馬金茹，高文華，祁宇明

(1.北京電子科技職業(yè)學(xué)院汽車(chē)工程學(xué)院，北京 100176；2.天津科技大學(xué)，天津 300222;3.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)，天津 300222)

0 前言

近年來(lái)，機(jī)械手發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，也受到越來(lái)越多的關(guān)注。對(duì)機(jī)械手的控制性能要求也越來(lái)越高，機(jī)械手操作系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制特性受負(fù)載的變化影響比較大，進(jìn)而使得機(jī)械手控制系統(tǒng)特性嚴(yán)重下降。

國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者對(duì)機(jī)械手控制系統(tǒng)開(kāi)展了較多的研究，文獻(xiàn)[3]中利用自適應(yīng)協(xié)調(diào)控制方法開(kāi)發(fā)了一種用在線參數(shù)估計(jì)算法來(lái)增強(qiáng)的自適應(yīng)滑?？刂破鳎烙?jì)了機(jī)器人手臂的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等未知物理參數(shù)。文獻(xiàn)[4]中研究表明在擾動(dòng)是有界變差的假設(shè)下，基于觀測(cè)器控制的閉環(huán)系統(tǒng)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的，不確定性的影響只能衰減到一個(gè)特定的水平。文獻(xiàn)[5]中開(kāi)發(fā)出一種SMC方法，假設(shè)當(dāng)時(shí)間接近無(wú)窮大、擾動(dòng)導(dǎo)數(shù)為零的情況下，通過(guò)非線性觀測(cè)器處理具有非匹配不確定性的系統(tǒng)，這些觀測(cè)器只能用于慢時(shí)變擾動(dòng)，而該假設(shè)不適合工程實(shí)際。觀測(cè)器的增益矩陣是逼近未知不確定的一個(gè)重要設(shè)計(jì)參數(shù)。文獻(xiàn)[6]中提出了一種新的自適應(yīng)機(jī)制的觀測(cè)器增益矩陣的一般設(shè)計(jì)方法，但對(duì)于多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)不適用。王炯宇等提出一種基于模糊滑模的交叉耦合輪廓誤差控制方法，通過(guò)設(shè)計(jì)的模糊跟蹤控制器的仿真驗(yàn)證，表明了該方法能夠提升兩軸伺服系統(tǒng)輪廓的控制精度。王文娟、李俊針對(duì)軌跡跟蹤存在隨機(jī)干擾等問(wèn)題，在自適應(yīng)控制與滑?？刂频幕A(chǔ)上，利用徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了高精度控制律，消弱了滑模控制的抖振現(xiàn)象，通過(guò)仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制律的精確性。陳治提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑?？刂扑惴ǎ抡娼Y(jié)果表明該算法的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差小，具有較強(qiáng)的抗干擾能力，能有效解決路由數(shù)據(jù)傳輸隊(duì)列長(zhǎng)度的控制。鄭耿峰基于移動(dòng)機(jī)械臂自適應(yīng)模糊控制和滑?？刂品椒ǎ岢隽丝紤]未知?jiǎng)恿W(xué)模型不確定性干擾的控制模型，通過(guò)模糊控制來(lái)逼近系統(tǒng)以解決參數(shù)的不確定性，該模型有效補(bǔ)償了控制器對(duì)系統(tǒng)總體參數(shù)的不確定性問(wèn)題，提高了機(jī)械臂的軌跡跟蹤性能。邢艷榮等針對(duì)四輪全向移動(dòng)機(jī)器人提出了一種自適應(yīng)滑?？刂品椒ǎ琈ATLAB仿真表明:該方法能夠減小系統(tǒng)的抖振，較好地降低了參數(shù)變化、外部干擾對(duì)機(jī)器人軌跡跟蹤的影響。劉樹(shù)博等基于機(jī)器人多目標(biāo)擾動(dòng)觀測(cè)器不確定性問(wèn)題，提出一種滑模自適應(yīng)控制策略，采用設(shè)計(jì)多目標(biāo)擾動(dòng)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)擾動(dòng)的參數(shù)值，仿真結(jié)果表明:該算法能夠在給定信號(hào)的情況下，有效實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的軌跡跟蹤。

本文作者將進(jìn)一步探討在明確考慮未知外力的情況下，基于觀測(cè)器的機(jī)械手跟蹤軌跡控制策略，通過(guò)設(shè)計(jì)一種新的自適應(yīng)增益算法，提出一種自適應(yīng)機(jī)制的觀測(cè)器一般設(shè)計(jì)方法，在未知恒定負(fù)載的情況下，使觀測(cè)器狀態(tài)達(dá)到預(yù)計(jì)的平衡。該算法將非線性擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法擴(kuò)展至多輸入多輸出系統(tǒng)，且放寬了滑?？刂浦袛_動(dòng)的邊界假設(shè)，能夠有效減輕控制系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。

