黃洪猛，張?jiān)?/p>

（1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070；2.西北民族大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730030）

箱形截面由于抗彎抗扭性能良好被廣泛應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)中，而腹板間距較大的箱形梁，對稱彎曲時變形不服從平截面假定，存在剪力滯效應(yīng).剪力滯效應(yīng)是箱梁翼板出現(xiàn)橫向裂縫的主要原因之一，不容忽視［1］.目前，基于最小勢能原理的能量變分法是分析薄壁箱梁剪力滯最常用的解析法，而采用該方法的前提是確定能合理描述剪力滯變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù).

Reissner［2］假定翼板縱向翹曲位移在橫截面上符合二次拋物線的分布規(guī)律，首次運(yùn)用能量變分法推導(dǎo)了矩形箱梁剪力滯控制微分方程并得到了其解析解.郭金瓊等［3］認(rèn)為橫截面上的縱向位移差沿橫向按三次拋物線分布，比較符合有限元分析和模型測驗(yàn)結(jié)果.Zhang等［4］從翼板面內(nèi)剪切變形和彎曲剪流的分布規(guī)律上證明了二次拋物線翹曲位移模式分析剪力滯是合理的.許多學(xué)者對剪力滯翹曲位移函數(shù)的選取產(chǎn)生了爭議，并進(jìn)行了相關(guān)探討和研究，提出了二次［2，4-7］、三次［3，8-10］、四次［10-11］、五次［10］拋物線、余弦曲線［12-14］、橢圓曲線及懸鏈線［10］、抽象函數(shù)［15］等多種形式的翹曲位移函數(shù).目前對翹曲位移函數(shù)的選取仍然較為混亂.為了提高剪力滯效應(yīng)分析的精確度，應(yīng)用過程中對翹曲位移函數(shù)不斷改進(jìn)和修正，例如：He等［7］在剪力滯分析時引入腹板縱向位移實(shí)現(xiàn)軸向平衡的條件；錢寅泉等［12］以余弦曲線作為翹曲位移函數(shù)并考慮軸力平衡條件，在翹曲位移函數(shù)上附加全截面均勻位移；文獻(xiàn)［4-5，8，12-14］對懸板和底板寬度、底板相對位置進(jìn)行了修正，文獻(xiàn)［4-5，12-14］選取板寬平方比為板寬修正系數(shù)，而文獻(xiàn)［8］將面積比作為板寬修正系數(shù)；當(dāng)懸板板寬與內(nèi)側(cè)頂板半寬相等時板寬修正系數(shù)消失，因此張?jiān)５龋?6］通過試算的方法對懸板引入邊界約束修正系數(shù).此外，進(jìn)行剪力滯效應(yīng)分析時普遍的方法都是將剪切變形差函數(shù)作為翹曲廣義位移，其物理意義不明確，而楊綠峰等［17］提出將剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度作為縱向翹曲廣義位移，其物理意義更加明確.總之，目前還沒有用于剪力滯效應(yīng)分析的統(tǒng)一的翹曲位移函數(shù)表達(dá)式.

本文選取二次～五次拋物線、余弦曲線、懸鏈線等形式的翹曲位移函數(shù)，并引入板寬平方比、相對位置、懸板邊界約束等系數(shù)對其修正.選用剪力滯引起的附加撓度并考慮翹曲應(yīng)力需滿足的自平衡條件來描述縱向翹曲位移，應(yīng)用能量變分法建立剪力滯控制微分方程并求得附加撓度和翹曲應(yīng)力解析解.通過算例分析剪力滯效應(yīng)差異，為找出合理的用于剪力滯效應(yīng)分析的翹曲位移函數(shù)提供參考.

1 剪力滯翹曲變形及應(yīng)力

作用豎向任意分布荷載q（x）的箱梁如圖1所示．坐標(biāo)原點(diǎn)O位于截面形心處，y軸和z軸為橫截面形心主軸；b為頂板半寬；α和β分別為懸板寬、底板半寬與頂板半寬的比值；h為頂、底板中面間的距離；zs和zx分別為y軸至頂、底板中面的距離；γ為zx與zs的比值．以剪力滯引起的附加撓度來描述縱向翹曲位移，能把剪力滯翹曲變形與初等梁彎曲變形分離開來．橫截面上任意一點(diǎn)的縱向位移u（x，y，z）可表達(dá)為［16］

