市，410081。

2011-10-21）