卞鴻巍，文 者，馬 恒，王榮穎

海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033

有關(guān)資料表明，隨著全球變暖，未來25～30年，北冰洋海冰將在夏季完全消失，北極航行將逐漸成為常態(tài)，其航運(yùn)價(jià)值、能源價(jià)值、軍事價(jià)值等日益凸顯，北極地區(qū)將成為大國競爭熱點(diǎn)，對于北極的研究和開發(fā)利用的意義和作用十分重要[1-3]。極區(qū)地圖投影測繪、航線規(guī)劃等技術(shù)發(fā)展迅速[4-5]，也促進(jìn)了極區(qū)導(dǎo)航的發(fā)展。慣性導(dǎo)航設(shè)備作為一種重要的自主導(dǎo)航設(shè)備，在極區(qū)工作時(shí)為克服重力矢量與地球自轉(zhuǎn)矢量方向趨于重合造成慣導(dǎo)陀螺羅經(jīng)效應(yīng)喪失的原理性問題，需要設(shè)計(jì)特殊的極區(qū)控制編排計(jì)算導(dǎo)航參數(shù)，即建立極區(qū)工作模式。目前慣導(dǎo)系統(tǒng)采取的極區(qū)編排和算法主要有格網(wǎng)導(dǎo)航方法[6-9]、橫向?qū)Ш椒椒╗10-13]、平面坐標(biāo)導(dǎo)航法等[14-16]，極區(qū)編排與傳統(tǒng)慣導(dǎo)編排相比，導(dǎo)航性能、精度上均有差異[17]，因此，應(yīng)當(dāng)對慣導(dǎo)極區(qū)工作性能進(jìn)行檢驗(yàn)。常規(guī)慣性導(dǎo)航設(shè)備的性能驗(yàn)證主要依賴于實(shí)船測試，但對于地理位置相對遠(yuǎn)離極區(qū)的國家，極區(qū)海上試驗(yàn)存在周期長、成本高、受自然條件限制大等實(shí)際困難而難以實(shí)施，因此研究在中低緯度地區(qū)模擬極地地區(qū)對慣導(dǎo)極區(qū)性能進(jìn)行測試十分必要。簡言之，基于中低緯度被試慣導(dǎo)與參考基準(zhǔn)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用一定方法推算評估被試慣導(dǎo)在極區(qū)采取相似運(yùn)行軌跡和機(jī)動狀態(tài)將表現(xiàn)出的精度性能，本文將此項(xiàng)技術(shù)稱為慣導(dǎo)極區(qū)中低緯模擬測試技術(shù)(簡稱慣導(dǎo)極區(qū)模擬測試)。

慣導(dǎo)極區(qū)模擬測試技術(shù)早期集中在虛擬極區(qū)技術(shù)研究方面，主要通過中低緯度實(shí)測航次進(jìn)行慣導(dǎo)極區(qū)算法驗(yàn)證。如在地球表面選擇虛擬極點(diǎn)，重構(gòu)了地球經(jīng)緯網(wǎng)，進(jìn)行游移方位編排的慣導(dǎo)解算[18-19]，但實(shí)際上仍采用實(shí)測的IMU數(shù)據(jù)，無法模擬極區(qū)真實(shí)的慣性環(huán)境；或者采取兩次旋轉(zhuǎn)地球坐標(biāo)系的軌跡轉(zhuǎn)移方法，但由于地球近似為橢球體，無法解決地表軌跡的變形問題[20]。

