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        周期環(huán)境下尺度結(jié)構(gòu)隨機(jī)種群擴(kuò)散系統(tǒng)的最優(yōu)收獲

        2022-09-28 09:29:38
        關(guān)鍵詞:擴(kuò)散系數(shù)常數(shù)尺度

        卜 紅 彧

        (遼東學(xué)院師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,遼寧 丹東 118003)

        1 問(wèn)題的提出

        在種群?jiǎn)栴}的研究過(guò)程中,考慮到種群擁擠和生存環(huán)境限制對(duì)種群發(fā)展過(guò)程的影響,相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型關(guān)于狀態(tài)函數(shù)就是非線(xiàn)性的.文獻(xiàn)[1]研究了年齡和時(shí)滯的非擴(kuò)散種群系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制;文獻(xiàn)[2]研究了年齡結(jié)構(gòu)和加權(quán)的隨機(jī)種群系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制;文獻(xiàn)[3]研究了一類(lèi)污染環(huán)境下具有擴(kuò)散和年齡結(jié)構(gòu)的隨機(jī)種群系統(tǒng)強(qiáng)解的存在唯一性;文獻(xiàn)[4]研究了一類(lèi)非隨機(jī)周期種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲;文獻(xiàn)[5]研究了尺度結(jié)構(gòu)的非擴(kuò)散隨機(jī)種群系統(tǒng)的最優(yōu)輸入率控制;文獻(xiàn)[6-8]研究了個(gè)體尺度結(jié)構(gòu)下競(jìng)爭(zhēng)種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲控制、最優(yōu)邊界控制和最優(yōu)輸入率控制;文獻(xiàn)[9]研究了非隨機(jī)種群擴(kuò)散系統(tǒng)的最優(yōu)收獲條件.在上述基礎(chǔ)上,基于周期環(huán)境,只有考慮到種群的尺度結(jié)構(gòu)、擴(kuò)散系數(shù)和隨機(jī)因素的影響,才更加符合種群生存的實(shí)際.本文討論如下具有尺度結(jié)構(gòu)的隨機(jī)種群擴(kuò)散系統(tǒng)(P):

        (1)

        在上述模型中:固定常數(shù)m,T分別表示種群個(gè)體最大尺度和系統(tǒng)演變周期,00是種群的空間擴(kuò)散系數(shù);g(s)表示種群個(gè)體尺度的增長(zhǎng)率;μ0(s,t,x)≥0是種群的自然死亡率;μ(s,t,x;P)≥0是種群的外界死亡率;β(s,t,x;P)是種群的生育率;g′(s,t,x)dω表示外部環(huán)境對(duì)種群系統(tǒng)的隨機(jī)擾動(dòng),ω(t)為白噪聲;p0(s,x)≥0是時(shí)刻t=0初始尺度分布;k(s,t,x)為權(quán)函數(shù).在周期環(huán)境下,v(s,t,x)為系統(tǒng)(P)的收獲率,取v為控制量,性能指標(biāo)泛函為

        (2)

        討論下面的最優(yōu)收獲控制問(wèn)題:尋找u∈U,使得

        (3)

        其中容許控制集為

        U={v∈L∞(Q)|0≤v(s,t,x)=v(s,t+T,x)≤L<+∞,a.e.于Q內(nèi)}.

        2 基本假設(shè)

        本文假設(shè)如下條件成立,其中Mi(i=1,2,…,6)為常數(shù):

        (H2)μ(s,t,x;y)與β(s,t,x;y)關(guān)于y二次連續(xù)可微,且

        0≤μ(s,t,x;y),β(s,t,x;y),|μy(s,t,x;y)|,|βy(s,t,x;y)|≤M2a.e.于Q×+上,

        μ(s,t+T,x;P(t+T,x))=μ(s,t,x;P(t,x)),β(s,t+T,x;P(t+T,x))=β(s,t,x;P(t,x));

        (H3) 0≤p0(s,x)≤M3<+∞ a.e.于Ωm內(nèi),滿(mǎn)足相容性條件:

        (H4)g(s)是(0,m)上連續(xù)可微增函數(shù),0

        (H5) 連續(xù)函數(shù)g′(s,t,x)滿(mǎn)足g′(s,t,x)=g′(s,t+T,x);

        (H6) 0≤k(s,t,x)≤M6<+∞于Q內(nèi).

        按照文獻(xiàn)[10]引進(jìn)一些記號(hào):設(shè)H1(Ω)是Ω上的一階Sobolev空間,即

        V=L2(0,T;H1(Ω))是定義在[0,T]上取值在H1(Ω)中的Hilbert空間.V′為V的對(duì)偶空間L2(0,T;(H1(Ω))′).

        定理2[4]設(shè)(H1)—(H6)成立,則問(wèn)題(3)在U中至少存在一個(gè)最優(yōu)控制u∈U.

        3 最優(yōu)收獲條件

        (4)

        其中:

        uλ=u+λ(v-u),0<λ<1;pλ=p(uλ);p=p(u).

        (5)

        由(4)和(5)式有

        (6)

        (7)

        (6)與(7)式作差,將所得方程兩端除以λ>0,令λ→0+易得

        (8)

        定理3 設(shè)u∈U是問(wèn)題(3)的最優(yōu)收獲控制,則u∈U滿(mǎn)足

        (9)

        證明由性能指標(biāo)泛函J(v)的結(jié)構(gòu)式(2)和u∈U為最優(yōu)收獲控制及(5)式,對(duì)0<λ<1得

        為了變換(9)式,定義如下的共軛系統(tǒng):

        (10)

        q(s,t,x)=q(s,t+T,x),在Q內(nèi);

        (11)

        q(m,t,x)=0,在ΩT內(nèi);

        (12)

        q(s,T,x)=0,在Ωm內(nèi);

        (13)

        q(s,t,x)=0,在∑上;

        (14)

        (15)

        上式等號(hào)右邊關(guān)于變量s和t分部積分,并注意到(8)和 (11)—(15)式,得

        所以有與(9)式等價(jià)的變分不等式:

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