李莉，陳曉靜，徐智超

(大連科技學(xué)院電氣工程學(xué)院，遼寧大連116052)

0 前言

在控制領(lǐng)域中，線性最佳控制的分數(shù)階控制器在各個行業(yè)應(yīng)用廣泛，其設(shè)計可按照被控制對象模型展開，操作簡捷，實用性強。目前，分數(shù)階控制器種類繁多，如余艷偉和徐鵬飛設(shè)計的基于內(nèi)?？刂频姆謹?shù)階控制器，該控制器參數(shù)按照最高靈敏度數(shù)值設(shè)定，選擇參數(shù)具有盲目性，其控制準確度較差；魏立新等設(shè)計了基于粒子群算法的液壓APC系統(tǒng)分數(shù)階PID控制器，該控制器主要應(yīng)用在高冷液壓系統(tǒng)，應(yīng)用范圍小，并且使用粒子群算法，迭代次數(shù)多，運算用時長，導(dǎo)致控制效果較差。針對目前控制器存在的一系列問題，本文作者基于改進模糊控制算法設(shè)計分數(shù)階控制器，采用區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與改進的徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法實現(xiàn)控制。區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)可對數(shù)據(jù)集合解模糊化，實現(xiàn)降階處理。改進的RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法可將前件網(wǎng)絡(luò)由三層增加至四層，具有減少模糊規(guī)則層節(jié)點數(shù)量、降低冗余模糊規(guī)則、提升學(xué)習(xí)速度等優(yōu)勢。使用區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與改進的RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，可實現(xiàn)控制器多方面需求，實際應(yīng)用意義較大。

1 改進模糊控制算法的分數(shù)階控制器設(shè)計

1.1 區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

與一型模糊邏輯系統(tǒng)相比，二型模糊邏輯系統(tǒng)具備降階流程，可將二型模糊集合轉(zhuǎn)化為一型模糊集合，對該集合實施解模糊化，實現(xiàn)二型模糊邏輯系統(tǒng)的降階。圖1所示為二型模糊邏輯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

圖1 二型模糊邏輯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

根據(jù)圖1所示的二型模糊邏輯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，利用KM(Krasnoselskii-Mann)降階算法對區(qū)間二型模糊集合進行降階處理。假設(shè)實數(shù)區(qū)間[,]，則、端點可由以下公式表示：

(1)

(2)

(3)

(4)

降階后的區(qū)間二型模糊集合為

(5)

1.2 分數(shù)階區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)

根據(jù)公式(5)得到的降階后的區(qū)間二型模糊集合，利用分數(shù)階算子構(gòu)建分數(shù)階區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)。Riemann-Liouville可定義分數(shù)階微積分，由公式(6)表示：

(6)

其中：(·)為伽馬函數(shù)；為整數(shù)，≥>-1。

用Grunwald-Letnikov定義分數(shù)階微積分流程如下：

(7)

(8)

其中：-為收斂因子。

設(shè)置初值為0，則有：

(9)

分數(shù)階PID控制器時域可由公式(10)計算：

(10)

其中:()為時域函數(shù)輸出量；()為時域函數(shù)輸入量；為比例增益；為積分增益；為微分增益；分數(shù)階PID的傳遞函數(shù)經(jīng)過拉普拉斯轉(zhuǎn)換可由公式(11)表示：

()=++

(11)

其中:>0，>0。

1.3 改進的RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與算法

在設(shè)計區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，為避免模糊規(guī)則層節(jié)點數(shù)量較多導(dǎo)致其控制精度和控制靈敏度較低的問題，使用改進的RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對其進行優(yōu)化設(shè)計。具體過程：將RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前件網(wǎng)絡(luò)由三層變更為四層，后件網(wǎng)絡(luò)中使用權(quán)值的二階學(xué)習(xí)，以減少模糊規(guī)則層節(jié)點數(shù)量，提升權(quán)值作用。改進后的RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 改進后的RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)結(jié)構(gòu)

根據(jù)圖2所示的改進后的RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，分別從前件網(wǎng)絡(luò)、后件網(wǎng)絡(luò)、修正參數(shù)3個方面優(yōu)化分數(shù)階控制器。

1.3.1 前件網(wǎng)絡(luò)

(1)輸入層。用連接輸入層每個結(jié)點之間和輸入向量的分量，可傳輸輸入值=[,,…,]至下一層，輸入變量數(shù)量即為結(jié)點數(shù)量=。

(12)

其中:=1,2,…,。

(13)

(14)

