沈小雪 宋玉軍

（佳木斯大學理學院 黑龍江佳木斯154000）

自2017版高中數(shù)學課標頒布以來，各省分批開始新一輪的課程改革。隨著課改的不斷深入，教材也隨之發(fā)生改變。現(xiàn)在，我國高中普遍使用的數(shù)學教材共有5版，分別為人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版，從而使我國形成一綱多版的局面。面對新課改提出的要求，人教A 版在解三角形部分進行了很大改變。在高中的數(shù)學知識體系中，解三角形具有重要地位，并且它也是高考常見題型之一。而習題部分，課前作為預習，能夠了解本節(jié)要學習的內(nèi)容；課上作為練習，能夠鞏固知識的學習；課后作為知識點的補充，能夠檢測學生的學習效果。因此，習題在一章當中成為不可或缺的一部分。綜上，分析解三角形部分的習題是很有必要的。

1 基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的比較分析

對新舊教材的習題進行統(tǒng)計時，按照以下標準進行統(tǒng)計：教材中，以1、2、3……編號為大題，以（1）、（2）、（3）……編號為小題，凡是大題中有小題出現(xiàn)時，皆按小題數(shù)量計算。另外，統(tǒng)計的習題包含每節(jié)標有“練習”“習題”和“復習參考題”字樣的部分。依據(jù)以上標準，按照各題目所體現(xiàn)的數(shù)學核心素養(yǎng)進行統(tǒng)計，如表1和表2所示。

表1 新教材各題目所體現(xiàn)的數(shù)學核心素養(yǎng)比較

表2 舊教材各題目所體現(xiàn)的數(shù)學核心素養(yǎng)比較

1.1 數(shù)學抽象維度的比較分析

數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量之間的關(guān)系，或是空間形式上的變化的抽象，進而得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)。新教材中體現(xiàn)數(shù)學抽象素養(yǎng)的題目共有8 道，占總量的22.2%；舊教材中則有10道，占總量的14.9%。相較于舊教材來說，新教材在這方面的占比略高。由此可見，這次的教材編寫注重培養(yǎng)學生的這一素養(yǎng)。

例如，新教材中習題6.4 的“你能用三角形的邊和角的正弦表示三角形的面積嗎？”這一道題，在舊教材中，與它類似的題目是這樣描述的：“就三角形的面積計算問題作一探索，你現(xiàn)在已經(jīng)學習了哪些計算公式，還可發(fā)現(xiàn)和證明一些新的計算公式嗎？”

這兩道題的立意都是希望學生能夠通過對正弦定理的學習，自主探索總結(jié)出三角形的面積公式。新教材在題目中直接給出推導的思路，而舊教材沒有。相比之下，新教材題目的表達更加符合學生的發(fā)展認知，更加有利于學生獲得數(shù)學的某種規(guī)則，培養(yǎng)數(shù)學思維，形成數(shù)學體系［1-3］。

1.2 邏輯推理維度的比較分析

邏輯推理是學生學習數(shù)學應具備的基本能力之一，它是指根據(jù)已知判斷推出新判斷的一種能力。借助邏輯推理能力的培養(yǎng)，使學生建構(gòu)數(shù)學知識體系，且能夠找到錯綜復雜的事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。新教材中，凸顯邏輯推理素養(yǎng)的題目基本是延續(xù)了舊教材，但是新教材的題數(shù)占總數(shù)的22.2%，而舊教材為17.9%，新教材高于舊教材4.3%。由此可見，在對學生邏輯推理能力的培養(yǎng)上，新教材比舊教材更加重視。

1.3 數(shù)學建模維度的比較分析

數(shù)學建模是指將實際問題抽象為數(shù)學問題，再運用數(shù)學知識和方法對問題進行設計和實施，從而建立數(shù)學模型解決問題的素養(yǎng)。在新教材中，體現(xiàn)數(shù)學建模素養(yǎng)的題目數(shù)量僅占總數(shù)的5.6%，而舊教材為7.5%，新教材比舊教材低了1.9%，可見數(shù)學建模這一核心素養(yǎng)在新教材的體現(xiàn)度略低。數(shù)學建模是連接實際生活與數(shù)學知識的一道橋梁，是數(shù)學在應用方面最好的體現(xiàn)，也是以后學習高等數(shù)學必備的數(shù)學思想。在高中階段學會數(shù)學模型，一方面，可以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力，增強用數(shù)學語言表示實際生活的感覺；另一方面，可以認識數(shù)學模型在生活中的多種作用，提升學生的動手操作能力，增強創(chuàng)新意識。因此，新教材應該適當增加數(shù)學建模方面的習題［4-6］。

1.4 數(shù)學運算維度的比較分析

數(shù)學運算是指明確計算目標，根據(jù)適當?shù)倪\算法則解決數(shù)學問題。主要包括：定對象，懂法則，理思路，求結(jié)果。從表1和表2中可以看出，新教材對體現(xiàn)數(shù)學運算素養(yǎng)的這類題目進行了刪減。對于這種純運算直接應用定理，只能機械強化學生思維的題目，與“全面發(fā)展”這一教育理念背道而馳，因此，新教材在修訂時特別注重多種素質(zhì)的共同培養(yǎng)。