圖1 梯形箱梁Fig．1 Trapezoidal box girder

式中：uo（x，y，z）和uω（x，y，z）分別為橫截面任意一點(diǎn)的初等梁縱向位移和縱向翹曲位移；w（x）為初等梁撓度；-w′（x）為初等梁撓曲轉(zhuǎn)角；f（x）為剪力滯引起的附加撓度；-f′（x）為剪力滯引起的附加撓曲轉(zhuǎn)角；ω（y，z）為剪力滯翹曲廣義位移函數(shù)；ωζ（y，z）為箱梁各板的剪力滯翹曲位移函數(shù)；η和d為剪力滯翹曲應(yīng)力不合成彎矩和軸力的自平衡修正系數(shù)．

由式（1）箱梁橫截面上任意一點(diǎn)的縱向位移可得橫截面上的應(yīng)力為

式中：σo和σω分別為初等梁彎曲應(yīng)力和剪力滯翹曲應(yīng)力，分別表達(dá)為

由式（1）和式（2）可以看出，引入剪力滯引起的附加撓度后，可將變形狀態(tài)分解為初等梁彎曲變形和剪力滯翹曲變形，同時將總應(yīng)力分解為初等梁彎曲應(yīng)力和剪力滯翹曲應(yīng)力，物理意義更加明晰，便于工程技術(shù)人員理解和應(yīng)用.

與式（4）中剪力滯翹曲應(yīng)力σω相對應(yīng)的廣義力矩Mω定義為

式中：Iω稱為剪力滯廣義翹曲慣性矩，Iω=∫A［z-

由式（4）和式（5），翹曲應(yīng)力σω又可以表達(dá)為

箱梁截面的翹曲應(yīng)力需滿足自平衡條件，即在箱梁橫截面上不合成軸力和彎矩，則：

考慮y軸為形心主軸，將式（4）分別代入式（7）和式（8），可得

2 控制微分方程及其初參數(shù)解

綜合薄壁箱梁的初等梁應(yīng)變能、剪力滯翹曲應(yīng)變能及外力勢能，根據(jù)彈性力學(xué)的應(yīng)變能計(jì)算公式，作用豎向分布荷載q（x）的箱梁的總勢能表達(dá)為

式中：k為Reissner參數(shù)

根據(jù)式（12）可以求出剪力滯附加撓度表達(dá)式為

式中：C1～C4為積分常數(shù)，可由梁端邊界條件確定；f*是與豎向分布荷載q（x）有關(guān)的特解．

求解積分常數(shù)的梁端邊界條件為［5］

固定端：f=0，f′=0；

簡支端：f=0，f″=0；

自由端：f″=0，f?-k2f′=0．

為簡化描述不同梁端支承的箱梁，文中用J-J箱梁、G-G箱梁、G-J箱梁、J-G箱梁分別表示兩端簡支、兩端固定、左端固定右端簡支、右端固定左端簡支的箱梁.不同梁端支承箱梁承受的荷載如圖2所示，采用初參數(shù)法［4］可導(dǎo)出圖2中各箱梁的附加撓度計(jì)算公式.計(jì)算公式中：對于分別承受均布荷載q和集中荷載P的箱梁，其附加撓度分別用fq、fP表示；承受集中荷載的箱梁，其附加撓度計(jì)算公式中帶有符號‖a的項(xiàng)表示x＞a時考慮此項(xiàng).

對于圖2（a）J-J箱梁，其附加撓度計(jì)算公式為

對于圖2（b）G-G箱梁，其附加撓度計(jì)算公式為

圖2 不同梁端支承箱梁的荷載Fig．2 Load of different supported box girders

對于圖2（c）G-J箱梁，其附加撓度計(jì)算公式為

對于圖2（d）J-G箱梁，其附加撓度計(jì)算公式為

兩跨連續(xù)箱梁可以分離出單跨J-G箱梁和單跨G-J箱梁計(jì)算，分離情況如圖3所示.計(jì)算出了單跨箱梁的附加撓度，即得到連續(xù)箱梁的附加撓度.采用同樣的方法，三跨連續(xù)箱梁可以分離出單跨J-G箱梁、G-G箱梁和G-J箱梁計(jì)算.

圖3 兩跨連續(xù)箱梁分離計(jì)算圖Fig．3 Separate calculation of two-span continuous box girder

3 翹曲位移函數(shù)及幾何特性求解

本文選取二次～五次拋物線、余弦曲線、懸鏈線等不同形式的翹曲位移函數(shù)，并對其引入板寬平方比、相對位置、懸板邊界約束等修正系數(shù).

