劉 飛，王松艷，楊 明，晁 濤

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制與仿真中心，哈爾濱 150080）

固體運載火箭（Solid Launched Vehicles，SLV）上升段制導(dǎo)一直是備受國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的研究方向?；跇O大值原理的間接法在理論上可以保證軌跡的最優(yōu)性[1]，然而該方法對于協(xié)狀態(tài)量初值的選取較為敏感，且由最優(yōu)條件構(gòu)成的約束方程較為復(fù)雜。相比之下，基于凸優(yōu)化的直接法可以較大程度地提高計算效率，因而廣泛應(yīng)用于上升段軌跡優(yōu)化[2]。然而，多數(shù)約束無法無損凸化，且模型不確定性對制導(dǎo)精度影響較大。對于實際飛行中存在不確定性的情況，一般在標(biāo)稱情況下采取直接法或間接法離線獲得最優(yōu)參考軌跡，然后設(shè)計軌跡跟蹤制導(dǎo)律，導(dǎo)引SLV沿參考軌跡運動。

對于參數(shù)時變、強(qiáng)非線性的SLV上升段，若采用基于時不變模型的控制器[3]，其跟蹤精度可能相對較低。基于改進(jìn)PID[4]的軌跡跟蹤方法需要在飛行包絡(luò)線內(nèi)設(shè)計多個控制器，這無疑增加了控制器設(shè)計的工作量，且控制器間的切換處理增加了設(shè)計難度?；贚QR[5]的跟蹤方法中，權(quán)重矩陣Q和R的選取對閉環(huán)系統(tǒng)的性能有明顯的影響，其選取原則很大程度依賴設(shè)計人員的經(jīng)驗?；趧討B(tài)逆[6]的軌跡跟蹤方法雖然避免了上述問題，但對模型精度要求較高。若用于參數(shù)攝動下的軌跡跟蹤問題時，可能需要與其他方法相結(jié)合?；谧兘Y(jié)構(gòu)控制[7]的軌跡跟蹤方法魯棒性較強(qiáng)，但控制器往往包含較多的設(shè)計變量，具有一定的設(shè)計難度，且可能造成控制量抖振。文獻(xiàn)[8]提出了一種適用于SLV的自適應(yīng)最優(yōu)軌跡跟蹤控制器，對初始狀態(tài)偏差和氣動不確定性具有良好的抑制效果。該方法在發(fā)動機(jī)比沖和秒流量攝動下的魯棒性能還有待進(jìn)一步研究。近些年來，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的估計-補(bǔ)償跟蹤方法在工程實踐中得到了廣泛應(yīng)用[9]。文獻(xiàn)[10]針對軌跡跟蹤問題，設(shè)計了有限時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer, ESO），實現(xiàn)了對不確定性的實時觀測與補(bǔ)償，提高了制導(dǎo)系統(tǒng)的魯棒性。然而，固定參數(shù)的ESO無法保證在大范圍參數(shù)攝動下，依然具有良好的觀測效果。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于雙曲正切函數(shù)的變參數(shù)ESO，其結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，是否適用于快時變、強(qiáng)非線性的SLV上升段還有待商榷。

另一個思路是將不確定性和動力學(xué)系統(tǒng)作為一個整體，擴(kuò)展為微分包含系統(tǒng)。微分包含系統(tǒng)是在對系統(tǒng)過程有一定了解的但不完全確定的基礎(chǔ)上建立起來的動態(tài)系統(tǒng)，是描述不連續(xù)或不確定動力系統(tǒng)的重要方法，也是微分方程的推廣[12]。根據(jù)微分包含系統(tǒng)的原理，如果某一微分包含系統(tǒng)可被鎮(zhèn)定，那么它所包含的任意子集均可被鎮(zhèn)定[13]。除一般控制問題外，混合模型系統(tǒng)和不確定參數(shù)系統(tǒng)也可視為微分包含系統(tǒng)[14]。在文獻(xiàn)[15]中，利用凸胞Lyapunov函數(shù)構(gòu)造了一類非線性微分包含系統(tǒng)的非線性反饋律。文獻(xiàn)[16]采用滑?？刂品椒ㄑ芯苛硕喟w微分包含系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

基于以上分析，本文引入微分包含的思想，將上升軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)化為微分包含系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，以達(dá)到適用于大范圍不確定性的目的。本文主要工作包括：