關(guān)于慣導(dǎo)極區(qū)模擬測試中參考基準(zhǔn)的獲得與測試體系的構(gòu)建，軌跡轉(zhuǎn)移中通常采用基于橫向坐標(biāo)系姿態(tài)、速度不變的原則，文獻(xiàn)[21]利用基準(zhǔn)速度遞推方法構(gòu)建極區(qū)基準(zhǔn)軌跡，解決了地表曲率不同造成軌跡變形的問題，并給出了極區(qū)模擬IMU的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[22]采用虛擬圓球法[23]進(jìn)行極區(qū)軌跡基準(zhǔn)的更新運(yùn)算，并詳細(xì)分析了模擬測試中各轉(zhuǎn)換公式。文獻(xiàn)[24]對慣導(dǎo)極區(qū)中低緯模擬測試系統(tǒng)做了結(jié)構(gòu)的闡述，并驗(yàn)證了在理想的參考基準(zhǔn)下，極區(qū)模擬慣導(dǎo)系統(tǒng)的性能與極區(qū)實(shí)地測試相當(dāng)。

在測試過程中，需要一套測試基準(zhǔn)系統(tǒng)為待測慣導(dǎo)提供基準(zhǔn)參考信息。根據(jù)慣導(dǎo)的極區(qū)中低緯模擬測試原理，基于慣導(dǎo)系統(tǒng)實(shí)際輸出的IMU數(shù)據(jù)的極區(qū)模擬生成需要使用測試參考基準(zhǔn)測得的導(dǎo)航參數(shù)，因此在高精度慣導(dǎo)極區(qū)模擬測試中，參考基準(zhǔn)的誤差會成為影響模擬測試精度評估的關(guān)鍵因素之一。因此需要推導(dǎo)建立參考基準(zhǔn)誤差對極區(qū)模擬IMU數(shù)據(jù)生成的誤差影響表示模型?；谶@一模型，分別將不同基準(zhǔn)誤差影響變量代入IMU轉(zhuǎn)換修正公式，最終可以得到相應(yīng)總的IMU轉(zhuǎn)換修正誤差，進(jìn)而分析極區(qū)模擬IMU輸出下的系統(tǒng)誤差與計(jì)算控制問題，為慣導(dǎo)極區(qū)模擬測試提供誤差理論分析依據(jù)。但由于上述推導(dǎo)過程復(fù)雜，所得到的IMU轉(zhuǎn)換修正誤差計(jì)算公式項(xiàng)數(shù)眾多且形式復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用。本文對其進(jìn)行合理化簡化，進(jìn)一步推導(dǎo)得到極區(qū)模擬測試IMU轉(zhuǎn)換修正誤差的近似計(jì)算公式，公式形式明顯簡化。通過對簡化前后極區(qū)IMU誤差公式的仿真對比試驗(yàn)，相對誤差在10%以內(nèi)，驗(yàn)證了公式的有效性。使之對實(shí)際測試工作的指導(dǎo)性更強(qiáng)。

1 極區(qū)模擬測試IMU數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換及誤差計(jì)算方法

1.1 極區(qū)模擬測試IMU數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換計(jì)算公式

目前，基于橢球橫向坐標(biāo)系推算和基于虛擬圓球法在內(nèi)的模擬基準(zhǔn)軌跡轉(zhuǎn)移技術(shù)相繼提出，但由于極區(qū)慣導(dǎo)在一定時(shí)間內(nèi)橢球與球體模型導(dǎo)航區(qū)別不大[25]，為簡化分析，本文采用基于橫向坐標(biāo)系導(dǎo)航參數(shù)相對不變的地球球體模型模擬測試方法進(jìn)行測試和誤差分析。

(1)

圖1直觀地展示了軌跡轉(zhuǎn)移過程，圖中黑粗線表示橫向經(jīng)線、紅線表示地理經(jīng)線、綠線表示軌跡，圖中實(shí)測軌跡穿過的紅線表示所構(gòu)建的橫向坐標(biāo)系的赤道。基準(zhǔn)軌跡可在保持與橫向赤道相對位置不變(橫向緯度不變)的前提下轉(zhuǎn)到傳統(tǒng)極區(qū)，得到模擬基準(zhǔn)軌跡。

圖1 軌跡轉(zhuǎn)移Fig.1 Trajectory transfer

(2)

(3)

1.2 極區(qū)模擬測試IMU數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換修正誤差計(jì)算公式