1 模型化方法

對(duì)于個(gè)自由度的剛性機(jī)械臂，其動(dòng)力學(xué)可以用拉格朗日-歐拉矢量方程來(lái)描述：

(1)

1.1 基本控制設(shè)計(jì)

跟蹤誤差由()=-表示，其中∈表示運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)中的參考軌跡。設(shè)計(jì)任務(wù)是建立機(jī)械手系統(tǒng)的控制律，使得在未知載荷存在時(shí)，跟蹤誤差()能夠?yàn)榱?。選取滑動(dòng)變量：

(2)

其中：是對(duì)角矩陣。將方程(2)代入方程(1)得到：

(3)

(4)

(5)

則基本的滑?？刂坡煽梢杂上率酵茖?dǎo)出：

(6)

(7)

為減少抖振，采用連續(xù)逼近(+)的方法代替signum函數(shù)，其中為較小的正常數(shù)，越小，逼近性能越好。為了消除抖振，用飽和函數(shù)sat()代替signum函數(shù)，然而這個(gè)方法的缺點(diǎn)在于原有的魯棒性和控制性能會(huì)下降，如降低跟蹤位置精度和增加穩(wěn)態(tài)誤差。另外，由于目標(biāo)完全未知，不確定度的上界很難得到。當(dāng)界限沒(méi)有完全確定時(shí)，方程(6)中的增益需要選得足夠大，較大的增益將導(dǎo)致劇烈的抖動(dòng)。

1.2 非線性觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

在這一小節(jié)中，基于文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)關(guān)于動(dòng)態(tài)方程(1)的自適應(yīng)非線性擾動(dòng)觀測(cè)器(ANDO)：

(8)

將估計(jì)誤差定義為

(9)

根據(jù)式(9)，可以得出：

(10)

將方程(1)和(8)代入上述方程，得到

(11)

(12)

可以看出，估計(jì)誤差受下式影響：

(13)

引理1:在上述假設(shè)成立的基礎(chǔ)上，如果選擇觀測(cè)器增益()，使估計(jì)誤差系統(tǒng)公式(13)為輸入狀態(tài)局部穩(wěn)定，那么式(14)是漸近穩(wěn)定的。

(14)

1.3 自適應(yīng)觀測(cè)器增益的設(shè)計(jì)

引理3:令為Re[()]<0的常數(shù)矩陣，那么下式的結(jié)論都是漸近穩(wěn)定：

(15)

如果()在區(qū)間[0,∞)上是連續(xù)的矩陣函數(shù)，則式(16)為常量

(),?≥0

(16)

式中:>0，<0。

證明：如果把方程(15)乘以積分因子et，并且從0到進(jìn)行積分，得到

(17)

由于Re[()]<0，存在常量<0，>0,使得et≤e，≥0。利用此估計(jì)在等式(17)中得出：

(18)

應(yīng)用Gronwall不等式，得到

(19)

對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，可以得到

(20)

(21)

對(duì)于常數(shù)，有()≤e，當(dāng)為負(fù)時(shí)，可以得出，當(dāng)→∞，()→0。即完成了引理2的證明。

方程(8)中觀測(cè)器增益()的設(shè)計(jì)可以用定理1來(lái)描述。

定理1：如果方程(8)中的觀測(cè)器增益()由下列等式控制，則方程(14)是漸近穩(wěn)定的。

(22)

其中：和是正常量；是階單位矩陣。

證明：令()表示方程()=η的理論解，從而

()=η

(23)

(24)

可以直接從式(22)得到：

(25)

利用公式(22)—(25)可以得到：

(26)

則有：

(27)

(28)

其中‖·‖是Frobenius范數(shù)，則有

(29)

(30)

()=η+e-

(31)

其中：=(0)(0)-η。

由于()全局指數(shù)收斂到η，()收斂為η的剩余集。根據(jù)引理3，方程(14)是漸近穩(wěn)定的，即完成了定理1的證明。利用定理1的結(jié)果，由引理1導(dǎo)出了估計(jì)誤差系統(tǒng)方程(13)為輸入狀態(tài)穩(wěn)定的。

圖1 自適應(yīng)擾動(dòng)觀測(cè)器增益結(jié)構(gòu)圖

值得注意的是，項(xiàng)可被包括在方程(1)中的，而集中擾動(dòng)不滿(mǎn)足其導(dǎo)數(shù)為定常穩(wěn)態(tài)值的假設(shè)：

(32)

即估計(jì)誤差不能被逼近到期望的平衡點(diǎn)，對(duì)估計(jì)誤差的影響將在后面的模擬比較中進(jìn)行研究。

2 基于自適應(yīng)非線性觀測(cè)器的滑模設(shè)計(jì)