拋物線型翹曲位移函數(shù)ωζ可表達(dá)如下（n分別取值為2、3、4、5）：

余弦曲線型翹曲位移函數(shù)ωζ為

懸鏈線型翹曲位移函數(shù)ωζ為（參照文獻(xiàn)［10］

式（22）～式（24）中各參數(shù)的意義見圖1，ξ為懸板邊界約束修正系數(shù)，其值可取為1．4［13，16］．將式（22）～式（24）分別代入式（9），可得

根據(jù)Iζ、Izζ、Aζ的積分表達(dá)式，可得

式中：A、At、Ac、Ab分別為箱梁的總橫截面積、頂板截面積、兩側(cè)懸板截面積、底板截面積；K1～K4為幾何特性系數(shù)．

不同翹曲位移函數(shù)的幾何特性系數(shù)計(jì)算結(jié)果如表1所列.由表1可以看出幾何特性系數(shù)K1～K4隨拋物線次數(shù)增大而增大，二次拋物線、余弦曲線和懸鏈線的幾何特性系數(shù)較為接近.

表1 幾何特性系數(shù)Tab．1 Coefficients of geometric properties

4 算例分析及對比

選取簡支箱梁和兩跨連續(xù)箱梁等不同梁端支承的薄壁箱梁為算例，從截面應(yīng)力和撓度兩方面，分析不同翹曲位移函數(shù)對剪力滯效應(yīng)的影響.

為描述按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的截面應(yīng)力與有限元解的總體吻合程度，引入均方根誤差Re，Re越小表示截面應(yīng)力與有限元解的總體吻合越好.有限元解是用ANSYS軟件建立箱梁空間有限元模型求得，各板件用SHELL63殼單元模擬，腹板與頂?shù)装彘g共節(jié)點(diǎn)連接，在支承處施加相應(yīng)邊界約束.

式中：σi為i點(diǎn)應(yīng)力解析解；σAi為與i點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力ANSYS解；N為計(jì)算點(diǎn)數(shù)，算例中在頂板半寬、懸板、底板半寬按10 mm間距均勻選取計(jì)算點(diǎn)．

4.1 算例1：簡支箱梁

有機(jī)玻璃制作的簡支箱梁模型［9］如圖4所示，材料彈性模量E=3.0 GPa，泊松比μ=0.385.在跨中截面的頂板與腹板交接處作用總值P=272.2 N的對稱集中荷載.采用ANSYS軟件建立的簡支箱梁有限元分析模型如圖5所示，共劃分3 362個節(jié)點(diǎn)，3 280個單元，在梁端底板節(jié)點(diǎn)施加約束，一端約束平動位移Ux、Uy、Uz和轉(zhuǎn)角位移Rx、Rz，另一端約束平動位移Uy、Uz和轉(zhuǎn)角位移Rx、Rz.

圖4 簡支箱梁（單位：mm）Fig．4 Simply supported box girder（unit：mm）

圖5 簡支箱梁有限元模型Fig．5 Finite element model of simply supported box girder

箱形梁各板件總應(yīng)力為初等梁彎曲應(yīng)力和剪力滯翹曲應(yīng)力的疊加，由于剪力滯效應(yīng)的影響，頂?shù)装鍛?yīng)力在橫截面上分布不均勻，腹板與頂?shù)装逑嘟惶幊霈F(xiàn)峰值應(yīng)力.簡支箱梁跨中截面頂?shù)装宸逯祽?yīng)力及各板件應(yīng)力總體誤差分析結(jié)果如表2所列.由表2可以看出：按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的頂?shù)装宸逯祽?yīng)力均與ANSYS解吻合良好，頂?shù)装宸逯祽?yīng)力與ANSYS解的偏差在-1.55%～7.49%（偏差是由不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的解析解與ANSYS解的差除以ANSYS解絕對值得出，表征解析解與ANSYS解的偏離程度）；頂板按二次拋物線計(jì)算的均方根誤差最小，而底板按五次拋物線計(jì)算的最小，亦即此時與ANSYS解總體吻合最好，且頂板按二次拋物線、余弦曲線、懸鏈線計(jì)算的均方根誤差很接近.

表2 跨中截面應(yīng)力結(jié)果及誤差分析Tab．2 Stresses and error analysis at mid-span cross section kPa

不同翹曲位移函數(shù)對撓度有一定的影響，簡支箱梁的剪力滯附加撓度曲線如圖6所示，跨中截面撓度結(jié)果如表3所列.由圖6和表3可以看出：按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的附加撓度差異明顯，按五次拋物線計(jì)算的附加撓度最小，懸鏈線的最大且與二次拋物線的數(shù)值極為接近，最大值與最小值的比值為1.28；附加撓度約占初等梁撓度的10%，雖然附加撓度差異明顯，計(jì)入初等梁撓度后的總撓度差異很小，總撓度最大值與最小值的偏差僅為2.26%.