1.5 直觀想象維度的比較分析

直觀想象是指通過借助幾何直觀和空間想象認識事物的變化過程，利用圖形加深理解，從而解決數(shù)學問題。主要包括：通過空間形態(tài)認識事物；利用圖形分析問題等。通過表1和表2發(fā)現(xiàn)，新教材習題體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的數(shù)量占總體38.9%，而舊教材為40.3%，二者相差不大，從占比來看，直觀想象這一核心素養(yǎng)均是新舊兩版教材中解三角形部分主要體現(xiàn)的核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學學習中直接展現(xiàn)這一素養(yǎng)的典型思想就是數(shù)形結(jié)合。借助這類題目的練習，可以幫助學生在解題過程中建立數(shù)形結(jié)合的思想，提升空間想象的能力。

1.6 數(shù)據(jù)分析維度的比較分析

數(shù)據(jù)分析主要指具備對數(shù)據(jù)處理、分析的敏感度，能夠真實且有用地獲取數(shù)據(jù)信息，并且對于數(shù)據(jù)結(jié)果進行合理、科學的統(tǒng)計，從而在數(shù)據(jù)分析的過程當中獲得有價值的信息內(nèi)容，進而實現(xiàn)對于數(shù)據(jù)的利用。通過在高中階段的學習，使學生能夠提高獲取信息、處理信息和應用信息的能力及意識，增強運用數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的能力，以此讓學生逐漸具備用數(shù)據(jù)印證事實的思維。從表1 和表2 中可以看出，在這部分習題中，體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的題目和體現(xiàn)數(shù)學建模素養(yǎng)的題目是直接掛鉤的。因此，新教材在這個素養(yǎng)上是低于舊教材的，但是差距并不是十分明顯，教師在對這類題目進行講解時應融入其他與之類似的題目。

2 習題難度的比較研究

2.1 習題數(shù)量比較

依據(jù)以上標準，對新舊教材解三角形部分習題的統(tǒng)計數(shù)量，如表3和表4所示。

表3 新教材習題數(shù)量分布表

表4 舊教材習題數(shù)量分布表

從數(shù)據(jù)結(jié)果看，新教材的習題總數(shù)為36 道，舊教材的習題總數(shù)為67道，新教材的數(shù)量比舊教材少了近一半。造成這一現(xiàn)象的主要原因是編排方式的改變，在舊教材中解三角形獨成一章，共有三小節(jié)，由于第三節(jié)是實習作業(yè)，所以沒有對應的習題，前兩節(jié)都有練習和習題部分，在章節(jié)的最后還有復習參考題。而在新教材中，解三角形僅僅是作為平面向量的應用出現(xiàn)，只占了一節(jié)中的一部分，除了有單獨的練習外，并沒有與之配套的習題和復習參考題。

在這部分中，還有一個最顯著的變化，新教材中題目所給出的三角形元素突出“特殊角”的作用。與舊教材相比，新教材題目中所給出條件不會過于復雜，說明它更加注重定理的應用。在應用舉例部分，新教材數(shù)量明顯比舊教材少很多，但并不是說新教材不重視定理在實際生活中的應用。這樣設計的原因有二：一是在前面提到編排方式上的改變；二是舊教材中此部分的習題數(shù)量對于學生而言過于繁重，由于學生剛剛學完解三角形的知識，認知正在處于建構(gòu)階段，而應用舉例的習題通常題干過長，難以理解，若這部分題目過多，易使學生在錯誤中感到沮喪，進而失去解題的興趣。

2.2 習題綜合難度分析

根據(jù)鮑建生的綜合難度模型，選取新教材的36個題目和舊教材的67 個題目為研究對象，從習題的背景、探究、運算、推理、知識5個因素進行分析。下面結(jié)合解三角形這部分習題的特點對5個因素的每個水平進行闡述，如表5所示。

表5 習題難度各因素水平描述

根據(jù)以上界定，通過對兩本教材解三角形部分的習題的比較，它們的難度統(tǒng)計如表6所示。

表6 新舊教材解三角形部分習題難度比較

通過觀察圖1分析，不管是新教材還是舊教材，習題的運算部分都是要比其他部分的難度略大一些，分別為2.58 和2.46，可見新舊教材在解三角形部分更加注重對定理的理解以及定理在數(shù)學運算上的應用。另外，兩本教材的主要不同之處呈現(xiàn)在背景和知識兩個方面。從背景方面來看，新教材的難度值小于舊教材，造成這一結(jié)果的主要原因是新教材在章節(jié)分布上的變化。在新教材中，解三角形被安排在了平面向量這一章，作為平面向量的應用出現(xiàn)，其中，這節(jié)還有平面向量在物理中的應用，這部分的增加使得解三角形中帶有背景的題目減少。從知識方面看，新教材的難度值高于舊教材，說明這本教材在編寫上對知識內(nèi)容做出了新的要求。高考數(shù)學通常是將解三角形的知識與其他知識交匯考察，為適應高考，新教材在進行編寫時應注重多種知識的融會貫通。

圖1 習題難度雷達圖

3 結(jié)語

通過對新舊教材解三角形部分的習題的難度和基于核心素養(yǎng)分析習題兩個維度進行研究，新教材的習題更加注重學生的數(shù)學抽象、邏輯推理的能力。此次改編充分考慮到學生的知識建構(gòu)能力，重視各核心素養(yǎng)在學生身上的結(jié)合作用，在學生穩(wěn)步前進的同時，更加關(guān)注他們的全面發(fā)展，落實了“立德樹人”的根本任務。