張 琬，施三支，吳東旭

(長(zhǎng)春理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022)

0 引言

眾所周知，實(shí)際問題的動(dòng)力學(xué)模型通?？梢杂梦⒎址匠探M來描述.然而，由于這些方程往往過于復(fù)雜，一般很難得到解析解.即使一個(gè)精確的解是可以獲得的，但經(jīng)常由于其計(jì)算過于復(fù)雜而難以實(shí)現(xiàn)，因此，尋找這些方程的近似解析解成為許多研究者的研究課題.

攝動(dòng)方法是最廣泛地應(yīng)用于得到小參數(shù)非線性系統(tǒng)近似解的方法，從而將解展開為這個(gè)小參數(shù)的冪級(jí)數(shù).因?yàn)榇嬖陂L(zhǎng)期項(xiàng)，傳統(tǒng)的攝動(dòng)方法在實(shí)際復(fù)雜的系統(tǒng)中不起作用.因此，為了得到顯式解，已經(jīng)開發(fā)出各種奇異攝動(dòng)方法，例如LP法、KBM法、重整化群法[1]、多時(shí)間擴(kuò)張法、變分迭代法[2-4]和同調(diào)攝動(dòng)法[5-8].在這些方法中，由于代數(shù)的復(fù)雜性，一個(gè)更低的近似解通常由攝動(dòng)方法決定.然而，所有這些方法的一個(gè)共同問題是，在近似解中，長(zhǎng)期項(xiàng)是不可避免的，因此，為了消除這些導(dǎo)致計(jì)算效率低下的長(zhǎng)期項(xiàng)，必須付出一些額外的代價(jià).

本文針對(duì)非線性常微分系統(tǒng)的近似解問題，提出了一種沒有長(zhǎng)期項(xiàng)的自由迭代算法(SFIA).通過構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代過程，可以很容易地以高精度和較少的計(jì)算得到近似解，而不需要付出消除長(zhǎng)期項(xiàng)的額外成本.

1 SFIA方法

考慮2n維的非線性微分方程

u″(t)+a(t)u′(t)+b(t)u(t)=f(t，u，u′).

(1)

其中：a(t)和b(t)為連續(xù)函數(shù)；f(t，u，u′)為區(qū)域D內(nèi)一次偏導(dǎo)數(shù)有界的非線性函數(shù).簡(jiǎn)便起見，通過引入兩個(gè)新的變量

u′=v，v′=-a(t)u′-b(t)u+f(t，u，u′)，

(2)

令

則方程(1)可以簡(jiǎn)寫為

U′=AU+F(t，U).

(3)

假設(shè)Φ(t)是線性方程

U′=AU

(4)

的基本解矩陣.對(duì)任意t∈D和任意的2n維的常向量u0，方程(3)滿足初值條件u0(t)=u0的解等價(jià)于下面的積分方程：

(5)

換而言之，如果u=u(t)是方程(3)的解，那么同樣是方程(5)的解.

注意到在式子(5)的右邊U中具有未知變量u(t)，因此方程(5)并不能通過簡(jiǎn)單的計(jì)算求得.為了得到方程(5)的解，將上述方程寫成如下的等價(jià)形式：

(6)

注意到

(7)

可以得到

(8)

根據(jù)常數(shù)變易公式

(9)

構(gòu)造如下簡(jiǎn)單的迭代公式：

(10)

這一迭代公式非常類似于Picard級(jí)數(shù)中的迭代公式，可以寫成如下的簡(jiǎn)單形式：

(11)

其中λ稱為L(zhǎng)agrange乘子，λ=Φ(t)Φ-1(s).

從形式上看，這個(gè)公式與變分迭代法中的公式是十分類似的，但獲得Lagrange乘子的途徑是完全不同的.在變分迭代法中，需要對(duì)上述校正泛函做變分，根據(jù)穩(wěn)定性條件才能得到相應(yīng)的Lagrange乘子，其中要經(jīng)過比較復(fù)雜的推導(dǎo)過程.本文則由常數(shù)變異公式出發(fā)確定了迭代公式，并直接給出了Lagrange 乘子的具體形式，并且不需要進(jìn)行變分處理及穩(wěn)定性條件等復(fù)雜的推導(dǎo)過程，從而在實(shí)際計(jì)算中增強(qiáng)了實(shí)用性且減少了不必要的變分過程帶來的復(fù)雜運(yùn)算.問題的關(guān)鍵是根據(jù)具體方程能否給出基本解矩陣.

(12)

它的部分和為

(13)

由迭代公式

(14)

|L(um+1(t)，t)-L(um(t)，t)|≤q|um+1(t)-um(t)|

(15)

成立，且M為L(zhǎng)(um(t)，t)在區(qū)域D上的一致上界.