1) 將考慮發(fā)動機(jī)比沖量、秒流量和氣動系數(shù)不確定性的狀態(tài)偏差系統(tǒng)描述為上升段微分包含系統(tǒng)，將軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)化為微分包含系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。

2) 提出一種適用于上升段微分包含系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器。證明了當(dāng)參數(shù)不確定性在給定的邊界值之內(nèi)時，在控制器的作用下，狀態(tài)偏差收斂至有界范圍。在發(fā)動機(jī)比沖、秒流量和氣動系數(shù)大范圍不確定性的情況下，實現(xiàn)了對參考軌跡的精確跟蹤。

3) 為了避免在實際飛行過程中違反過載約束，考慮了攻角和側(cè)滑角修正量的幅值飽和約束，將該約束轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式進(jìn)行求解。

1 上升段微分包含模型建立

為了簡化計算，對模型進(jìn)行如下假設(shè)：1)將SLV視為質(zhì)點，忽略轉(zhuǎn)動；2)不考慮擺動噴管的影響；3)將地球視為球體；4)上升飛行時間短，忽略地球自轉(zhuǎn)引起的離心力和科氏力?？紤]SLV受到的推力、氣動力和重力，在軌跡坐標(biāo)下建立上升段運動方程如下：

其中，v為速度，h為高度，Θ為當(dāng)?shù)貜椀纼A角；α和β分別為攻角和側(cè)滑角；σ為當(dāng)?shù)貜椀榔?；Pe和m分別表示發(fā)動機(jī)推力大小和SLV質(zhì)量；g為重力加速度。氣動力大小的計算方式如下：

其中，cx和cy分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)；ρ為大氣密度；Sm為氣動有效面積。

在實際飛行中，由于發(fā)動機(jī)工作環(huán)境不同（如溫度、裝藥質(zhì)量、加工誤差等），發(fā)動機(jī)的比沖和秒流量與地面試驗結(jié)果不同：

另一方面，理論計算的局限性以及風(fēng)洞實驗與實際飛行條件的差異導(dǎo)致了實際氣動特性存在誤差：

將上升段非線性系統(tǒng)(1)寫成如下形式：

其中， x =[v,Θ]T為狀態(tài)變量， u =[α,β]T。

將非線性時變系統(tǒng)(5)在參考軌跡xref處小偏差線性化，得到如下線性系統(tǒng)：

其中，e是x相對于參考狀態(tài)量xref的偏差；下標(biāo)ref表示參考量； Δu =[Δα , Δβ]T為攻角和側(cè)滑角修正量；d是線性化帶來的偏差，視作系統(tǒng)擾動。

A( t)和B(t)的計算方式如下：

式中：

為了便于后文的制導(dǎo)算法設(shè)計，本文給出了一些必要的假設(shè)。

假設(shè)1：系統(tǒng)(6)中的所有狀態(tài)量均可以通過傳感器測量。

假設(shè)2：d的大小未知但有界其中 δi為d的第i個分量的未知邊界常數(shù)值。

假設(shè)3[17]：參數(shù)攝動ΔIsp、Δ、Δcx和Δcy未知，但其邊界值已知。

根據(jù)以上模型處理和假設(shè)條件，構(gòu)造含有不確定性的上升軌跡跟蹤系統(tǒng)：

將微分方程系統(tǒng)(9)轉(zhuǎn)換為微分包含系統(tǒng)，其表達(dá)式如下：

注： Ai和 Bi是由各不確定性的邊界組合確定的。本文考慮不確定性個數(shù)為n = 4，則 N= 2n= 16，微分包含系統(tǒng)(10)可以寫成N個子系統(tǒng)的凸組合：

其中， pi＞ 0，且

2 基于微分包含鎮(zhèn)定的上升段軌跡跟蹤控制器

基于微分包含系統(tǒng)(11)，本節(jié)提出一種SLV上升段參考軌跡跟蹤方案。從高度動態(tài)方程=vsinΘ出發(fā)，可通過修正標(biāo)稱當(dāng)?shù)貜椀纼A角指令來消除高度偏差。本文的研究重點是設(shè)計跟蹤控制算法，使其對修正后的當(dāng)?shù)貜椀纼A角和參考軌跡的速度指令具有良好的跟蹤效果，因而這里選取PD控制器對高度指令進(jìn)行跟蹤。上升段軌跡跟蹤控制結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 上升段軌跡跟蹤跟蹤控制結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Ascent tracking control structure diagram

