梁天添，王潤(rùn)澤，李科信，王英東，王 茂，周振華

（1. 大連交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，大連 116028；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；3. 常州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，常州 213164）

姿態(tài)控制系統(tǒng)（Attitude Control Systems, ACSs）是衛(wèi)星的重要子系統(tǒng)，由于衛(wèi)星在惡劣工況下長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行，面臨外部干擾、不確定性等諸多復(fù)雜因素的影響，其內(nèi)部各子系統(tǒng)及零部件不可避免地面臨可靠度降低的問題。衛(wèi)星在軌飛行期間，其系統(tǒng)各部件的故障難以及時(shí)修復(fù)，因此，在有效地監(jiān)測(cè)衛(wèi)星的運(yùn)行狀態(tài)和及時(shí)估計(jì)系統(tǒng)故障的同時(shí)，對(duì)故障實(shí)施有效的容錯(cuò)控制，對(duì)于提高衛(wèi)星在軌可靠性和安全性，減少安全隱患風(fēng)險(xiǎn)和防止系統(tǒng)災(zāi)難性事故發(fā)生具有重要意義。鑒于此，近年來，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者已深入研究了衛(wèi)星ACSs的閉環(huán)容錯(cuò)控制問題。

故障估計(jì)作為故障診斷的最后一步，其結(jié)果與容錯(cuò)控制緊密相關(guān)[1]。因此，已有學(xué)者基于故障估計(jì)結(jié)果研究了衛(wèi)星ACSs的容錯(cuò)控制問題[2-4]。但是，上述研究中的容錯(cuò)控制方法需要預(yù)先估計(jì)出故障的信息，在容錯(cuò)控制的實(shí)時(shí)性上有待提高。為此，基于自適應(yīng)算法的快速收斂特性，自適應(yīng)容錯(cuò)控制方法已被應(yīng)用到衛(wèi)星ACSs[5,6]。進(jìn)一步，考慮到衛(wèi)星ACSs的有限時(shí)間穩(wěn)定性（Finite Time Stability, FTS）和有限時(shí)間有界性（Finite Time Boundness, FTB），終端滑模控制[7-9]已被學(xué)者用于ACSs的主動(dòng)容錯(cuò)控制中。另外，已有學(xué)者將自適應(yīng)算法應(yīng)用于ACSs的有限時(shí)間容錯(cuò)控制中[10-12]，有效提高了閉環(huán)容錯(cuò)控制的性能。

上述文獻(xiàn)針對(duì)ACSs容錯(cuò)控制問題的研究，較少考慮了外部干擾未知情況下的系統(tǒng)容錯(cuò)控制性能。事實(shí)上，由于系統(tǒng)的外部干擾多具有未知特性，需首先獲得其信息，進(jìn)而快速補(bǔ)償執(zhí)行器故障，提高容錯(cuò)控制性能。為此，擾動(dòng)觀測(cè)器方法[13,14]已被用于未知擾動(dòng)的估計(jì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了ACSs的有限時(shí)間復(fù)合主動(dòng)容錯(cuò)控制。然而，上述研究仍有進(jìn)一步提升的空間。作為ACSs難以忽視的重要因素，系統(tǒng)時(shí)滯需要在容錯(cuò)控制中加以考慮。盡管已有學(xué)者基于擾動(dòng)觀測(cè)器，研究了具有輸入時(shí)滯ACSs的復(fù)合容錯(cuò)控制問題[15,16]，但這些研究?jī)H限于系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性分析，而對(duì)于具有狀態(tài)時(shí)滯ACSs的有限時(shí)間復(fù)合容錯(cuò)控制，目前仍較為少見。

據(jù)以上分析，本文基于前期的研究成果[17,18]，結(jié)合自適應(yīng)算法和FTB分析，針對(duì)具有狀態(tài)時(shí)變時(shí)滯、不確定性、外部可建模擾動(dòng)、運(yùn)行噪聲和未知執(zhí)行器故障的衛(wèi)星ACSs系統(tǒng)，提出基于擾動(dòng)觀測(cè)器的自適應(yīng)有限時(shí)間復(fù)合容錯(cuò)控制策略。與已有方法相比，本文主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)可概括為：1）綜合考慮了系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)變時(shí)滯、不確定性、外部可建模擾動(dòng)等復(fù)雜因素對(duì)容錯(cuò)控制性能的影響，拓展了復(fù)雜非線性系統(tǒng)的容錯(cuò)控制范圍；2）設(shè)計(jì)的時(shí)滯依賴主動(dòng)容錯(cuò)控制器包含反饋控制項(xiàng)、可建模擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)和故障補(bǔ)償項(xiàng)，在實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)容錯(cuò)控制的同時(shí)，可快速有效地估計(jì)可建模擾動(dòng)值；3）設(shè)計(jì)的自適應(yīng)估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)了故障的快速補(bǔ)償，從而進(jìn)一步提高了有限時(shí)間內(nèi)的衛(wèi)星ACSs時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)模型閉環(huán)容錯(cuò)性能。