由um+1(t)≈um(t)，將(14)式建立為逐步逼近序列

(16)

進(jìn)行如下估計(jì)：

利用數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)對(duì)任意正整數(shù)n，如下不等式成立：

(17)

那么

從而對(duì)所有的正整數(shù)m，有如下估計(jì)：

2 關(guān)于SFIA方法的應(yīng)用

例1 考慮下面的非線性系統(tǒng)

(18)

注意到方程(18)的系數(shù)均為常數(shù)，因此可得基本解矩陣

(19)

通過取初始逼近值y=cost，利用數(shù)學(xué)工具M(jìn)aple，可以得到一次穩(wěn)態(tài)近似解

y1(t)=-1.012 5e-0.5tcos(1.322t)-0.487 5sin(2t)-0.512 5cos(2t)+
1.5sint+1.5cost-0.023 6e-0.5tsin(1.32t)+0.25.

圖1比較了利用RK方法得到的數(shù)值參照解與文中提出的SFIA方法得到的近似解之間關(guān)系，顯然可見利用SFIA方法得到的近似解與數(shù)值參照解之間是非常接近的.

圖1 例1 SFIA解與數(shù)值參照解比較

從這個(gè)例子中很容易看出，SFIA解非常接近參照解，不需要額外的努力就可以消除長(zhǎng)期項(xiàng)，這表明了該方法的有效性.

例2 考慮有阻尼的Duffing 系統(tǒng)

(20)

這里ε=0.5.類似于例1，容易得到上述系統(tǒng)的基本解矩陣

(21)

利用初始近似值y=exp(-t)和常用數(shù)學(xué)軟件Maple，可以得到一次穩(wěn)態(tài)近似解析解

(22)

容易看出，這里并沒有長(zhǎng)期項(xiàng).

圖2顯示了相應(yīng)的y(t)和dy(t)/dt長(zhǎng)時(shí)間的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng).可以清楚地看出利用SFIA方法得到的一階近似解非常接近參照解.

圖2 例2 SFIA一階迭代近似解與數(shù)值參照解的比較

再利用自由迭代公式(10)和數(shù)學(xué)工具M(jìn)aple，可以很容易得到二階迭代近似值：

y(t)=-0.136exp(-2t)sin(3t)-0.7cos(t)+0.472sin(t)-0.99e-
exp(-3t)cos(3t)-0.35sin(t)exp(-t)t-0.246exp(-3t)cos(t)-
0.419exp(-3t)sin(t)-0.162sin(t)exp(-2t)t+0.251e-exp(-5t)-
0.535e-2exp(-3t)cos(2t)-0.372e-3sin(t)exp(-6t)+0.36e-
2exp(-4t)+0.489e-2cos(3t)+0.592e-exp(-t)cos(3t)+
1.69exp(-t)sin(t)-0.188e-exp(-4t)cos(2t)+0.9cos(t)exp(-t)-
0.516e-2exp(-3t)sin(2t)+0.837e-2sin(3t)-0.295e-
exp(-t)sin(3t)+0.164e-exp(-5t)sin(2t)+0.10e-
exp(-5t)cos(2t)+0.35cos(t)exp(-2t)-0.243 9cos(t)exp(-4t)-
0.324cos(t)exp(-2t)t-0.609e-sin(t)exp(-4t)-0.487e-
exp(-2t)cos(3t)-0.243sin(t)texp(-3t)+0.19e-exp(-3t)sin(3t)-
0.108cos(t)exp(-t)t-0.585 7e-3cos(t)exp(-7t)+0.769e-5exp(-9t)-
0.508e-3sin(t)exp(-7t)+0.156e-exp(-4t)sin(2t)+0.12e-exp(-3t)+
0.331e-3cos(t)exp(-6t)-0.2sin(t)exp(-2t).

從上面的公式可以看出，第二步迭代中出現(xiàn)類似于te-tsin(t)，te-tcos(t)的項(xiàng)，而并沒有類似tsint，tcost的長(zhǎng)期項(xiàng)存在.注意到te-tsin(t)，te-tcos(t)等項(xiàng)是隨著時(shí)間的增加逐漸趨于零的，因此，沒有經(jīng)過任何的額外計(jì)算，已經(jīng)在第二步迭代中消除了長(zhǎng)期項(xiàng)，也可以理解為SFIA方法不會(huì)產(chǎn)生長(zhǎng)期項(xiàng).

圖3展示了利用SFIA方法得到的二階近似解和參照解之間的比較，可以看出二次近似解十分逼近參照解.

圖3 例2 SFIA二階近似解與數(shù)值參照解的比較

圖3展示了用SFIA方法得到的二階近似解與用RK方法得到的參照解之間的比較.它清楚地表明，用SFIA方法所求出的解與參照解非常接近.