利用擾動(dòng)的估計(jì)，可以得到定理2中給出的結(jié)果。

定理2：假設(shè)系統(tǒng)方程(1)滿(mǎn)足假設(shè)2和3，根據(jù)自適應(yīng)觀測(cè)器增益方程(22)，考慮滑動(dòng)變量方程(2)和非線性擾動(dòng)觀測(cè)器方程(8)，通過(guò)下式所示控制律將機(jī)器人系統(tǒng)的狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到滑模面()=0上：

(33)

其中：>。

證明：考慮到Lyapunov函數(shù)

=1/2()

(34)

根據(jù)方程(1)的軌跡取導(dǎo)數(shù)，得到

(35)

(36)

將等式(4)和(33)代入等式(36)得到

(37)

3 仿真實(shí)例與比較

3.1 自適應(yīng)非線性擾動(dòng)觀測(cè)器的性能

在這一小節(jié)中，分析雙連桿機(jī)械手的質(zhì)量發(fā)生突變時(shí)，所提觀測(cè)器(方程(8))的性能特性。假設(shè)機(jī)械手的未知質(zhì)量為圖2和圖3所示的形式，觀測(cè)器所需參數(shù)為=10、=5，參考軌跡由=sin(2)給出。

方程(1)中描述的雙連桿機(jī)械手模型如下所示:

()=

(38)

(39)

(40)

未知質(zhì)量是=[]∈,=。根據(jù)參考文獻(xiàn)[14]的研究，線性回歸矩陣和可以寫(xiě)成：

(41)

(42)

機(jī)械手系統(tǒng)參數(shù)如下：=0.4 m，=0.3 m，重力加速度取=9.81 m/s。質(zhì)量標(biāo)稱(chēng)值為=2.2 kg，=1.6 kg。

圖2 未知質(zhì)量Δm1和估計(jì)質(zhì)量 圖3 未知質(zhì)量Δm2和估計(jì)質(zhì)量

自適應(yīng)非線性擾動(dòng)觀測(cè)器的性能如圖2和3所示，可以看出即使質(zhì)量在某些點(diǎn)上發(fā)生突變，自適應(yīng)非線性擾動(dòng)觀測(cè)器的輸出也能及時(shí)收斂到實(shí)際未知質(zhì)量和。從這些結(jié)果來(lái)看，所提出的自適應(yīng)非線性擾動(dòng)觀測(cè)器提供了對(duì)不確定質(zhì)量變化的有效估計(jì)，如圖4所示。

圖4 未知質(zhì)量的估計(jì)誤差

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證所提出的基于觀測(cè)器的滑模控制方法，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。對(duì)于所考慮的單連桿剛性機(jī)械臂，其動(dòng)力學(xué)可以用下式描述;

(43)

其中：∈是關(guān)節(jié)角；單連桿機(jī)械臂的參數(shù)為：負(fù)載臂長(zhǎng)度=18.6 cm，負(fù)載臂質(zhì)量=0.225 kg，負(fù)載質(zhì)量=0.298 kg，重力加速度=9.8 m/s。對(duì)于所提出的控制律，通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)來(lái)選擇參數(shù)，直到獲得更好的跟蹤性能。在模擬中，式(8)中控制參數(shù)和觀測(cè)器參數(shù)=035、=6和=2。在末端效應(yīng)器處施加未知質(zhì)量∈。

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示：伺服基礎(chǔ)單元是齒輪伺服機(jī)構(gòu)系統(tǒng)；負(fù)載軸的位置可以使用高分辨率編碼器進(jìn)行測(cè)量；轉(zhuǎn)速表可以測(cè)量馬達(dá)的速度；傳感器直接連接到數(shù)據(jù)采集板，并提供控制連桿所需的位置反饋；數(shù)據(jù)采集板輸出一個(gè)控制電壓，用于放大并驅(qū)動(dòng)電機(jī)。

圖5 實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)

這里未知有效載荷=0.15 kg，在模擬中被視為未知項(xiàng)。參考軌跡分別由=sin和=sin(2)給出。首先根據(jù)圖6和圖7中的等式(8)和(22)分析所提出的非線性觀測(cè)器的性能，可以看出估計(jì)誤差最終為0.003。即在此研究中所提出的自適應(yīng)非線性擾動(dòng)觀測(cè)器，通過(guò)未知質(zhì)量的估計(jì)來(lái)代替不確定性，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)非線性觀測(cè)器是有效的。

