陳曉虎，尚偉燕，楊先海，易新華，代瑞恒，孫陽

(1.山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東淄博 255000；2.寧波工程學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，浙江寧波 315000)

0 前言

深水基礎(chǔ)工程均在水面以下，其建造過程、后期維修均屬隱蔽工程，施工難度極大[1]。研發(fā)能穩(wěn)定行進(jìn)于深水環(huán)境的潛水器，代替人完成復(fù)雜環(huán)境下的工程任務(wù)，具有重要意義。遙控?zé)o人潛水器(Remotely Operated Vehicle，ROV)是水下工作的重要工具，在軍事偵察、搜索救援、水產(chǎn)養(yǎng)殖等多個領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[2-3]。推進(jìn)器布置及推力分配對潛水器的運動和作業(yè)能力影響巨大。為保持深水工程作業(yè)機(jī)器人各自由度運動合理，就必須解決ROV水平推進(jìn)器推力分配問題，以最小化能耗或最小推力輸出為優(yōu)化目標(biāo)將運動控制器產(chǎn)生的合力(矩)合理地分配到各推進(jìn)器[4-6]。將ROV受到各個方向的力和力矩通過合理的推力分配方案使各推進(jìn)器高效合理運行，可在降低能耗、減小誤差、延長設(shè)備壽命等方面發(fā)揮重要作用[7]。

推力控制分配本質(zhì)是一個在約束條件下的最優(yōu)化問題。常見推力分配方法主要有：基于數(shù)學(xué)規(guī)劃的優(yōu)化方法、原始對偶法及其改進(jìn)算法、偽逆法及其改進(jìn)算法、序列二次規(guī)劃等[8-10]。偽逆法求解迅速、結(jié)構(gòu)簡單，但輸出推力易飽和使推進(jìn)器持續(xù)高功率工作；原始對偶法的理論簡單，有效解決推力飽和現(xiàn)象，但推力大小存在突變，降低了推進(jìn)器使用壽命；序列二次規(guī)劃算法可解決線性與非線性約束優(yōu)化的問題，避免推力過飽和與推力突變，更適用于水平推進(jìn)器的推力分配問題[11]。

ROV依靠4個水平推進(jìn)器完成縱蕩、橫蕩、艏搖的運動。研究ROV水平推進(jìn)器對以上3個運動的影響，如圖1所示建立ROV本體坐標(biāo)系O-XYZ，坐標(biāo)系原點O坐落在ROV的重心上，OX軸在ROV的縱蕩方向上，OY軸在橫蕩方向上，OZ軸沿垂蕩運動的方向。

ROV四個水平推進(jìn)器的安裝位置如圖2所示。圖中T1、T2、T3、T4分別為4個推進(jìn)器產(chǎn)生的推力，其中推進(jìn)器1安裝在ROV船艏左側(cè)，推進(jìn)器2安裝在ROV船艉左側(cè)，推進(jìn)器3安裝在ROV船艉右側(cè)，推進(jìn)器4安裝在ROV船艏右側(cè)。4個水平推進(jìn)器都安裝沿OX方向與坐標(biāo)系原點O相距D1、沿OY方向與坐標(biāo)系原點相距D2的位置，安裝角度均為θ。

圖1 ROV本體坐標(biāo)系

圖2 ROV水平推進(jìn)器布局

1 ROV水平推進(jìn)器數(shù)學(xué)建模

根據(jù)圖2所示的ROV水平推進(jìn)器布局，可以得出各水平推進(jìn)器的參數(shù)見表1。

表1 水平推進(jìn)器參數(shù)

ROV運動過程中，在水平面內(nèi)受到的外力可以分解為縱向阻力、橫向阻力及偏航阻力矩，因此水平推進(jìn)器所產(chǎn)生的合力需要能夠應(yīng)對3種外力的影響，其合力亦可分解為縱向力K、橫向力M及偏航力矩N。因此每個推進(jìn)器產(chǎn)生的推力可以如圖3所示沿OX和OY進(jìn)行分解。

圖3 推進(jìn)器推力分解

圖3中：Tix=Ticosθ，Tiy=Tisinθ。推進(jìn)器產(chǎn)生的縱向力與橫向力分別為

K=T1x-T2x-T3x+T4x=T1cosθ-T2cosθ-

T3cosθ+T4cosθ

(1)

M=-T1y-T2y+T3y+T4y=T1sinθ+T2sinθ-

T3sinθ-T4sinθ

(2)

產(chǎn)生的偏航力矩為

N=T1xD2+T1yD1-(T2xD2+T2yD1)+T3xD2+T3yD1-(T4xD2+T4yD1)=T1(D2cosθ+D1sinθ)-T2(D2cosθ+D1sinθ)+T3(D2cosθ+D1sinθ)-T4(D2cosθ+D1sinθ)

(3)

進(jìn)而求出ROV推進(jìn)器的綜合推力：

(4)

式中：cθ=cosθ,sθ=sinθ。

ROV推進(jìn)器所產(chǎn)生的合力大小為

(5)

ROV推進(jìn)器所產(chǎn)生的合力的方向為

(6)

