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        一類離散綜合控制系統(tǒng)的保性能控制

        2022-09-28 09:28:40
        關(guān)鍵詞:離散系統(tǒng)性能指標(biāo)時滯

        孫 鳳 琪

        (吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,吉林 四平 136000)

        0 引言

        在控制系統(tǒng)中,由于使得系統(tǒng)不穩(wěn)定和系統(tǒng)性能變?nèi)醯囊蛩刂T多,因此要求在能夠保證魯棒穩(wěn)定的同時,還要使系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足一定的要求,即保性能控制[1].對于不確定離散時滯奇異攝動控制系統(tǒng),如何設(shè)計出一個高效合理的保性能控制器,使得在綜合指標(biāo)前提條件下系統(tǒng)的性能指標(biāo)始終不會超過某個上限,這是一個具有挑戰(zhàn)性的研究課題,引起了非常多學(xué)者的關(guān)注[2-4].目前,關(guān)于連續(xù)系統(tǒng)的保性能控制研究成果較多,但是,針對不確定離散時滯奇異攝動控制系統(tǒng)保性能控制的研究成果尚少.

        文獻[5]第一次將保成本控制由連續(xù)系統(tǒng)推廣到離散系統(tǒng),對含有不確定性和時間滯后的離散系統(tǒng)進行分析,最后得到了存在無記憶狀態(tài)反饋控制器的條件.文獻[6-8]同樣對離散系統(tǒng)開展了研究,選取了包含參數(shù)不確定性的滯后系統(tǒng),得出了保性能控制器在離散系統(tǒng)中存在的最佳狀態(tài).文獻[9]對于具有非線性的離散2維系統(tǒng)進行保成本控制分析,考慮了控制器可能出現(xiàn)的無記憶和記憶兩種狀態(tài),由Lyapunov穩(wěn)定性定理得出系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的,并以線性矩陣不等式方法為途徑,得到了系統(tǒng)存在保性能控制器的條件.然而,文中并沒有考慮系統(tǒng)中可能存在時變時滯狀態(tài)的情形.

        目前,保性能控制在不確定連續(xù)時滯系統(tǒng)中的探究已非常詳細,研究成果頗豐.在離散系統(tǒng)中保性能控制理論成果也較多,但都不同程度地存在系統(tǒng)單一以及研究方法過于保守的問題[15-16],且針對時滯攝動離散系統(tǒng)的相關(guān)文獻仍尚少.因此,如何選取新的方法使不確定離散時滯奇異攝動控制系統(tǒng)的保性能控制問題得到有效解決,需要廣大學(xué)者做進一步研究.

        本文以現(xiàn)有的理論成果為基礎(chǔ),將系統(tǒng)中的時滯設(shè)定為時變狀態(tài),在系統(tǒng)矩陣中添加奇異攝動和不確定性,對不確定離散時滯奇異攝動控制系統(tǒng)進行保性能控制分析,給出了閉環(huán)系統(tǒng)達到漸近穩(wěn)定狀態(tài)時系統(tǒng)性能指標(biāo)的更小上界和系統(tǒng)存在狀態(tài)保性能控制器的具體條件.

        通過線性矩陣分析方法和交叉項界定方法,利用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論,本文研究了不確定離散時滯奇異攝動控制系統(tǒng)的保性能控制問題,設(shè)計依賴奇異攝動參數(shù)的新的性能指標(biāo),推出了保性能控制率以及較小的性能指標(biāo)上界.

        1 預(yù)備知識

        考慮以下帶有控制輸入的離散不確定時滯奇異攝動控制系統(tǒng):

        (1)

        0≤d(k)≤τ,

        (2)

        τ為已知常數(shù);F(k)∈i×j是不確定參數(shù)矩陣,

        FT(k)F(k)≤I.

        (3)

        定義性能指標(biāo)如下:

        (4)

        其中S和R是待定的對稱正定加權(quán)矩陣.

        設(shè)計狀態(tài)反饋控制器

        u*(k)=Kx(k),

        (5)

        其中K是未知的控制器增益矩陣,則閉環(huán)系統(tǒng)成為

        E(ε)x(k+1)=[A+DF(k)E1]x(k)+[Ad+DF(k)Ed]x(k-d(k))+BKx(k)=

        [A+BK+DF(k)E1]x(k)+[Ad+DF(k)Ed]x(k-d(k)),

        (6)

        本文所得結(jié)論均在滿足文獻[17]引理1的條件下成立.