例3 考慮Reyleigh方程

(23)

其中ε>0，ε?1.方程(23)可以改寫為

(24)

(25)

顯然上述方程與方程(23)是等價(jià)的.選擇初始近似y(t)=cos(t)，并且再次利用自由迭代公式(10)和數(shù)學(xué)工具M(jìn)aple，可以得到二次迭代解：

y(t)=-0.501-2exp(-0.05t)sin3t+0.82exp(-0.05t)cost+
0.008 61exp(-0.1t)sint+0.16exp(-0.05t)sint-0.038sint+
0.004 3exp(-0.1t)sint-0.03exp(-0.015t)cost-
1.02exp(-0.035t)cost-0.25exp(-0.035t)sint+2.16cost+
0.040sint+0.006 1exp(-0.05t)sint+0.005exp(-0.1t)sint+
0.27exp(-0.1t)cost+0.003 9sin(3t)-0.001 8exp(-0.15t)sint-
0.002 5exp(-0.1t)sint+0.004 3exp(-0.1t)sin(3t)t-1.32exp(-0.05t)cost+
0.13exp(-0.1t)cost-0.002 1exp(-0.1t)sin(3t)+0.038exp(-0.05t)sint.

圖4顯示了二階迭代解與參照解的逼近程度，從中可以看出，用SFIA方法得到的二階迭代近似解與數(shù)值參照解非常接近.

圖4 例3 SFAI二階近似解與數(shù)值參照解的比較

在上面得到的近似解中，沒有形如tsint和tcost之類的長(zhǎng)期項(xiàng)，但有exp(-βt)tsin(t)和exp(-βt)tcos(t)等項(xiàng).注意到當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，項(xiàng)exp(-βt)tsin(t)和exp(-βt)tcos(t)趨于0.從而可以看出利用SFIA方法得到的二階近似解沒有長(zhǎng)期項(xiàng).

在上面的討論中引入了正的阻尼項(xiàng)來避免長(zhǎng)期項(xiàng)的出現(xiàn)，因?yàn)檎淖枘嵬ǔＪ窍哪芰康?，所以在相?yīng)的基本解矩陣中要包含類似于exp(-t)等項(xiàng)，從而可以有效地避免高階近似中長(zhǎng)期項(xiàng)的出現(xiàn).

例4 考慮具有阻尼項(xiàng)的數(shù)學(xué)擺運(yùn)動(dòng)：

(26)

其中ε>0，ε?1.

為了得到基本解矩陣，將系統(tǒng)(26)改寫為

(27)

選擇初始近似y(t)=exp(-t)，同樣利用自由迭代公式(10)和數(shù)學(xué)工具M(jìn)aple，可以得到一階近似解

y(t)=0.903 8exp(-t)cos(1.41t)+0.96exp(-3t)+0.269exp(-t)sin(1.41t).

(28)

圖5顯示了SFIA方法得到的近似解和參照解之間具有很好的近似程度.

圖5 例4 SFIA近似解與數(shù)值參照解的比較

注1 從上面的分析與模擬過程可以看出，系統(tǒng)中正的阻尼項(xiàng)將會(huì)有助于消去長(zhǎng)期項(xiàng)，如果系統(tǒng)中沒有正的阻尼項(xiàng)，可以構(gòu)造合適的含有正的阻尼項(xiàng)的等價(jià)系統(tǒng)用來消除高階近似中的長(zhǎng)期項(xiàng).

注2 初始近似值的選取是非常關(guān)鍵的，目前還沒有一般的方法給出一個(gè)好的初始近似值.然而，線性系統(tǒng)的解通?？梢宰鳛槌跏冀平?

注3 如果系統(tǒng)中的參數(shù)不是常數(shù)，某些參數(shù)與時(shí)間相關(guān)，則不太容易得到基本解矩陣.在這種情況下，可以考慮構(gòu)造一個(gè)所有系數(shù)均為常數(shù)的輔助系統(tǒng)來幫助得到合適的基本解矩陣.這一情況可以參照系統(tǒng)(24) .

3 結(jié)論

針對(duì)非線性系統(tǒng)的近似解問題，提出了一種離散SFIA.構(gòu)造了不需要消去長(zhǎng)期項(xiàng)的迭代過程，給出了SFIA收斂性的證明過程.重點(diǎn)研究了如何獲得一些實(shí)用的機(jī)械和物理系統(tǒng)的近似解析解的技術(shù).詳細(xì)分析了二次非線性、三次非線性、Rayleith和數(shù)學(xué)擺系統(tǒng)的逼近過程，表明了系統(tǒng)的有效性.