為方便表述，首先統(tǒng)一基準(zhǔn)誤差的表示形式。

測試基準(zhǔn)可由多類系統(tǒng)提供，其輸出的各基準(zhǔn)導(dǎo)航參數(shù)誤差關(guān)系復(fù)雜，如INS/GNSS組合導(dǎo)航系統(tǒng)等。本文不考慮基準(zhǔn)導(dǎo)航參數(shù)間的各種耦合關(guān)系，采取的基準(zhǔn)位置誤差、速度誤差、姿態(tài)誤差表達(dá)形式如下

(4)

式中，附有“～”的變量表示基準(zhǔn)設(shè)備提供的測量值，存在誤差；附有“Δ”的變量表示誤差值，即測量值與真值之差；p=[φ,λ]T表示位置，v=[vE,vN,0]T表示速度，由于航海應(yīng)用的特殊性，位置及速度均不考慮天向分量；Φ=[φE,φN,φU]T表示姿態(tài)失準(zhǔn)角誤差；Φ×表示其反對稱矩陣；n表示導(dǎo)航坐標(biāo)系，此處通常選用地理坐標(biāo)系。各個(gè)導(dǎo)航參數(shù)也可在橫向地理坐標(biāo)系中表示，其表達(dá)方式相似，此處不再贅述。

關(guān)于基準(zhǔn)誤差對IMU轉(zhuǎn)換修正誤差公式中各個(gè)變量的影響討論如下：

(1) 基準(zhǔn)定位誤差?；鶞?zhǔn)定位誤差常為數(shù)米以內(nèi)或更小(如采用GNSS作為位置基準(zhǔn))，對于位置矩陣等變量，其造成的偏差角度決定角精度“Δp/R(R為地球半徑)”的大小，普遍優(yōu)于角秒級，根據(jù)現(xiàn)有基準(zhǔn)設(shè)備精度，定位相對精度顯著高于姿態(tài)基準(zhǔn)、速度基準(zhǔn)測量精度，因此基準(zhǔn)定位誤差對IMU轉(zhuǎn)換修正誤差公式的影響可忽略不計(jì)。

(5)

(6)

(7)

(4) 重力變量誤差。對于重力變量，計(jì)算中采用一般重力的達(dá)朗貝爾方程即可，因基準(zhǔn)位置誤差對一般重力的計(jì)算影響很小，可不考慮重力計(jì)算誤差。

根據(jù)基準(zhǔn)誤差分析結(jié)果，可得加速度計(jì)、陀螺儀轉(zhuǎn)換修正量的計(jì)算模型為

(8)

將存在誤差的計(jì)算量表示為理論值和偏差值相加，將式(8)與式(6)聯(lián)立解算，可發(fā)現(xiàn)模擬IMU中陀螺儀轉(zhuǎn)換修正誤差不受基準(zhǔn)速度誤差的影響。將式(8)展開后忽略二階以上小量可得IMU轉(zhuǎn)換修正誤差計(jì)算公式

vt-Gt,tm)

(9)

(10)

式中，Δ(dfb)、Δ(dωb)為IMU轉(zhuǎn)換修正誤差，其中

(11)

式中，gt、gtm分別表示測試地區(qū)和模擬地區(qū)一般重力加速度的大小。

2 船用IMU轉(zhuǎn)換修正誤差簡化計(jì)算與分析

2.1 IMU轉(zhuǎn)換修正誤差的簡化計(jì)算方法

根據(jù)式(9)、式(10)，代入相關(guān)變量可得到基準(zhǔn)誤差表示的IMU轉(zhuǎn)換修正誤差的完整展開式，稱之為IMU轉(zhuǎn)換修正誤差的完整計(jì)算公式(本文簡稱“完整公式”)，該公式十分復(fù)雜，不便于對IMU轉(zhuǎn)換修正誤差進(jìn)行計(jì)算和分析?；谏鲜隹紤]，本文通過分析認(rèn)為，由于航海是在北極地區(qū)最主要的活動方式，可適當(dāng)利用航海船舶的工作特點(diǎn)，在符合精度要求的前提下將IMU轉(zhuǎn)換修正誤差公式再次進(jìn)行簡化。