圖6 簡支箱梁剪力滯附加撓度曲線Fig．6 Additional deflection curves for shear lag of simply supported box girder

表3 跨中截面撓度Tab．3 Deflection at mid-span cross section 10-3 mm

4.2 算例2：兩跨連續(xù)箱梁

有機(jī)玻璃制作的兩跨連續(xù)箱梁模型［9］如圖7所示，材料彈性模量E=2.8 GPa，泊松比μ=0.37.在跨中截面的頂板與腹板交接處作用總值P=20 N的對稱集中荷載.采用ANSYS軟件建立的兩跨連續(xù)箱梁有限元分析模型如圖8所示，共劃分個5 346節(jié)點(diǎn)，5 280個單元，在底板節(jié)點(diǎn)施加約束，兩側(cè)梁端約束平動位移Uy、Uz和轉(zhuǎn)角位移Rx、Rz，中支承處約束平動位移Ux、Uy、Uz和轉(zhuǎn)角位移Rx、Rz.

圖7 兩跨連續(xù)箱梁（單位：mm）Fig．7 Two-span continuous box girder（unit：mm）

圖8 連續(xù)箱梁有限元模型Fig．8 Finite element model of continuous box girder

兩跨連續(xù)箱梁跨中截面和中支承截面的頂?shù)装宸逯祽?yīng)力及各板件應(yīng)力總體誤差分析結(jié)果如表4～5所列.由表4和表5可以看出：按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的跨中截面和中支承截面頂?shù)装宸逯祽?yīng)力均與ANSYS解吻合良好，跨中截面頂?shù)装宸逯祽?yīng)力與ANSYS解的偏差為-2.39%～7.83%，中支承截面的偏差為-3.04%～4.01%；由均方根誤差的結(jié)果可以看出，跨中截面的頂板按二次拋物線、底板按五次拋物線計(jì)算的應(yīng)力與ANSYS解總體吻合最好，中支承截面的頂板按余弦曲線、底板按三次拋物線計(jì)算的應(yīng)力與ANSYS解的總體吻合最好，頂板按二次拋物線、余弦曲線、懸鏈線計(jì)算的均方根誤差很接近.

表4 跨中截面應(yīng)力結(jié)果及誤差分析Tab．4 Stresses and error analysis at mid-span cross section kPa

表5 中支承截面應(yīng)力結(jié)果及誤差分析Tab．5 Stresses and error analysis at mid-supported cross section kPa

兩跨連續(xù)箱梁的剪力滯附加撓度曲線如圖9所示，跨中截面撓度結(jié)果如表6所列.由圖9和表6可以看出：按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的附加撓度差異明顯，按五次拋物線計(jì)算的附加撓度最小，懸鏈線的最大且與二次拋物線的數(shù)值極為接近，最大值與最小值的比值為1.26；附加撓度占初等梁撓度的12.38%～15.64%，雖然附加撓度差異明顯，計(jì)入初等梁撓度后的總撓度差異很小，總撓度最大值與最小值的偏差僅為2.94%.

圖9 連續(xù)箱梁剪力滯附加撓度曲線Fig．9 Additional deflection curves for shear lag continuous box girder

表6 跨中截面撓度Tab．6 Deflection at mid-span cross section 10-3 mm

5 結(jié)論

1）本文選取不同形式的翹曲位移函數(shù)，并考慮板寬平方比、相對位置、懸板邊界約束等多參數(shù)修正，同時引入翹曲應(yīng)力需滿足的自平衡條件，以提高箱梁截面應(yīng)力的計(jì)算精度.不同梁端支承的箱梁算例表明，按多參數(shù)修正的不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的頂?shù)装宸逯祽?yīng)力均與有限元解吻合良好.

2）均方根誤差能夠表征按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的應(yīng)力與有限元解的總體吻合程度，根據(jù)箱梁算例的均方根誤差結(jié)果，頂板（含懸板）應(yīng)力解析解建議采用二次拋物線、懸鏈線或余弦曲線計(jì)算，跨中截面和中支承截面的底板應(yīng)力解析解建議分別采用五次拋物線、三次拋物線計(jì)算.

3）以剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度作為翹曲廣義位移能夠?qū)⒓袅冃畏蛛x出來.剪力滯效應(yīng)使跨中撓度增大，工程中不容忽視.按不同翹曲位移函數(shù)計(jì)算的附加撓度差異明顯，最大值與最小值的比值達(dá)到1.28，但計(jì)入初等梁撓度后的總撓度差異卻很小，總撓度最大值與最小值的偏差僅為2.94%.