2.1 基于狀態(tài)反饋的多胞體線性微分包含系統(tǒng)有限時間有界控制律

系統(tǒng)(11)由兩部分構(gòu)成，分別是擾動d和多胞體線性系統(tǒng)(12)：

本節(jié)設(shè)計狀態(tài)反饋系數(shù)K(t)，使得系統(tǒng)(12)有限時間收斂：

其中， Y (t)∈ R1×2和X2(t) ∈R2×2分別是有限時間收斂反饋律中引入的矩陣，可利用LMI工具箱進(jìn)行求解。對Y(t)和X2(t)具體求解過程將在后面給出。

2.1.1 多胞體線性微分包含系統(tǒng)有限時間有界條件

定義1[18]：對于系統(tǒng)若：

定理1：對于系統(tǒng)(12)，當(dāng)=0時，如果存在一個標(biāo)量γ＞0和矩陣P1i＞0以及一般矩陣P2、P3，使得對所有i=1,2...N，如式(15)所示，則系統(tǒng)(12)關(guān)于 (c1,c2,R, T )是有限時間有界的。

和

證明：

取Lyapunov函數(shù)：

對V(t)求導(dǎo)，可得：

即：

其中，

則：

對式(20)，從0到t進(jìn)行積分， t∈ [0,T]，有：

根據(jù)式(22)(23)可得：

因此，根據(jù)定義1，系統(tǒng)(12)在Δu~(t)=0是有限時間有界的。

證畢。

2.1.2 基于狀態(tài)反饋的上升段有限時間有界控制律

定理2：如果存在一個標(biāo)量γ＞0和矩陣 X1i＞0，以及一般矩陣X2和Y，使得對所有i=1,2...N，若有如式(25)所示的線性矩陣不等式成立，則當(dāng)狀態(tài)反饋的增益取 K=時，由式(12)(13)組成的閉環(huán)系統(tǒng)是有限時間有界的。

和

其中，

證明：

取Lyapunov函數(shù)(17)。對式(15)，取 P2= P3并記在式(15)的兩邊分別左乘矩陣和右乘diag{ X2, X2,I}，可得式(25)。

由式(21)可得：

由式(28)(29)，可得：

因此，有：

證畢。

通過上述分析可知，對于給定的γ值，上述控制問題轉(zhuǎn)化為LMI的可行性問題。只要給定了適當(dāng)?shù)摩弥?，即可計算出?dāng)前時刻的狀態(tài)反饋增益系數(shù)K(t)。

2.1.3 考慮控制量幅值約束的多胞體微分包含系統(tǒng)有限時間收斂反饋律

在實際飛行過程中，攻角和側(cè)滑角修正量過大則可能導(dǎo)致SLV偏離參考軌跡過多，進(jìn)而違反過載約束，因此需要對進(jìn)行幅值約束。

定理3：對施加一個幅值約束，即則該約束可描述成LMI的形式：

其中，I2表示2維單位矩陣。

證明：

由Schur補(bǔ)引理可得：

由Schur補(bǔ)引理的逆定理可得：

證畢。

綜上，通過式(25)(26)(31)獲得的狀態(tài)反饋矩陣K (t)可使系統(tǒng)(12)在控制量幅值約束下有限時間有界。

2.2 微分包含自適應(yīng)飽和跟蹤控制器

上一節(jié)針對不含擾動d的線性多胞體微分包含系統(tǒng)(12)設(shè)計了有限時間收斂控制器。本節(jié)針對上升段微分包含系統(tǒng)(11)，設(shè)計有限時間收斂控制器。在設(shè)計控制器之前，給出以下幾個引理。

引理1[19]：對于任意正實數(shù)x和y，有如下不等式成立：

其中，tanh(·)是雙曲正切函數(shù)；τ＞0，其最小值*τ滿足：

其中， x*滿足方程 e-2x*+1- 2 x*= 0。

引理2[20]：對于x,y∈R，有如下不等式成立：

其中，K(t)由式(25)(26)(31)獲得。

定理4：在控制器(37)和自適應(yīng)律(35)的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)(11)的狀態(tài)量e(t)可以收斂至有界范圍內(nèi)。