本文首先基于非線性ACSs，考慮系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)變時(shí)滯、不確定性、可建模擾動(dòng)和未知有界執(zhí)行器故障的影響，針對(duì)可建模擾動(dòng)設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器，得到擾動(dòng)誤差系統(tǒng)。其次，設(shè)計(jì)時(shí)滯依賴的復(fù)合自適應(yīng)有限時(shí)間容錯(cuò)控制器（Composite Adaptive Finite Time Fault-Tolerant Controller, CAFTFC），并設(shè)計(jì)控制器中的故障補(bǔ)償自適應(yīng)率，建立閉環(huán)容錯(cuò)控制系統(tǒng)模型。然后，分析閉環(huán)系統(tǒng)的FTB性能，討論閉環(huán)測(cè)量輸出對(duì)于系統(tǒng)不確定性、運(yùn)行噪聲、執(zhí)行器故障及其誤差和導(dǎo)數(shù)的魯棒性。再次，給出觀測(cè)器和控制器增益限制矩陣存在的充分條件及該限制矩陣的線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality, LMI）形式。最后，給出衛(wèi)星ACSs執(zhí)行器故障模型，利用設(shè)計(jì)的CAFTFC仿真，并與非復(fù)合的自適應(yīng)有限時(shí)間容錯(cuò)控制器（Adaptive Finite Time Fault-Tolerant Controller,AFTFC）進(jìn)行對(duì)比分析，以驗(yàn)證提出方法的有效性。

1 問題描述

考慮如式(1)所示的衛(wèi)星ACSs：

令 x(t) =ω(t)，考慮系統(tǒng)狀態(tài)變量中的時(shí)變時(shí)滯環(huán)節(jié)、不確定性因素和衛(wèi)星運(yùn)行過程中的噪聲影響，則由式(1)得到：

其中，x(t) ∈Rn為狀態(tài)向量，l(t)代表狀態(tài)時(shí)變時(shí)滯，且滿足l(t)≤h，l˙(t)≤τ ，h和τ為正標(biāo)量；u(t) =Tc∈RP為系統(tǒng)輸入， d(t) =Td∈Rr表示可建模擾動(dòng)，v(t) ∈Rυ表示運(yùn)行噪聲，它們的分布矩陣D和E為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，考慮到干擾和噪聲可能并非發(fā)生于每一維。g(t,l(t))表示含有時(shí)變時(shí)滯的非線性項(xiàng)，且為范數(shù)有界變量，即：

其中， G1和G2為適當(dāng)維數(shù)的矩陣； y(t) ∈Rm為系統(tǒng)的測(cè)量輸出，ΔA、ΔAd分別為狀態(tài)及狀態(tài)時(shí)滯的不確定性，且滿足：Δ A = M1F1(t)N1，Δ Ad= M2F2(t)N2，Mi, Ni, i= 1,2為適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣，未知矩陣 Fi(t)滿足：另外，系統(tǒng)(2)中，非線性項(xiàng)g(t,l(t))和系數(shù)矩陣A、 Ad、B、C的具體形式為：g(t,l(t )) = αφ( t ) + βφ(t - l(t ) ) - Ax (t ) - Adx(t -l(t ))，

Ad=βψI3， B=diag(1/ Jxx,1/ Jyy,1/ Jzz)， C = I3，其中，ψ表示選取的常數(shù)，α和β表示時(shí)滯程度，且滿足：α +β= 1， φ (t- l(t))與φ(t)具有相同的形式，僅將t替換為t-l(t)。

假設(shè)系統(tǒng)的執(zhí)行器發(fā)生未知有界故障，則系統(tǒng)(2)可重新表示為：

將可建模擾動(dòng)d(t)建模為：

其中， w(t) ∈Rq為未知擾動(dòng)，系數(shù)矩陣 L1、 L2與干擾幅值有關(guān)；W1與干擾頻率有關(guān)。

針對(duì)未知擾動(dòng)w(t)，設(shè)計(jì)如式(6)所示的觀測(cè)器：

其中，H為待設(shè)計(jì)的增益矩陣。

由式(4)(5)(6)可得：

首先提出如下假設(shè)及引理。

假設(shè)1rank(B ) =rank( ［ B D］ )。

引理1[19]若假設(shè)1成立，則存在矩陣 B*，使得：

2 復(fù)合自適應(yīng)有限時(shí)間容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)系統(tǒng)(4)，設(shè)計(jì)時(shí)滯依賴容錯(cuò)控制器(9)：

