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        一類具有奇異項的p(x)-Kirchhoff方程解的存在性

        2022-09-28 09:25:36謝嫣玲肖宇霞儲昌木
        關(guān)鍵詞:命題定理貴州

        謝嫣玲,肖宇霞,儲昌木

        (貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

        1 引言和主要結(jié)果

        考慮如下含奇異項的p(x)-Kirchhoff型方程:

        (1)

        其中:Ω?N(N≥3)是具有C2邊界的光滑有界域;且滿足?u)是p(x)-Laplace算子;M和f(x,u)為滿足一定條件的連續(xù)函數(shù);λ是實參數(shù);是連續(xù)函數(shù)且滿足在Ω上幾乎處處成立,這里

        問題(1)源于如下Kirchhoff模型:

        (2)

        近年來,由于Kirchhoff模型在電流變流體、圖像恢復(fù)等方面有重要的應(yīng)用[1-2],形如問題(1)的非局部橢圓問題受到了人們的廣泛關(guān)注[3-8].特別地,文獻[3]研究了如下問題非平凡弱解的存在性:

        (3)

        其中:Ω?N(N≥3)是有界正則域;a,b≥0,a+b>0;p≥2;0<γ<1;λ≥0;g(x)≥0在Ω上幾乎處處成立,且,)滿足

        (f1) 對任意u∈,有f(x,tu)=f(x,u),

        (f2) 存在Ω1??Ω,|Ω1|>0,使得f(x,t)≥0,x∈Ω1.

        文獻[4]運用極小極大方法獲得了問題(3)非平凡弱解的存在性.此外,文獻[4]假設(shè)M滿足如下條件:

        (M1)M(t)是(0,∞)上的連續(xù)函數(shù),M(t)>0,且對任意的T>0,有M(t)∈L1(0,T);

        該文研究了問題(1)在λ<0的情形.在f滿足一定條件時,利用極小極大方法獲得了該類方程非平凡弱解的存在性.

        然而,作為問題(3)的更一般情形,對滿足上述條件的M(t),當(dāng)λ>0時,問題(1)的可解性研究尚未發(fā)現(xiàn).本文給出比(f1)更弱的條件:

        本文的主要結(jié)果如下:

        2 預(yù)備知識

        對應(yīng)的范數(shù)分別為

        命題1[4]設(shè)1

        (ⅰ) 若對任意x∈Ω,r(x)≤q(x),則Lq(x)(Ω)→Lr(x)(Ω)是連續(xù)的;

        (ⅱ) 若q(x)

        (ⅰ) |u|p(x)<1(=1或>1)?ρ(u)<1(=1或>1);

        命題4[4]設(shè)p(x),q(x)是可測函數(shù),對任意的x∈Ω,p(x)∈L∞(Ω),1≤p(x)q(x)≤∞.若u∈Lq(x)(Ω),u≠0,則

        3 主要結(jié)果的證明

        (4)

        定義1 若對任意x∈Ω,v∈X都有

        (5)

        則稱u∈X為方程(1)的一個弱解.

        由于max{1-γ-,r+}<βp-,所以當(dāng)‖u‖→+∞時,I(u)→+∞.故泛函I在X上是強制的.

        由δp->1-γ-和g(x)>0在Ω上幾乎處處成立知,存在t*∈(0,1),使得對當(dāng)t∈(0,t*)時,I(tφ)<0.

        (6)

        由H?lder不等式和命題4可推出

        (7)

        由H?lder不等式可得

        通過Lebesgue控制收斂定理和命題4得

        (8)

        因此,結(jié)合(6),(7),(8)式可知泛函I是弱下半連續(xù)的,且滿足

        即I(u*)=mλ<0.

        定理1的證明由引理3可知,u*是泛函I的局部極小點,I(u*)=mλ<0,這意味著u*≠0.下證u*是問題(1)的一個弱解.

        設(shè)φ∈X,0<ε<1,定義Ψ=(u*+εφ)+∈X,其中Ψ=(u*+εφ)+=max{u*+εφ,0},記Ω3={x|u*+εφ≤0},Ω4={x|u*+εφ>0}.因為u*是泛函I的局部極小點,則有

        當(dāng)ε→0+時,Ω3={x|u*+εφ≤0}積分區(qū)域是可測的,對任意的φ∈X,故有

        由ε→0+,得到

        用-φ替換φ,可得到相反的不等式.因此,

        故u*是問題(1)的一個弱解.從而u*是問題(1)的一個非平凡弱解.

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