何少杰

(甘肅省清水縣第六中學(xué) 741400)

平面向量基本定理是向量坐標(biāo)表示,以及向量法求解幾何問題的理論基礎(chǔ),由其引出了幾個(gè)系數(shù)等值線定理,筆者在高三復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)注意到,在解決向量線性表示后的系數(shù)問題時(shí),等和線與等差線能讓學(xué)生從形的角度去分析問題,解法直觀,過程簡潔流暢,可以拓展思維,加深學(xué)生對平面向量基本定理的理解,應(yīng)用最為廣泛,是解決此類問題的通法.文[1]給出了定理的證明過程,下面整理性質(zhì)并進(jìn)行應(yīng)用舉例,供考生參考.

1 等和線

1.1 等和線定理

1.2 等和線性質(zhì)

表1 等和線性質(zhì)

1.3 等和線應(yīng)用舉例

所以λ2+μ=(1-2μ)2+μ.

圖1

圖2

圖3

可求得切線PC方程為3x+4y-12=0.

所以|OC|=4.

圖4

又S△AOB=S△AOD+S△BOD,

2 等差線

2.1 等差線定理

2.2 等差線性質(zhì)

表2 等差線性質(zhì)

2.3 等差線應(yīng)用舉例

圖5

令y=0得P(2,0).

解析如圖6,由等和線定理,平行移動(dòng)等和線AB至MN,可得x,y需滿足1≤x+y≤2.

圖6

由等差線定理,平行移動(dòng)等差線AB′,當(dāng)?shù)炔罹€過點(diǎn)M時(shí),(x-y)max=2,當(dāng)?shù)炔罹€過點(diǎn)N時(shí),(x-y)min=-2,得x,y還需滿足-2≤x-y≤2.

3 對等值線的解讀

定理中系數(shù)取定值的等式分別為x+y=k,x-y=k,與平面直角坐標(biāo)系中的直線方程形式完全一致,而且系數(shù)取定值時(shí)點(diǎn)P軌跡也是直線,難道是巧合嗎？

基于以上認(rèn)識(shí),類比平面直角坐標(biāo)系中的相關(guān)概念,在對應(yīng)的平面仿射坐標(biāo)系中,對等值線中的k可以賦予一定的幾何意義.等和線方程x+y=k變形為y=-x+k,則k對應(yīng)的就是“縱截距”;等差線方程x-y=k變形為y=x-k,則k對應(yīng)的就是“縱截距的相反數(shù)”.至此,我們從另一角度更深刻地認(rèn)識(shí)了平面向量基本定理系數(shù)等值線,也可以理解并記憶不同圖形所對應(yīng)的k的取值情形.