其中，

證明：

取全局Lyapunov函數(shù)：

根據(jù)引理1和引理2，有：

進(jìn)一步結(jié)合式(36)，有：

令：

根據(jù)式(38)(39)，有：

式(40)的左右兩側(cè)同時乘以ect并進(jìn)行積分，得：

因此，跟蹤誤差ie收斂至有界范圍內(nèi)。

證畢。

3 仿真結(jié)果

SLV需要以一定的速度和當(dāng)?shù)貜椀纼A角將載荷運送到某一指定高度的軌道。本算例的背景是兩級SLV的第二級助推階段。發(fā)動機(jī)參數(shù)見表1。

表1 第2級發(fā)動機(jī)參數(shù)Tab.1 Engine parameters of the 2nd stage

假設(shè)第一級助推段按照離線規(guī)劃產(chǎn)生的程序角飛行，由于發(fā)動機(jī)參數(shù)和氣動系數(shù)的不確定性，高度、速度和當(dāng)?shù)貜椀纼A角誤差在第一級結(jié)束時產(chǎn)生了積累。本文研究在一級累積誤差和參數(shù)不確定情況下，二級軌跡的跟蹤問題。終端指標(biāo)為：終端高度偏差100m，終端速度偏差＜ 20m/s ，終端彈道傾角＜ 0.5°。Δα 和Δβ 的幅值約束分別為＜ 5°＜ 5°。仿真步長為1 ms，控制周期為10 ms。本節(jié)通過仿真實驗，驗證上升段軌跡跟蹤控制器的有效性?？刂破鲄?shù)設(shè)置如表2所示。

表2 控制器參數(shù)Tab.2 Controller parameters

3.1 控制器跟蹤性能分析

為了驗證跟蹤控制器的性能，選擇如下不確定性組合進(jìn)行參考軌跡跟蹤：

圖2 -3分別為跟蹤性能和控制修正量隨時間的變化曲線。由圖2(a)-(c)可知，在給定的不確定性情況下，控制器對高度、速度和當(dāng)?shù)貜椀纼A角偏差均具有良好的收斂性。因此，本文提出的微分包含跟蹤控制器對復(fù)雜飛行環(huán)境和發(fā)動機(jī)不確定性參數(shù)具有良好的適應(yīng)性。隨著高度的增加，大氣密度和氣動力急劇減小，氣動系數(shù)的不確定性對飛行動態(tài)的影響減弱。當(dāng)發(fā)動機(jī)參數(shù)不確定性達(dá)到邊界值時，相比于氣動系數(shù)不確定性，發(fā)動機(jī)參數(shù)不確定性對軌跡的影響起決定性作用。因此，該算法可以抑制發(fā)動機(jī)參數(shù)帶來的大不確定性。然而，由于發(fā)動機(jī)參數(shù)的不確定性始終存在，終端速度偏差不能完全控制收斂至0?？刂破鲗⑺俣绕羁刂圃赱-2,2] m/s范圍內(nèi)。由于參考軌跡的終端速度和終端當(dāng)?shù)貜椀纼A角分別為6420 m/s和0°，控制器對Θref進(jìn)行跟蹤且 Θref(tf) = 0，則可以粗略估計為＜ arctan(2 vref(tf)) = 0.0179°，終端當(dāng)?shù)貜椀纼A角偏差極小。由式(1)可知，當(dāng)?shù)貜椀纼A角偏差由直接Δα 控制。因此當(dāng)當(dāng)?shù)貜椀纼A角偏差趨近于零時，攻角也趨近于零，如圖3(a)所示。Δβ≠0是為了控制始終存在的速度偏差，如圖3(b)所示。此外可以得出，在不同條件下，速度偏差的收斂程度主要取決于發(fā)動機(jī)參數(shù)攝動。

圖2 微分包含跟蹤控制器性能Fig.2 Differential inclusion tracking controller performance

圖3 控制量隨時間變化曲線Fig.3 Curves of control variable over time

3.2 魯棒性能分析

為了進(jìn)一步驗證控制器的魯棒性，進(jìn)行了蒙特卡洛仿真試驗。參數(shù)不確定性的分布情況如下：

ΔIsp～U(-2.5s,+2.5s), Δm˙～U(-0 .45kg/s,+0.45kg/s)

Δcx～U(-25%,+25%), Δcy～U(-25%,+25%)