φ的取值范圍為[-π，π]。

所設(shè)計的水下工程機(jī)器人的工作環(huán)境中水流速度慢，通常低于2 m/s，所配置的水平推進(jìn)器的最大推力為170 N，ROV尺寸為992 mm(L)×720 mm(W)×551 mm(H)，正面迎水面積約為0.3 m2，通過ROV的形狀阻力公式

f=0.5σAv2Cd

(7)

式中:f為ROV的形狀阻力；σ等于海水密度除以重力加速度，其中海水密度1 035 kg/m3，重力加速度9.8 m/s2；A為特征面積即ROV正面迎水面積；v為ROV與水流相對速度；Cd為阻力系數(shù)，取0.9。

可得ROV與水流的相對速度為2 m/s時形狀阻力約為57 N。為保證ROV在運動過程中擁有充足的前進(jìn)動力，應(yīng)使最大縱向力Kmax略大于最大橫向力Mmax。已知單個推進(jìn)器最大推力為170 N，推進(jìn)器可通過正反轉(zhuǎn)來改變推力方向，因此Kmax=680cosθ；Mmax=680sinθ,取最大縱向力Kmax與最大橫向力Mmax差值為60 N可得

Kmax-Mmax=680(cosθ-sinθ)=60

(8)

求得θ=2π/9。

在安裝角為2π/9的前提下，分析式(5)和式(6)發(fā)現(xiàn)4個水平推進(jìn)器所產(chǎn)生的綜合推力的大小和方向僅與每個推進(jìn)器的輸出推力及推進(jìn)器的安裝角度有關(guān)。將圖2中各推進(jìn)器推力的作用點平移至原點O，可知T1與T3共線，T2與T4共線。因此可以將式(1)和式(2)簡化為

K=T1-3cosθ-T2-4cosθ

(9)

M=T1-3sinθ+T2-4sinθ

(10)

式中：T1-3為推進(jìn)器1和推進(jìn)器3的推力差，T2-4為推進(jìn)器2和推進(jìn)器4的推力差。對式(5)、式(6)進(jìn)行求解可以得到以T1-3為橫軸、T2-4為縱軸的關(guān)于綜合推力大小和角度的圖像，將二者進(jìn)行疊加可以得到圖4。

圖4 綜合推力大小與角度對照

圖中的環(huán)形線條為推力大小的等高線，放射線條則為推力的方向。OX表示綜合推力的方向為0，與本體坐標(biāo)系的OX軸相同；OY表示綜合推力的方向為π/2，與本體坐標(biāo)系中的OY軸相同。分析圖4不難發(fā)現(xiàn)：只要能夠?qū)λ酵七M(jìn)器的推力進(jìn)行合理分配，就可以實現(xiàn)在-π～π內(nèi)得到任意大小的推力，能夠充分應(yīng)對在有效范圍內(nèi)的外力干擾。

2 水平推進(jìn)器的推力分配

該ROV在水平方向共對稱安裝了4個推進(jìn)器，4個推進(jìn)器安裝角均為40°，安裝距離D1=400 mm、D2=300 mm。水下機(jī)器人在平面上3個自由度的運動受4個水平推進(jìn)器的控制，針對某一特定的工作需求，都會存在多組推力分配方案。在此模型下利用兩種方案對推進(jìn)器進(jìn)行推力分配仿真。

2.1 直接邏輯的推力分配

2.1.1 直接邏輯的推力分配方法

根據(jù)推進(jìn)器的安裝角度及安裝距離的參數(shù)可得該推進(jìn)器的推力方程為

(11)

根據(jù)上式可知各推進(jìn)器的目標(biāo)推力為

(12)

2.1.2 直接邏輯的推力分配方法仿真

為驗證ROV的水平推進(jìn)器的推力可以根據(jù)外部力的影響而自動調(diào)節(jié)，不妨將ROV所受的外力分解為縱向、橫向、偏航三部分，對每一部分均以正余弦信號作為輸入，使其不斷生成隨時間變化的力，各部分力的具體大小如下式所示

Ko=300sin(0.2t)

(13)

Mo=240cos(0.2t)

(14)

No=30sin(0.2t)

(15)

式中：Ko、Mo、No分別為ROV在縱向、橫向以及偏航3個方向受到的力或力矩。

利用仿真軟件對直接邏輯的推力分配進(jìn)行仿真，觀察在一個變化周期內(nèi)ROV的實時輸出功率及各推進(jìn)器推力分配。通過仿真得到各推進(jìn)器的推力如圖5所示，ROV的實時輸出功率如圖6所示。

由圖5可知：推進(jìn)器1和推進(jìn)器2輸出的最大推力均達(dá)到了推進(jìn)器的極限推力170 N，且在一個周期內(nèi)有56%的時間在滿功率運轉(zhuǎn)；推進(jìn)器3輸出的最大推力也高達(dá)168 N；而推進(jìn)器4輸出的最大推力僅有101 N。直接邏輯的推力分配方法，存在著極大的分配不均現(xiàn)象，從而導(dǎo)致推進(jìn)器葉片磨損不均，進(jìn)而影響ROV的整體運動精度。分析圖6可知:ROV四個水平推進(jìn)器的實時綜合功率最大值為2 337 W，最小值為1 590 W。