(12)

(13)

式(12)、式(13)稱為船用IMU轉(zhuǎn)換修正誤差簡化計(jì)算公式(簡稱“簡化公式”或“近似公式”)，式中ωie表示地球自轉(zhuǎn)角速度，ψt表示橫航向角，A、B代表

(14)

為體現(xiàn)單個(gè)基準(zhǔn)誤差變量對IMU轉(zhuǎn)換修正誤差的作用，可將IMU轉(zhuǎn)換修正誤差公式表達(dá)為

(15)

(16)

式中，F(xiàn)VEt、FφEt、ΩφEt等稱為IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)。系數(shù)的符號含義如下：F或Ω區(qū)分該系數(shù)屬于加速度計(jì)轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)還是陀螺儀轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)；V或φ區(qū)分該系數(shù)是對應(yīng)基準(zhǔn)速度誤差的系數(shù)還是基準(zhǔn)姿態(tài)誤差的系數(shù)；E、N、U區(qū)分該系數(shù)由東向、北向或天向哪一軸向的誤差引起的；t為系數(shù)僅在橫向地理坐標(biāo)系表示各個(gè)誤差量時(shí)才適用。完整計(jì)算公式也可分解為這種形式，因過于復(fù)雜，在此不列寫。對簡化公式，參照式(12)、式(13)給出各個(gè)IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)

(17)

(18)

2.2 IMU轉(zhuǎn)換誤差公式中的矢量關(guān)系

簡化公式中不再含有水平姿態(tài)角變量，僅含有橫航向角ψt這一基準(zhǔn)姿態(tài)參數(shù)。繼續(xù)分析公式還可得到航向矢量與基準(zhǔn)誤差矢量之間的作用關(guān)系。圖2為橫向坐標(biāo)系下航向矢量，其中，Nt為橫北向，Et為橫東向，Ht為橫航向矢量。

由圖2可知，航向向量Ht在橫向地理坐標(biāo)系的坐標(biāo)為

圖2 橫向坐標(biāo)系下航向矢量 Fig.2 Heading vector in transverse coordinate system

Ht=[-sinψt,cosψt，0]

(19)

可重寫式(12)、式(13)以直觀反映水平部分基準(zhǔn)誤差與航向之間的關(guān)系

(20)

(21)

(22)

公式還可以標(biāo)量和夾角的形式表示，其中向量夾角中的變量不需關(guān)注投影到何種坐標(biāo)系，此外注意到模擬測試地區(qū)在所構(gòu)建的橫向坐標(biāo)系赤道附近，橫航向角與傳統(tǒng)航向角相差約90°，則也可用相關(guān)變量的傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系表示IMU轉(zhuǎn)換修正誤差的簡化計(jì)算公式，直觀反映基準(zhǔn)誤差矢量與航向之間的關(guān)系

(23)

(24)

式中，φP、φU均表示相關(guān)矢量的模值。

2.3 IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)的量級與變化形式分析

本節(jié)結(jié)合式(23)、式(24)，對簡化的IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)的量級與變化形式進(jìn)行分析。

首先分析A、B，它們是IMU轉(zhuǎn)換修正誤差公式中的重要系數(shù)。假設(shè)中低緯度試驗(yàn)地區(qū)緯度范圍在0°～45°，測試航線經(jīng)度、緯度跨度均小于15°，可以計(jì)算出變量A、B的值域，在Λ固定的前提下，這兩個(gè)變量關(guān)于λt單調(diào)遞減，且有以下關(guān)系

(25)

表1給出了緯度跨度為±7.5°時(shí)不同中心緯度的測試區(qū)域下變量A、B的取值范圍。此外，在同一中心緯度的測試中，變量A、B可視為隨載體所在緯度線性變化，在使用簡化公式計(jì)算誤差時(shí)，可認(rèn)為A、B在測試中取常值。