其中，u1(t)、u2(t)和u3(t)分別代表系統(tǒng)(4)的反饋控制項(xiàng)、可建模擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)和故障補(bǔ)償項(xiàng)，且分別滿足：

考慮引理1，將式(7)中第一個(gè)方程和式(9)代入式(4)可得：

2)y(t)對(duì)于Lyapunov-Krasovskii函數(shù)初值V(0)、系統(tǒng)不確定性、運(yùn)行噪聲、執(zhí)行器故障及其誤差和導(dǎo)數(shù)具有魯棒性，即：

首先給出與推導(dǎo)及證明相關(guān)的定義及引理。

定義1[18]給定標(biāo)量c1＞ 0，T＞0，矩陣U＞0，系統(tǒng)(14)關(guān)于(c1， c2，T， U，v )是FTB的，如果：

引理2[18]對(duì)于任意實(shí)矩陣a、b及Ω(t)，若有：

成立，則有：

其中，μ為任意正標(biāo)量。

對(duì)于矩陣Σ，定義： sy(Σ)=Σ+ΣT；基于上述討論，提出定理1。

其他各元素均為零；

則條件1)和條件2)同時(shí)得到滿足。

證明：選取如式(22)所示的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)：

其中，V1(t)代表與狀態(tài)變量有關(guān)的函數(shù)，V2(t)和 V3(t)代表與時(shí)滯變量有關(guān)的函數(shù)，V4(t)代表與擾動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償項(xiàng)有關(guān)的函數(shù)，V5(t)代表與故障補(bǔ)償項(xiàng)有關(guān)的函數(shù)，它們的具體形式為：

對(duì)式(22)中V1(t)、V2(t)和V3(t)求導(dǎo)可得：

由式(7)中第二個(gè)方程可得：

另外，由式(3)可知，存在正標(biāo)量κ，使得：

由牛頓-萊布尼茨公式可知，存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣X1和X2，使得：

故式(25)可重新改寫為：

其中：

基于式(23)-(31)，有不等式(32)成立：

其中：

*代表矩陣中的對(duì)稱元素。

另外，易知： -σ V (t ) ≤ - σ V1(t )，即：

基于Schur補(bǔ)引理及引理2，則式(36)等價(jià)于：

其中：

其它各元素均為零。

另一方面，式(20)可重新表示為：

其中，Ψi,j，i, j=1… 1 6中各元素為：

即，若有式(20)成立，則有：

由式(21)可知：

式(49)符合定義1，即若有定理1成立，則有條件1)得到滿足。

進(jìn)一步，基于Schur補(bǔ)引理，式(20)等價(jià)于：

將式(50)的兩邊相繼左乘及右乘式(41)和式(42)，基于Schur補(bǔ)引理，則式(50)等價(jià)于：

對(duì)式(51)從0到T積分，由Gronwall不等式可得：

因V(t)≥0，故式(52)可改寫為：

即，若有定理1成立，則條件2)得到滿足。

綜上所述，式(20)(21)使得條件1)和2)同時(shí)滿足，定理1證畢。

基于上述討論，給出基于擾動(dòng)觀測(cè)器的CAFTFTC設(shè)計(jì)流程。

算法1 基于擾動(dòng)觀測(cè)器的CAFTFTC設(shè)計(jì)流程。

步驟1：給定c1、T、U、ε1、ε2、εv、εF、和。

步驟2：解下列凸優(yōu)化問題：

步驟4：執(zhí)行閉環(huán)容錯(cuò)控制。

3 仿真算例

在本節(jié)中，給出一個(gè)如式(2)所示的衛(wèi)星ACSs[18]，假設(shè)模型的狀態(tài)時(shí)變時(shí)滯為： l(t ) = 0.4sin(t)，α= 0.85， β= 0.15。與不確定性有關(guān)的系數(shù)矩陣為：M1=M2= ［0.2 0.2 0.2］T，N1=N2= ［1 1 1］，與A和 Ad有關(guān)的常數(shù)ψ選取為：ψ=0.3。