圖5 直接邏輯推力分配結(jié)果 圖6 直接邏輯綜合輸出功率

2.2 功率歸一的推力分配

2.2.1 功率歸一的推力分配方法

上述推進(jìn)器推力分配方案會使其轉(zhuǎn)速過高，持續(xù)高功率輸出，嚴(yán)重影響電機(jī)的使用壽命。為了避免高消耗的分配方式，可以將4個推進(jìn)器的輸出推力轉(zhuǎn)化為推進(jìn)器的功率，將4個推進(jìn)器的輸出功率進(jìn)行匯總，以實現(xiàn)用較低的功率滿足使用要求，有效延長推進(jìn)器的使用壽命。

探討推進(jìn)器功率與輸出推力的關(guān)系，則需要知道推進(jìn)器的推力和轉(zhuǎn)矩。已知單個推進(jìn)器的推力、轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速、功率的關(guān)系為

Ti=KTρn2R4

(16)

Qi=KQρn2R5

(17)

Pi=2πRnQi

(18)

式中:Ti、Qi、Pi分別為單個推進(jìn)器的推力、轉(zhuǎn)矩和功率；ρ為工作環(huán)境的流體密度；n為推進(jìn)器轉(zhuǎn)速；R為推進(jìn)器螺旋槳直徑。

整理后可得功率與推力的關(guān)系式：

(19)

上式中n為變量，作進(jìn)一步整理得功率的限定條件為

(20)

2.2.2 功率歸一的推力分配方法仿真

將4個水平推進(jìn)器的輸出功率作為重要約束條件，目的是以最小的功率完成目標(biāo)任務(wù)。利用仿真軟件，基于SQP算法對ROV的4個水平推進(jìn)器的推力進(jìn)行仿真。按照式(13)(14)(15)的條件進(jìn)行力的輸入，式(20)作為求解目標(biāo)函數(shù)，因λ為常數(shù)，所以λ的大小不影響最終推力分配的結(jié)果。最終推力分配仿真結(jié)果如圖7所示，通過各推進(jìn)器推力曲線可知，推進(jìn)器1和推進(jìn)器2推力最大值均為155 N，最大推力下降了8.82%，推進(jìn)器3和推進(jìn)器4的推力最大值均為120 N，4個推進(jìn)器均未出現(xiàn)滿速運轉(zhuǎn)的情況。4個水平推進(jìn)器的工作情況相近，磨損程度相當(dāng)。

ROV的實時輸出功率如圖8所示，可得:ROV水平推進(jìn)器的實時輸出功率的最大值為1 940 W最小功率為1 580 W。

通過功率歸一的推力分配仿真與直接邏輯的推力分配仿真結(jié)果的對比，可知在相同的輸入條件下，進(jìn)行功率歸一以后的推進(jìn)器1、2、 3的最大推力均明顯降低，推力輸出曲線更加平滑，推力突變現(xiàn)象得到有效解決。同時經(jīng)功率歸一后的推進(jìn)器最大輸出功率較未進(jìn)行功率歸一的推進(jìn)器最大輸出功率降低了17.1%，最小輸出功率無明顯變化。

圖7 功率歸一推進(jìn)器推力分配結(jié)果 圖8 功率歸一綜合輸出功率

期望推力與實際推力的關(guān)系如圖9所示，圖9中Fi為期望得到的ROV四個水平推進(jìn)器輸出力的合力，F(xiàn)o為ROV四個水平推進(jìn)器實際輸出力的合力。通過Fo和Fi的對比曲線可以發(fā)現(xiàn)，二者的基本變化趨勢一致且數(shù)值相當(dāng)，證明了功率歸一方案的可行性。

圖9 期望輸出力和實際輸出力

3 結(jié)論

基于現(xiàn)有ROV的參數(shù)對其4個水平推進(jìn)器進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，分析目標(biāo)推力與4個水平推進(jìn)器之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并通過仿真軟件進(jìn)行了驗證，最終得出以下結(jié)論：

(1)構(gòu)建了ROV四個水平推進(jìn)器的輸出推力、安裝角、安裝位置與縱向力、橫向力、偏航力矩之間的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，確定了推進(jìn)器的安裝角為40°，并通過繪制綜合推力大小與角度對照圖證明了該方案的可行性，為進(jìn)行功率歸一的推力分配奠定基礎(chǔ)。

(2)以4個水平推進(jìn)器的綜合輸出功率最小作為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行推力分配仿真，對功率歸一和直接邏輯的推力分配方法仿真結(jié)果進(jìn)行對比，功率歸一方案的推進(jìn)器最大輸出功率有明顯減小，最大輸出功率減小17.1%。推進(jìn)器1、2、3的最大推力也顯著降低，其中推進(jìn)器1的最大推力降低8.82%。無論是從能耗以及保護(hù)設(shè)備、延長使用壽命的角度看，功率歸一的推力分配方法都比直接邏輯的推力分配方法有明顯優(yōu)勢，更利于ROV在水下的安全作業(yè)。