表1 測試緯度跨度為15°時(shí)變量A、B的取值范圍Tab.1 Value range of variables A and B when the test latitude span is 15°

假設(shè)載體航速最大25節(jié)(約13 m/s)。估計(jì)各IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)的變化特征如下。

(1) 從量級來看，式(17)、式(18)中FVEt、FVNt的第一、二分量最大幅值均為2Aωie；FφEt、FφNt的第一、二分量最大幅值為gtm-gt；FφUt各分量在簡化公式中均為0；ΩφEt、ΩφNt的第一、二分量最大幅值為Aωie；ΩφUt的第一、二分量最大幅值為Bωie；FVNt、ΩφNt的第三分量為近似常值2Bωie和-Bωie，其余系數(shù)的第三分量均為零。

(2) 從變化形式上來看，除FφUt為零外，其余IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)第一、二分量均受航向的影響，取值在正負(fù)最大幅值之間變化，所有IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)第三分量取值都較恒定。

3 仿真試驗(yàn)驗(yàn)證

為檢驗(yàn)?zāi)M測試中IMU轉(zhuǎn)換修正誤差計(jì)算公式推導(dǎo)和分析的正確性，設(shè)計(jì)了試驗(yàn)，內(nèi)容如下：

(1) 實(shí)測航次的IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)計(jì)算試驗(yàn)。提取某船舶一段實(shí)測航次的航跡、速度、姿態(tài)信息，分別代入IMU誤差計(jì)算完整公式和簡化公式的IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)表達(dá)式，驗(yàn)證簡化的IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)表達(dá)式與完整的IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)表達(dá)式計(jì)算結(jié)果是否相近，簡化的IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)量級和表現(xiàn)形式是否與理論分析一致。

(2) IMU轉(zhuǎn)換誤差計(jì)算公式準(zhǔn)確性驗(yàn)證試驗(yàn)。將提供的實(shí)測航次的航跡、速度、姿態(tài)信息視為理想的無誤差導(dǎo)航參數(shù)，人工設(shè)置測試基準(zhǔn)存在常值誤差，分別利用完整公式與簡化公式計(jì)算IMU的轉(zhuǎn)換修正誤差，并與理論真值比較，得出完整公式、簡化公式計(jì)算方法的誤差，并判斷其是否處于可接受范圍。

3.1 實(shí)測航次的IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)驗(yàn)算

選取某船舶在中低緯度的實(shí)際航次，數(shù)據(jù)時(shí)長約11.6 h，裝載的組合導(dǎo)航系統(tǒng)等設(shè)備給出了其運(yùn)行軌跡、速度、姿態(tài)等基本導(dǎo)航參數(shù)，如圖3所示。

圖3 實(shí)測數(shù)據(jù)基本信息Fig.3 Basic information of testing data

為把軌跡轉(zhuǎn)移至橫向赤道附近，將122.9°E經(jīng)線定義為橫向坐標(biāo)系赤道，并設(shè)Λ=1.029(約58.96°)。將實(shí)測參數(shù)轉(zhuǎn)移至橫向坐標(biāo)系表示，分別采用完整誤差公式、誤差簡化計(jì)算公式(式(17)、式(18))，采用軌跡中心橫向經(jīng)度估算變量A、B對軌跡進(jìn)行IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)的計(jì)算。

由完整誤差公式和船用簡化公式計(jì)算IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)計(jì)算結(jié)果如圖4、圖5所示。(圖中曲線顏色紅、綠、藍(lán)分別代表所繪矢量的第一、二、三分量。)

圖4 實(shí)測數(shù)據(jù)IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)(加速度計(jì)部分)Fig.4 IMU conversion error coefficient of testing data (accelerometer part)

