王星凱，邢麗坤，吳賢圓，孫朝鵬

(1.安徽理工大學 電氣與信息工程學院，安徽 淮南 232001；2.國網(wǎng)安徽省電力有限公司檢修分公司，安徽 合肥 230000)

鋰電池系統(tǒng)具有非線性[1-2]特征，模型參數(shù)是隨時間變化的，為了改善鋰電池在荷電估計中的精確性，本文將使用帶遺忘因子的遞推最小二乘法(FFRLS)來進行參數(shù)辨識.最小二乘法是Gauss為研究星體運動軌道預測而提出的，該方法因為原理簡單、收斂速度快、計算方便等特點在系統(tǒng)的參數(shù)估計領(lǐng)域有廣泛應用[3].但在鋰電池系統(tǒng)中，由于采集數(shù)據(jù)過于巨大，且數(shù)據(jù)不能及時更新，導致參數(shù)估計結(jié)果不能隨時變參數(shù)的變化而及時變化.因此，提出FFRLS算法通過將LS算法改成遞推形式，并引入遺忘因子增加新數(shù)據(jù)在遞推過程中的權(quán)重，有效解決最小二乘計算繁瑣、參數(shù)估計不精確等問題.

1 鋰電池等效模型與參數(shù)辨識

1.1 電池等效模型建立

目前電池模型主要分為電化學模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和等效電路模型[4-5].本文采用二階RC電路模型，如圖1所示.Uoc為鋰電池開路電壓；Uo為鋰電池端電壓；R0為鋰電池內(nèi)阻；R1，R2和C1，C2分別為鋰電池的極化內(nèi)阻和極化電容.

圖1 二階RC電池等效電路模型

1.2 模型初始參數(shù)辨識

為了獲取一個較為準確的電路模型，需要對電路模型中的元件參數(shù)進行參數(shù)辨識.目前常用的參數(shù)辨識方法有測量法、最小二乘法等[6].雖然測量法計算較為簡單并容易實現(xiàn)，但只能用于離線的參數(shù)辨識，而且對傳感器精度要求很高，具有一定的局限性.

以SISO[7]為例，介紹一下FFRLS算法參數(shù)辨識過程.

z(k)=hT(k)θ+e(k)，

(1)

式中:z(k)為系統(tǒng)第k次輸出量的觀測值;h(k)為系統(tǒng)第k次的輸入值;θ是需要被辨識的參數(shù).把式(1)擴展至N維，根據(jù)最小二乘準則取泛函數(shù)J(θ)如下：

(2)

式中:Λ(k)為加權(quán)因子，對所有的k，Λ(k)為正數(shù)，引入加權(quán)因子就是為了提高新數(shù)據(jù)在估計過程中的權(quán)重.對函數(shù)J(θ)取最小值，也就是J對θ求偏導等于0，就可以得到θ的最小二乘估計值.

對于k=1，2，…，L，將式(1)改寫成一個線性方程組.其中L為數(shù)據(jù)長度，在滿足L>na+nb的同時，還必須充分大.

z=HTθ+E.

(3)

然后引入衰減因子β(0<β≤1)，且定義:

Z*=[βL-1z(1)，βL-2z(2)，…，
β2z(L-2)，βz(L-1)z(L)]，

(4)

H*=[βL-1hT(1)，βL-2hT(2)，…，
β2hT(L-2)，βhT(L-1)hT(L)].

(5)

對于有L組觀測數(shù)據(jù)的系統(tǒng)，采用FFRLS算法完成一次流程的結(jié)果為：

(6)

進一步，將結(jié)果改寫成：

(7)

式中:μ=β2，0<μ≤1，μ為遺忘因子.

同時，令

則可得到

P-1(k)=
μP-1(k-1)+h(k)hT(k).

(8)

聯(lián)合式(7)和式(8)再加上增益矩陣：

(9)

最后，將上述過程整理可得帶遺忘因子的遞推最小二乘法參數(shù)估計公式為：

(10)

在時變系統(tǒng)中引入遺忘因子是為了減少陳舊信息在參數(shù)估計中的權(quán)重，更多地使用新數(shù)據(jù)，從而對算法起到修正作用.但引入遺忘因子可能會因噪聲干擾使參數(shù)估計波動更為嚴重，所以在實際運行中，要綜合考慮自適應能力和精度損失兩方面因素.因此，遺忘因子選擇按以往經(jīng)驗選在0.9～1之間.

由圖1電路模型可設(shè)模型極化電壓與內(nèi)阻電壓之和為Ud，則有：

Ud=Uoc-Uo=IR0+U1+U2，

(11)

又有：

(12)

(13)

對式(12)和式(13)分別進行拉氏變換并代入式(11)后離散化處理可得：

Ud(k)=k1Ud(k-1)+
k2Ud(k-2)+k3I(k)+
k4I(k-1)+k5I(k-2)，

(14)

其中：

這就滿足式(3)的最小二乘形式，然后根據(jù)式(10)遞推求得待辨識參數(shù)θ，進而根據(jù)各參數(shù)間關(guān)系求得二階電路的模型參數(shù).FFRLS算法流程如圖2所示.