圖6 r1=sint下未知載荷的估計(jì)偏差

圖7 r2=sin(2t)下未知載荷的估計(jì)偏差

圖8描述了等式(33)中基于觀測(cè)器的滑?？刂葡挛粗獞T性矩的位置跟蹤，該控制器使位置跟蹤誤差為零?；谟^測(cè)器的滑?？刂茷闄C(jī)械手系統(tǒng)產(chǎn)生的有界控制力矩如圖9所示，可以明顯看出基于觀測(cè)器的滑?？刂圃诨Ｃ娓浇泻苄〉亩秳?dòng)。這種情況的原因是該觀測(cè)器提供了適當(dāng)?shù)目刂圃鲆?，以確保跟蹤誤差趨于零誤差。因此，抖振問(wèn)題得到了有效的緩解。

圖8 自適應(yīng)擾動(dòng)觀測(cè)器下的響應(yīng)曲線

圖9 自適應(yīng)擾動(dòng)觀測(cè)器下控制輸入的響應(yīng)曲線

綜上所述，所提出的控制方案具有良好的跟蹤性能，適用于快速變化的參考。在觀測(cè)器和滑?？刂破骱侠碓O(shè)計(jì)的情況下，可以抑制干擾帶來(lái)的不利影響。

3.3 實(shí)驗(yàn)分析

為了進(jìn)行比較，根據(jù)方程式(43)分析了參考文獻(xiàn)[15]提出的非線性擾動(dòng)觀測(cè)器的性能，可以得到以下方程：

(44)

其中，集中不確定性=，負(fù)載臂長(zhǎng)度=19.8 cm。根據(jù)參考文獻(xiàn)[15]，對(duì)于動(dòng)力學(xué)方程(44)，相應(yīng)的觀測(cè)器重構(gòu)如下：

(45)

為了研究觀測(cè)器方程(41)對(duì)不同頻率擾動(dòng)的精確估計(jì)問(wèn)題，用下列被測(cè)擾動(dòng)代替方程(44)中的不確定度。

情況1：=sin(02)

情況2：=sin(06)

情況3：=sin

情況4：=sin(2)

最大估計(jì)誤差的變化規(guī)律如圖10所示，是擾動(dòng)的估計(jì)誤差，可以看出:最大估計(jì)誤差隨干擾頻率的變化而變化，估計(jì)精度主要取決于干擾頻率，擾動(dòng)的頻率主要是由這種變化引起的。與參考文獻(xiàn)[15]相比，所提觀測(cè)器在這方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

圖10 非線性擾動(dòng)觀測(cè)器估計(jì)誤差的比較

對(duì)于基本滑?？刂坡蓙?lái)說(shuō)，一般通過(guò)試錯(cuò)法選擇控制器參數(shù)，直到獲得更好的跟蹤性能。為了評(píng)價(jià)控制器的性能，跟蹤誤差平方積分()和控制力矩平方積分()等指標(biāo)考慮如下：

(46)

所有情況下均選擇=30 s，表1為控制器的性能指標(biāo)，圖11為基本滑?？刂坡煽刂戚斎氲捻憫?yīng)曲線，可以看出由于開(kāi)關(guān)增益較大，控制器產(chǎn)生了較大的抖動(dòng)。此外，性能指標(biāo)僅在0.001 3～0.003 5之間變化，而性能指標(biāo)從671.190 7 N·m下降到582.435 6 N·m。結(jié)果表明：這兩種方法在控制效率方面取得了相似的效果；存在未知有效載荷的情況下，通過(guò)自適應(yīng)非線性擾動(dòng)觀測(cè)器估計(jì)擾動(dòng)，可以有效地減少抖振的出現(xiàn)。

表1 控制器的性能指標(biāo)

圖11 基本滑?？刂坡上驴刂戚斎氲捻憫?yīng)曲線

4 結(jié)論

針對(duì)機(jī)械手目標(biāo)捕獲等操作任務(wù)，提出了一種基于觀測(cè)器的滑?？刂啤榱颂岣呦到y(tǒng)性能，設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)非線性觀測(cè)器，用于逼近機(jī)械手的未知載荷引起的不確定性，建立了魯棒觀測(cè)器增益矩陣的一般設(shè)計(jì)方法，并將基于觀測(cè)器的滑?？刂频倪m用范圍擴(kuò)展到一些工程問(wèn)題。該觀測(cè)器克服了現(xiàn)有非線性擾動(dòng)觀測(cè)器的一些限制。對(duì)于未知載荷的機(jī)械手，將滑?？刂婆c觀測(cè)器相結(jié)合，得到了漸近穩(wěn)定結(jié)果。最后，通過(guò)兩個(gè)算例驗(yàn)證了所提出的自適應(yīng)非線性觀測(cè)器和基于觀測(cè)器的滑模控制方法的有效性。仿真結(jié)果表明：所提出的基于觀測(cè)器的滑模控制方法是有效的。