圖5 實(shí)測數(shù)據(jù)IMU轉(zhuǎn)換誤差系數(shù)(陀螺儀部分)Fig.5 IMU conversion error coefficient of testing data (gyroscope part)

由圖4、圖5可知，試驗(yàn)結(jié)果與理論相符；對比完整公式計(jì)算結(jié)果與簡化公式計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩者圖形大致相似，簡化公式忽略了水平姿態(tài)角信息，因此沒有受到載體高頻搖晃的影響，圖像顯得較平直。

3.2 不同計(jì)算公式對IMU轉(zhuǎn)換修正誤差計(jì)算的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)

仍采用上節(jié)的實(shí)測導(dǎo)航參數(shù)，并假定其為理想基準(zhǔn)數(shù)據(jù)。圖6繪制了人為疊加姿態(tài)橫縱搖、橫橫搖、橫航向誤差常值分別為1′、1′、3′時(shí)，速度誤差常值橫東向?yàn)?.1 m/s、橫北向?yàn)?0.1 m/s時(shí)，位置誤差常值為東5 m、北5 m時(shí)，由定義法計(jì)算的IMU轉(zhuǎn)換修正誤差理論值(即使用式(3)分別代入理想值與疊加誤差值并相減的結(jié)果，采用橢球模型參數(shù))。

由圖6可知，實(shí)測數(shù)據(jù)的IMU轉(zhuǎn)換修正誤差量級：加速度計(jì)最大約為2×10-5，陀螺儀最大不到10-7。

使用完整誤差公式、簡化公式計(jì)算IMU轉(zhuǎn)換修正誤差，其結(jié)果與理論值相當(dāng)，為具體分析這些公式的計(jì)算精度，圖7繪制了完整誤差公式計(jì)算的IMU轉(zhuǎn)換修正誤差與定義法計(jì)算的理論值(圖6數(shù)據(jù))相減、簡化計(jì)算公式計(jì)算的IMU轉(zhuǎn)換修正誤差與定義法計(jì)算的理論值相減的結(jié)果，以檢查這些公式的準(zhǔn)確程度。

圖6 實(shí)測數(shù)據(jù)IMU轉(zhuǎn)換修正誤差理論值Fig.6 Theoretical value of IMU conversion correction error of testing data

由圖7可知，使用完整公式計(jì)算的結(jié)果與理論值的偏差：加速度計(jì)為10-8，陀螺儀為10-11，最大誤差小于1‰。使用簡化公式計(jì)算結(jié)果與理論值的偏差：加速度計(jì)為10-6，陀螺儀不到10-8，最大誤差約為1/10。根據(jù)誤差分析中的微小誤差取舍原則，誤差計(jì)算產(chǎn)生1/10的偏差不影響后續(xù)測試系統(tǒng)的分析。

圖7 公式計(jì)算IMU轉(zhuǎn)換修正誤差的偏差Fig.7 The error of IMU conversion correction error by formula

初步分析可知，完整公式的誤差主要來源為地球模型和位置誤差，簡化公式的誤差主要來源為忽略的水平姿態(tài)信息。

4 總 結(jié)

本文對于慣導(dǎo)極區(qū)中低緯模擬測試中測試基準(zhǔn)誤差影響模擬IMU的情況，作進(jìn)一步定量分析，特別是針對船用慣導(dǎo)工作條件的特殊性，給出一套對IMU轉(zhuǎn)換修正誤差計(jì)算的簡化方法(式(12)、式(13)或式(23)、式(24))，在一定條件下解決了IMU轉(zhuǎn)換修正誤差公式復(fù)雜、計(jì)算困難的問題，還揭示出了基準(zhǔn)誤差矢量與航向矢量之間的作用關(guān)系。簡化計(jì)算公式形式簡單，最大計(jì)算誤差約為10%，滿足微小誤差可忽略的原則，后續(xù)可應(yīng)用于慣導(dǎo)極區(qū)模擬測試中基準(zhǔn)選取問題，為系統(tǒng)測試能力評估等研究提供了有效的理論支持。