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        帶p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程共振無窮多點(diǎn)邊值問題解的存在性

        2022-09-28 09:24:24孔凡亮薛婷婷付麗娜
        關(guān)鍵詞:有界邊值問題算子

        孔凡亮,薛婷婷,付麗娜,陳 星

        (新疆工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830023)

        0 引言

        近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程在科學(xué)與工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,比如化學(xué)物理、非牛頓流體力學(xué)、高分子材料的解鏈等[1-5].為解決自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域中眾多復(fù)雜的問題,越來越多的科學(xué)工作者致力于分?jǐn)?shù)階微分方程的研究.文獻(xiàn)[6]利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論,研究了帶有雙參數(shù)的非線性邊值問題在不同增長(zhǎng)性條件下正解的存在性、多解性和不存在性.文獻(xiàn)[7]運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理證明了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性.文獻(xiàn)[8]運(yùn)用迭代技巧得到了一類分?jǐn)?shù)階微分方程無窮多點(diǎn)邊值問題唯一解的存在性.文獻(xiàn)[9]研究了下列無窮多點(diǎn)問題:

        p-Laplacian方程來源于非線性彈性力學(xué)和非牛頓流體理論.近幾年,分?jǐn)?shù)階p-Laplacian問題取得了很多有價(jià)值的成果[11-15].文獻(xiàn)[16]利用上下解方法,給出了p-Laplacian問題正解的存在性:

        其中:0<α,β≤1;CDα是Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);φp()是由φp(s)=|s|p-2s(s≠0,p>1),φp(0)=0定義的p-Laplacian算子.文獻(xiàn)[18]利用Mawhin連續(xù)定理研究了帶有p-Laplacian算子的微分方程共振問題解的存在性:

        文獻(xiàn)[18]將上述問題轉(zhuǎn)換為下列線性問題:

        (1)

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義1.1[19]函數(shù)x:(1,+∞)→的α階(α>0)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

        (2)

        這里等式右端逐點(diǎn)定義在(0,+∞)上.

        定義1.2[19]函數(shù)x:(0,+∞)→的α階(α>0)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

        (3)

        其中n=[α]+1,[α]表示α的整數(shù)部分,等式右端逐點(diǎn)定義在(0,+∞)上.

        (1)Lx≠λNx,對(duì)任意的(x,λ)∈[(domL〗KerL)∩?Ω]×(0,1);

        (2) Nx?ImL,對(duì)任意的x∈KerL∩?Ω;

        (3)deg(QN)|KerL,Ω∩KerL,0)≠0.

        則方程Lx=Nx在domL∩Ω上至少有一個(gè)解.

        2 問題(1)的主要結(jié)論

        考慮如下問題:

        (4)

        (5)

        其中

        引理2.1 令L由(5)式定義,那么

        KerL={u∈domL|u(t)=ctβ-1,c∈,?t∈[0,1]},

        ?t∈[0,1],線性連續(xù)投影算子P:X→X和Q:Y→Y,定義:

        顯然,ImP=KerL,KerQ=ImL,X=KerL?KerP,Y=ImL?ImQ,dimKerL=dimImQ=codimImL=1.因此,L是零指標(biāo)的Fredholm算子.

        定義算子KP:ImL→domL∩KerP,

        顯然,KPLu=u,u∈domL∩KerP,LKP=y,y∈ImL,i.e.KP=(L|domL∩KerP)-1.

        |KP,Qu(t2)-KP,Qu(t1)|=

        定理2.1 如果下列假設(shè)成立,則問題(4)至少有一個(gè)解.

        (H1) 如果存在常數(shù)M0>0,使得|u(t)|>M0,t∈[0,1],那么下列二式成立其一:

        (6)

        (7)

        (H2) 存在非負(fù)函數(shù)a(t),b(t),c(t)與A,B,C<+∞和B+C<Γ(β)/2滿足

        引理2.3 如果假設(shè)(H1)和(H2)成立,則集合

        Ω1={u(t)|Lu(t)=λNu(t),u(t)∈domL〗KerL,λ∈(0,1)}

        是有界的.

        證明對(duì)u(t)∈Ω1,可得Nu∈ImL.從而QNu(t)=0,也就是說

        由假設(shè)(H1),存在t0∈[0,1]滿足|u(t0)|≤M0.根據(jù)Lu=λNu,有

        (8)

        (9)

        因此,由(8),(9)式和假設(shè)(H2),有

        引理2.4 如果假設(shè)(H1)成立,那么集合

        Ω2={u|u∈KerL,Nu∈ImL}

        是有界的.

        證明如果u(t)∈Ω2,那么u(t)=ctβ-1,c∈并且Nu∈ImL.從而

        應(yīng)用假設(shè)(H1),‖u‖=|c|≤M0.從而Ω2是有界的.

        引理2.5 如果假設(shè)(H1)成立,那么集合

        Ω3={u|u∈KerL,λJ-1u+(1-λ)QNu=0,λ∈[0,1]}

        是有界的,其中J-1:KerL→ImQ是同胚映射,J-1(ctβ-1)=ctβ-1,c∈.

        證明如果u∈Ω3,那么u(t)=ctβ-1,c∈且λ(ctβ-1)+(1-λ)QN(ctβ-1)tβ-1=0,從而

        (10)

        如果λ=0,QN(csβ-1)=0.根據(jù)假設(shè)(H1),|c|≤M0.如果λ=1,則c=0.對(duì)λ∈(0,1),由(10)和(6)式,可得|c|≤M0.否則,如果|c|>M0,那么問題(10)可以寫成如下形式:

        由(6)式得

        這與c2λ>0矛盾.那么|c|≤M0,因此Ω3是有界的.

        引理2.6 如果假設(shè)(H1)成立,那么集合

        是有界的,其中J-1:KerL→ImQ是同胚映射.

        證明過程類似于引理2.5,此處略去.

        定理2.1的證明

        證明令r∈足夠大,則有其中Ω={u|u∈X,‖u‖

        (ⅰ)Lu≠λNu,(u,λ)∈[(domL〗KerL)∩?Ω]×(0,1);

        (ⅱ) Nu?ImL,u∈KerL∩?Ω.

        H(u,λ)=±λJ-1(u)+(1-λ)QNu.

        由引理2.5和引理2.6,可知H(u,λ)≠0,這里u∈KerL∩?Ω,λ∈[0,1],那么

        deg(JQN|KerL,Ω∩KerL,0)=deg(H(·,0),Ω∩KerL,0)=deg(±I,Ω∩KerL,0)≠0.

        3 例子

        考慮如下問題:

        (11)

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