        2 時滯依賴的保性能控制

        (7)

        (8)

        則系統(tǒng)(1)的狀態(tài)反饋保性能控制器存在,相應(yīng)的保性能控制律為

        性能指標(biāo)上界為

        且閉環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)(4)滿足J≤J*.

        證明定義如下的Lyapunov泛函:

        V(x(k))=V1(k)+V2(k)+V3(k).

        其中:

        V1(k)=xT(k)ET(ε)Z-T(ε)Z-1(ε)E(ε)x(k),

        這里Q和M為對稱正定矩陣,即QT=Q>0,MT=M>0.

        由文獻[17]引理2,得:

        從而V(x(k))為正定的L-K泛函.將V(x(k))沿著閉環(huán)系統(tǒng)(6)的任意軌跡進行差分,得到ΔV(k)≤ξT(k)G(ε)ξ(k),其中:

        (9)

        這里:

        Σ(ε)=Z-T(ε)Z-1(ε)+Z-T(ε)QZ-1(ε)+(1-τ)M;

        AC=A+BK+DF(k)E1;

        AD=Ad+BK1+DF(k)Ed.

        類似于文獻[17]中定理2的證明,對G(ε)<0消去不確定性并進行線性化處理.若記

        則G(ε)<0等價于

        以上過程均可逆,故

        ΔV(k)≤ξT(k)G(ε)ξ(k)<0,

        因此,閉環(huán)系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定.

        由(9)式得:

        ΔV(k)<-xT(k)[Z-T(ε)SZ-1(ε)+KTRK]x(k)<0;

        -ΔV(k)>xT(k)[Z-T(ε)SZ-1(ε)+KTRK]x(k).

        將上式兩邊從0到∞對k求和,并利用系統(tǒng)的穩(wěn)定性可知V(x(∞))=0,故

        3 時滯獨立的保性能控制

        (10)

        (11)

        則系統(tǒng)(1)的狀態(tài)反饋保性能控制器存在,相應(yīng)的保性能控制律為

        性能指標(biāo)上界為

        且閉環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)(4)滿足J≤J*.

        定理2的證明過程與定理1類似,此處略去.

        4 算例

        考慮滿足如下非標(biāo)準情形的不確定離散時滯奇異攝動控制系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(4),其中:

        Z1=0.164 8,Z2=0.124 9,Z3=0.378 4,Z4=0.459 8,Z5=0.212 3,γ=2.412 6,

        即為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)反饋保性能控制律,性能指標(biāo)上界為

        表1 保性能控制性能指標(biāo)對比

        定理1具有較大的奇異攝動參數(shù)上界值0.55,并且保性能控制區(qū)間在(0,0.55],擴大了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定范圍,性能指標(biāo)上界值J*=9.853 7比文獻的10.700 6也相對更小.

        綜上數(shù)值樣例表明,本文所得定理的保性能控制條件具有可行性,控制方式有效,進一步拓寬和完善了保性能控制理論體系.其線性矩陣不等式保性能控制條件形式簡單易行,并且適用于標(biāo)準和非標(biāo)準情形.相比較而言,本文的控制效果具有一定的優(yōu)越性,研究結(jié)果具有一定的理論意義和實際應(yīng)用價值.

        5 結(jié)論

        在近幾年中,保性能控制問題受到了越來越多學(xué)者的關(guān)注,在眾多學(xué)者的共同努力下,已經(jīng)形成了比較系統(tǒng)的理論體系.本文創(chuàng)新之處在于:

        (1) 選取了新的綜合控制系統(tǒng)保性能控制研究;

        (2)重新定義了性能指標(biāo),以及一個新的李亞普諾夫泛函;

        本文對于不確定離散時滯奇異攝動控制系統(tǒng)保性能控制的研究,可以為相關(guān)控制問題研究提供理論參考.對于記憶狀態(tài)反饋保性能控制設(shè)計,是下一步需要解決的問題.

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