孫 鳳 琪

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引言

在控制系統(tǒng)中，由于使得系統(tǒng)不穩(wěn)定和系統(tǒng)性能變?nèi)醯囊蛩刂T多，因此要求在能夠保證魯棒穩(wěn)定的同時(shí)，還要使系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足一定的要求，即保性能控制[1].對(duì)于不確定離散時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)，如何設(shè)計(jì)出一個(gè)高效合理的保性能控制器，使得在綜合指標(biāo)前提條件下系統(tǒng)的性能指標(biāo)始終不會(huì)超過(guò)某個(gè)上限，這是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的研究課題，引起了非常多學(xué)者的關(guān)注[2-4].目前，關(guān)于連續(xù)系統(tǒng)的保性能控制研究成果較多，但是，針對(duì)不確定離散時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)保性能控制的研究成果尚少.

文獻(xiàn)[5]第一次將保成本控制由連續(xù)系統(tǒng)推廣到離散系統(tǒng)，對(duì)含有不確定性和時(shí)間滯后的離散系統(tǒng)進(jìn)行分析，最后得到了存在無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器的條件.文獻(xiàn)[6-8]同樣對(duì)離散系統(tǒng)開(kāi)展了研究，選取了包含參數(shù)不確定性的滯后系統(tǒng)，得出了保性能控制器在離散系統(tǒng)中存在的最佳狀態(tài).文獻(xiàn)[9]對(duì)于具有非線性的離散2維系統(tǒng)進(jìn)行保成本控制分析，考慮了控制器可能出現(xiàn)的無(wú)記憶和記憶兩種狀態(tài)，由Lyapunov穩(wěn)定性定理得出系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的，并以線性矩陣不等式方法為途徑，得到了系統(tǒng)存在保性能控制器的條件.然而，文中并沒(méi)有考慮系統(tǒng)中可能存在時(shí)變時(shí)滯狀態(tài)的情形.

目前，保性能控制在不確定連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)中的探究已非常詳細(xì)，研究成果頗豐.在離散系統(tǒng)中保性能控制理論成果也較多，但都不同程度地存在系統(tǒng)單一以及研究方法過(guò)于保守的問(wèn)題[15-16]，且針對(duì)時(shí)滯攝動(dòng)離散系統(tǒng)的相關(guān)文獻(xiàn)仍尚少.因此，如何選取新的方法使不確定離散時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)的保性能控制問(wèn)題得到有效解決，需要廣大學(xué)者做進(jìn)一步研究.

本文以現(xiàn)有的理論成果為基礎(chǔ)，將系統(tǒng)中的時(shí)滯設(shè)定為時(shí)變狀態(tài)，在系統(tǒng)矩陣中添加奇異攝動(dòng)和不確定性，對(duì)不確定離散時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行保性能控制分析，給出了閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到漸近穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)性能指標(biāo)的更小上界和系統(tǒng)存在狀態(tài)保性能控制器的具體條件.

通過(guò)線性矩陣分析方法和交叉項(xiàng)界定方法，利用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論，本文研究了不確定離散時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)的保性能控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)依賴(lài)奇異攝動(dòng)參數(shù)的新的性能指標(biāo)，推出了保性能控制率以及較小的性能指標(biāo)上界.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮以下帶有控制輸入的離散不確定時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)：

(1)

0≤d(k)≤τ，

(2)

τ為已知常數(shù)；F(k)∈i×j是不確定參數(shù)矩陣，

FT(k)F(k)≤I.

(3)

定義性能指標(biāo)如下：

(4)

其中S和R是待定的對(duì)稱(chēng)正定加權(quán)矩陣.

設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器

u*(k)=Kx(k)，

(5)

其中K是未知的控制器增益矩陣，則閉環(huán)系統(tǒng)成為

E(ε)x(k+1)=[A+DF(k)E1]x(k)+[Ad+DF(k)Ed]x(k-d(k))+BKx(k)=

[A+BK+DF(k)E1]x(k)+[Ad+DF(k)Ed]x(k-d(k))，

(6)

本文所得結(jié)論均在滿足文獻(xiàn)[17]引理1的條件下成立.