執(zhí)行器失效故障因子 LF滿足：LF= diag(0.4,0.1,0.5)，與可建模擾動(dòng)d(t)相關(guān)的系數(shù)矩陣為：

折衷考慮觀測(cè)器的估計(jì)精度和系統(tǒng)魯棒性，令α= 3.2，得到γFe、 γv、γ1、 γ2、γFd和 γF的值為：γFe=0.58、 γv=0.64、γ1=0.58、γ2=0.72、 γFd=0.71和 γF= 0.76。

由定理1計(jì)算分別得到擾動(dòng)觀測(cè)器系數(shù)矩陣H和控制器系數(shù)矩陣K1、K2為：

為驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案的有效性，首先將可建模擾動(dòng)和運(yùn)行噪聲視為系統(tǒng)的整體干擾，基于非復(fù)合的自適應(yīng)有限容錯(cuò)控制器（Adaptive Finite Time Fault-Tolerant Controller, AFTFTC）進(jìn)行仿真，然后利用本文設(shè)計(jì)的CAFTFTC進(jìn)行仿真，并與AFTFTC的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障時(shí)，狀態(tài)變量及可建模擾動(dòng)的估計(jì)結(jié)果如圖1及圖2所示。狀態(tài)估計(jì)及可建模擾動(dòng)估計(jì)均方根誤差（Root Mean Square Error,RMSE）如表1及表2所示。

圖1 狀態(tài)變量及其估計(jì)結(jié)果Fig.1 State variablesand their estimations

圖2 可建模擾動(dòng)及其估計(jì)結(jié)果Fig.2 Modeled disturbanceand itsestimation results

表1 狀態(tài)變量估計(jì)RMSETab.1 RMSEof statevariablesestimation

表2 可建模擾動(dòng)估計(jì)RMSETab.2 RMSEof modeled disturbanceestimation

由圖1及圖2可知，當(dāng)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)存在執(zhí)行器故障、不確定性、可建模擾動(dòng)及噪聲時(shí)，本文設(shè)計(jì)的CAFTFTC相較于AFTFTC，不僅能夠更好地實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星ACSs的閉環(huán)容錯(cuò)控制，而且能夠更精確地估計(jì)出可建模擾動(dòng)的真實(shí)值。表1及表2進(jìn)一步驗(yàn)證了其精確性，從表中可知，相較于AFTFTC，CAFTFTC對(duì)于狀態(tài)變量的估計(jì)RMSE分別降低了28.9%、4.7%和36.0%；對(duì)于可建模擾動(dòng)的估計(jì)RMSE降低了38.8%。仿真結(jié)果表明，盡管ACSs狀態(tài)變量中存在時(shí)變時(shí)滯環(huán)節(jié)，因本文提出的復(fù)合容錯(cuò)控制策略，能夠有效地估計(jì)可建模擾動(dòng)的真實(shí)值，從而能更好地實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星ACSs的閉環(huán)容錯(cuò)控制。仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方案的有效性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)衛(wèi)星ACSs的有限時(shí)間閉環(huán)容錯(cuò)控制問題，提出了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的復(fù)合自適應(yīng)容錯(cuò)控制器方案。建立了擾動(dòng)誤差系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了時(shí)滯依賴控制器，該控制器包含反饋控制項(xiàng)、擾動(dòng)補(bǔ)償和自適應(yīng)故障補(bǔ)償項(xiàng)，在FTB條件及有限時(shí)間魯棒H∞條件下，給出了觀測(cè)器和控制器增益限制矩陣的LMI形式，并利用對(duì)比仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方案的有效性。仿真結(jié)果表明，針對(duì)具有執(zhí)行器故障和狀態(tài)時(shí)變時(shí)滯的衛(wèi)星ACSs，設(shè)計(jì)的CAFTFTC不僅可以在有限時(shí)間內(nèi)更好地執(zhí)行閉環(huán)容錯(cuò)控制，而且能更有效地估計(jì)可建模擾動(dòng)。

盡管如此，本文研究方法仍有進(jìn)一步的改進(jìn)空間。相較于基于傳統(tǒng)模型的方法，深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法具有更好的收斂速度及估計(jì)精度。因此，基于不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)模型，結(jié)合自適應(yīng)算法和深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，改進(jìn)控制器中的故障補(bǔ)償策略，以更好地實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星ACSs的閉環(huán)容錯(cuò)控制，具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。本文的設(shè)計(jì)方案可為后續(xù)基于深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不確定時(shí)變時(shí)滯衛(wèi)星ACSs自適應(yīng)有限時(shí)間容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。