其中，U表示均勻分布。

圖4 給出了在500次蒙特卡洛仿真試驗下，高度、速度和當(dāng)?shù)貜椀纼A角隨時間變化的曲線。由圖4可知，在給定的不確定性范圍內(nèi)，所有軌跡的高度、速度和當(dāng)?shù)貜椀纼A角偏差均收斂。由于 Ai(t )和Bi(t)由不確定性邊界值計算得到，因此當(dāng)不確定性在給定的邊界值范圍內(nèi)時，控制器可以對邊界內(nèi)的所有不確定性組合進(jìn)行鎮(zhèn)定。如果將各不確定性組合看作上升段微分包含系統(tǒng)的子微分方程系統(tǒng)，結(jié)果進(jìn)一步表明微分包含系統(tǒng)的鎮(zhèn)定過程是它所包含的任意子微分方程系統(tǒng)的鎮(zhèn)定過程。終端狀態(tài)誤差的范圍如表3所示。

表3 蒙特卡洛仿真下的終端誤差Tab.3 Terminal errors in Monte Carlo simulation

圖4 蒙特卡羅仿真下的跟蹤性能結(jié)果Fig.4 Monte Carlo result of tracking performance

3.3 方法比較

本節(jié)將本文提出的微分包跟蹤控制器（控制器1）和基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的跟蹤控制器(控制器2)[20]方法進(jìn)行對比。控制器2將所有不確定性引起的擾動作為一個整體處理，通過設(shè)計ESO對其進(jìn)行估計并進(jìn)行補(bǔ)償。文獻(xiàn)[20]只考慮氣動力偏差，為了達(dá)到比較效果，這兩種算法均考慮了發(fā)動機(jī)比沖和秒流量的不確定性。分別在表4中給定的情況下，對兩種控制器進(jìn)行對比。

表4 發(fā)動機(jī)和氣動參數(shù)攝動Tab.4 Engine and aerodynamic parameter perturbations

兩種控制器的跟蹤效果如圖5所示，藍(lán)色、紅色、黃色和綠色曲線分別代表場景1-4。由圖5可知，在場景1和2下，控制器2的跟蹤性能優(yōu)于控制器1?？刂破?算法的高度和速度收斂速度均快于控制器1，且控制器2具有較高的終端精度。這是因為當(dāng)不確定性較小時，ESO能夠準(zhǔn)確估計不確定性產(chǎn)生的擾動并進(jìn)行精確補(bǔ)償。當(dāng)不確定性進(jìn)一步增大時（例如場景3和4），控制器2無法精確跟蹤參考軌跡。其原因是，發(fā)動機(jī)參數(shù)的不確定性對上升段動態(tài)過程的影響較大，當(dāng)發(fā)動機(jī)參數(shù)攝動范圍較大時，固定參數(shù)的ESO在較寬的不確定范圍內(nèi)無法保證良好的觀測性能。因此，當(dāng)不確定性的邊界范圍較大時，場景3和4中控制器2算法的魯棒性變差。與傳統(tǒng)的估計-補(bǔ)償方法相比，本文提出的控制器雖然具有保守性，但當(dāng)某一確定性組合處于給定的邊界內(nèi)，可使該情況下的狀態(tài)偏差收斂。

圖5 兩種控制器的跟蹤性能Fig.5 Tracking performance of two controllers

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于微分包含鎮(zhèn)定的軌跡跟蹤控制器，仿真結(jié)果表明，該控制器適用于SLV上升段制導(dǎo)問題，對參考軌跡的高度、速度和當(dāng)?shù)貜椀纼A角具有良好的跟蹤效果。結(jié)合發(fā)動機(jī)參數(shù)和氣動系數(shù)的不確定性，給出了上升段軌跡跟蹤問題的微分包含描述方法，并將上升段軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)化為微分包含鎮(zhèn)定問題。針對微分包含系統(tǒng)，設(shè)計了微分包含自適應(yīng)飽和跟蹤控制器并證明了其閉環(huán)穩(wěn)定性。在給定的不確定邊界內(nèi)，該控制器能夠?qū)崿F(xiàn)在任意不確定性組合下，速度和當(dāng)?shù)貜椀纼A角偏差收斂至有界范圍內(nèi)，實現(xiàn)了實際軌跡對參考軌跡的實時跟蹤。在仿真算例下，終端速度、當(dāng)?shù)貜椀纼A角和高度誤差分別小于2 m/s、0.01 °和10 m，均滿足指標(biāo)要求。與基于ESO的觀測-補(bǔ)償方法相比，本方法拓寬了不確定性的適用范圍。