圖2 基于FFRLS的模型參數(shù)在線辨識流程

如圖2所示，在Matlab中采用FFRLS對鋰電池二階RC等效電路模型參數(shù)進行在線辨識，過程如下：

(1)把充放電測試數(shù)據(jù)集導入，設(shè)置采樣時間為1 s，設(shè)置遺忘因子μ=0.973；

(2)將辨識參數(shù)初始化，設(shè)置θ(0)=0.001,P(0)=107I；

(4)計算新舊辨識參數(shù)的誤差e(k)，并判斷是否超出誤差極限，若沒超出則重復步驟(3)、(4)，超出極限則輸出辨識的參數(shù).

2 基于UKF的SOC估計

2.1 基于UKF的SOC估計

卡爾曼濾波主要應用于線性系統(tǒng)中，而擴展卡爾曼濾波(EKF)是通過一階Taylor級數(shù)展開并線性化，但因其忽略高階項，導致估算精度不夠高，于是有了無跡卡爾曼濾波(UKF)的出現(xiàn).與EKF相比，UKF只需采用無跡變換，不需要求解Jacobi矩陣，UKF算法既減少了計算量又提高了數(shù)據(jù)精度.本文根據(jù)UKF算法分析，估算鋰電池的SOC，首先要建立電池的狀態(tài)空間方程.由式(15)結(jié)合圖1二階RC等效電路模型，鋰電池狀態(tài)方程和測量方程如下：

(15)

由圖1所示電池荷電狀態(tài)SOC、電容電壓U1、U2為狀態(tài)變量，端電流I為輸入量，端電壓Uoc為輸出量，模型離散化后轉(zhuǎn)換成空間狀態(tài)方程如下：

(16)

(17)

狀態(tài)向量xk=(SOCk，U1,k，U2,k)T，系統(tǒng)輸入uk為電流輸入Ik.

將狀態(tài)測量方程與UKF算法結(jié)合，估算出SOC的值.

3 實驗結(jié)果分析

3.1 模型驗證

實驗實現(xiàn)流程如下：將單節(jié)鋰電池放在恒溫箱(20℃±2℃)里進行脈沖放電(4.17 A放電18 min 靜置120 min)整個放電時長為780 min，采樣間隔1 s.

為驗證FFRLS算法參數(shù)辨識結(jié)果的準確性，端電壓真實值與模型的誤差情況如圖3所示.平均誤差只有0.023，側(cè)面證實了參數(shù)的準確性.

圖3 模型誤差

3.2 SOC算法驗證

使用Matlab導入實驗測得的電池端電壓電流數(shù)據(jù),然后導入LS算法離線參數(shù)辨識結(jié)果結(jié)合UKF估計SOC，再通過FFRLS和UKF算法聯(lián)合估計SOC，實驗結(jié)果如圖4所示.

圖4 脈沖放電下的SOC估計及誤差曲線

從圖4(a)中可以看出，鋰電池荷電狀態(tài)在0.15～1之間變化， LS離線辨識參數(shù)代入UKF和FFRLS聯(lián)合UKF預測SOC對比，從曲線表現(xiàn)上來說采用FFRLS的曲線表現(xiàn)得更好一點，表現(xiàn)出更加出色的動態(tài)性能.為了更清晰地對比其差別，圖4(b)分別為LS和FFRLS荷電狀態(tài)估計曲線與真實值的相對誤差，可以看出FFRLS的SOC估計誤差在整體上都要小于LS的估計曲線，兩條曲線的誤差都控制在0.043之下，且FFRLS曲線的平均誤差要比LS曲線的平均誤差小0.007，F(xiàn)FRLS的表現(xiàn)要更為精確和穩(wěn)定.

4 結(jié)論

本文使用二階RC等效電路模型對鋰電池進行建模，通過將FFRLS算法得出的參數(shù)帶入模型中驗證了該模型的準確性；通過對比FFRLS算法和LS算法結(jié)合無跡卡爾曼濾波算法估計荷電狀態(tài)，驗證了FFRLS參數(shù)辨識的精確度要高于LS，更適合實際應用.從圖4也可以看出隨著工況的循環(huán)推進，兩條曲線的誤差也呈增長趨勢，且誤差波動幅度較大，這是因為實際情況下噪聲的不確定性，UKF算法不能較好地實時改變，而AUKF算法可以通過對噪聲協(xié)方差的實時更新,對噪聲模型的變化有較強的適應能力，對SOC的估計性能更優(yōu).