2 時(shí)滯依賴(lài)的保性能控制

(7)

(8)

則系統(tǒng)(1)的狀態(tài)反饋保性能控制器存在，相應(yīng)的保性能控制律為

性能指標(biāo)上界為

且閉環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)(4)滿足J≤J*.

證明定義如下的Lyapunov泛函：

V(x(k))=V1(k)+V2(k)+V3(k).

其中：

V1(k)=xT(k)ET(ε)Z-T(ε)Z-1(ε)E(ε)x(k)，

這里Q和M為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，即QT=Q>0，MT=M>0.

由文獻(xiàn)[17]引理2，得：

從而V(x(k))為正定的L-K泛函.將V(x(k))沿著閉環(huán)系統(tǒng)(6)的任意軌跡進(jìn)行差分，得到ΔV(k)≤ξT(k)G(ε)ξ(k)，其中：

(9)

這里：

Σ(ε)=Z-T(ε)Z-1(ε)+Z-T(ε)QZ-1(ε)+(1-τ)M；

AC=A+BK+DF(k)E1；

AD=Ad+BK1+DF(k)Ed.

類(lèi)似于文獻(xiàn)[17]中定理2的證明，對(duì)G(ε)<0消去不確定性并進(jìn)行線性化處理.若記

則G(ε)<0等價(jià)于

以上過(guò)程均可逆，故

ΔV(k)≤ξT(k)G(ε)ξ(k)<0，

因此，閉環(huán)系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定.

由(9)式得：

ΔV(k)<-xT(k)[Z-T(ε)SZ-1(ε)+KTRK]x(k)<0；

-ΔV(k)>xT(k)[Z-T(ε)SZ-1(ε)+KTRK]x(k).

將上式兩邊從0到∞對(duì)k求和，并利用系統(tǒng)的穩(wěn)定性可知V(x(∞))=0，故

3 時(shí)滯獨(dú)立的保性能控制

(10)

(11)

則系統(tǒng)(1)的狀態(tài)反饋保性能控制器存在，相應(yīng)的保性能控制律為

性能指標(biāo)上界為

且閉環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)(4)滿足J≤J*.

定理2的證明過(guò)程與定理1類(lèi)似，此處略去.

4 算例

考慮滿足如下非標(biāo)準(zhǔn)情形的不確定離散時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(4)，其中：

Z1=0.164 8，Z2=0.124 9，Z3=0.378 4，Z4=0.459 8，Z5=0.212 3，γ=2.412 6，

則

即為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)反饋保性能控制律，性能指標(biāo)上界為

表1 保性能控制性能指標(biāo)對(duì)比

定理1具有較大的奇異攝動(dòng)參數(shù)上界值0.55，并且保性能控制區(qū)間在(0，0.55]，擴(kuò)大了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定范圍，性能指標(biāo)上界值J*=9.853 7比文獻(xiàn)的10.700 6也相對(duì)更小.

綜上數(shù)值樣例表明，本文所得定理的保性能控制條件具有可行性，控制方式有效，進(jìn)一步拓寬和完善了保性能控制理論體系.其線性矩陣不等式保性能控制條件形式簡(jiǎn)單易行，并且適用于標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)情形.相比較而言，本文的控制效果具有一定的優(yōu)越性，研究結(jié)果具有一定的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

5 結(jié)論

在近幾年中，保性能控制問(wèn)題受到了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注，在眾多學(xué)者的共同努力下，已經(jīng)形成了比較系統(tǒng)的理論體系.本文創(chuàng)新之處在于：

(1) 選取了新的綜合控制系統(tǒng)保性能控制研究；

(2)重新定義了性能指標(biāo)，以及一個(gè)新的李亞普諾夫泛函；

本文對(duì)于不確定離散時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)保性能控制的研究，可以為相關(guān)控制問(wèn)題研究提供理論參考.對(duì)于記憶狀態(tài)反饋保性能控制設(shè)計(jì)，是下一步需要解決的問(wèn)題.