其中：表示隸屬函數(shù)中心;表示隸屬函數(shù)寬度，其結(jié)點總數(shù)為

(15)

(3)模糊推理層可計算各個規(guī)則的適合度，一個模糊規(guī)則表示一個結(jié)點，可用該規(guī)則匹配模糊規(guī)則前件，其公式如下：

(16)

1.3.2 后件網(wǎng)絡(luò)

(1)輸入層可將輸入變量傳輸至第二層，其公式為

=

(17)

(2)中間層通過計算任一規(guī)則后件，在個結(jié)點中，每條規(guī)則都由一個結(jié)點表示，則有：

(18)

其中:=1,2,…,。

(3)輸出層可計算二型模糊邏輯系統(tǒng)的輸出，其公式為

(19)

1.3.3 修正參數(shù)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

其中:=1,2,…,;=1,2，…，;=1,2,…,；表示學(xué)習(xí)率，>0。

為進一步提升控制器的靈敏度，將權(quán)值的平方運用于后件網(wǎng)絡(luò)多項式運算中，則：

(26)

其中:=1,2,…,。

那么修正后的如下：

(27)

至此,實現(xiàn)基于改進RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的分數(shù)階控制器設(shè)計。

2 實驗分析

為驗證所設(shè)計的控制器的控制效果，選取文獻[4]設(shè)計的基于內(nèi)?？刂频姆謹?shù)階控制器、文獻[5]設(shè)計的基于粒子群算法的液壓APC系統(tǒng)分數(shù)階PID控制器為對比控制器，利用MATLAB軟件分別建立3種控制器的仿真環(huán)境，并設(shè)置溫度為26 ℃，控制誤差±0.5 ℃。分別使用3種控制器對溫度進行控制，其階躍響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 3種控制器階躍響應(yīng)曲線

由圖3可知：文中控制器階躍響應(yīng)曲線較平滑，可穩(wěn)定控制溫度在26.01 ℃左右，與所控溫度目標相差僅為0.01 ℃，原因是本文作者在設(shè)計控制器過程中選擇恰當?shù)那袚Q點數(shù)值作為左右兩端端點值，利用簡化降階算法減少尋找切換點迭代次數(shù)，提高了控制的穩(wěn)定性；而文獻[4]控制器曲線為波浪狀，控制溫度時高時低，控制穩(wěn)定性較差；文獻[5]控制曲線呈現(xiàn)下降趨勢，在=30 s時，溫度較準確，當時間超過30 s后，溫度明顯低于設(shè)置溫度，溫度控制不穩(wěn)定。

控制器性能的優(yōu)良可由其控制指標呈現(xiàn)，其指標包括超調(diào)量、余差、調(diào)節(jié)時間等。對比3種控制器控制指標，結(jié)果如表1所示。

表1 控制指標對比

由表1可知：文中控制器超調(diào)量最小，為1.3%，其溫度余差與文獻[5]的余差都為0，但文中控制器超調(diào)量與調(diào)節(jié)時間都較小。由此可知，文中控制器用時短、偏差小、控制能力強。

對比3種控制器不同時間的溫度控制相對偏差情況，結(jié)果由圖4所示。可知：當=0～3.8 s時，文中控制器控制的溫度偏差高于文獻[4]與文獻[5]控制器的溫度偏差；當>3.8 s后，文中控制器控制的溫度偏差小于文獻[4]與文獻[5]控制器所控制的溫度偏差，文中控制器溫度偏差為-0.1～0.4 ℃，文獻[4]控制器溫度偏差為-0.17～0.82 ℃，文獻[5]控制器溫度偏差為-0.18～0.78 ℃，可見文中控制器控制溫度偏差較小，控制器響應(yīng)性高。

圖4 溫度控制相對偏差曲線 圖5 3種控制器魯棒性能曲線

為驗證所設(shè)計的控制器魯棒性，統(tǒng)計3個控制器控制下不同時間的幅值，結(jié)果如圖5所示?？芍?隨著時間的增加，3種控制器幅值主要呈上升趨勢，但文中控制器幅值上升速度最快，且達到最高幅值后始終處于穩(wěn)定狀態(tài)，文獻[4]、文獻[5]控制器幅值上升速度小于文中控制器，且波動顯著。由此可知，文中控制器控制穩(wěn)定性好、魯棒性強。

控制器靈敏度與互補靈敏度影響該控制器整體性能，3種控制器靈敏度與互補靈敏度曲線由圖6所示。

圖6 3種控制器靈敏度與互補靈敏度曲線

由圖6可知：控制器的靈敏度隨著頻率的增加而增加；當頻率為1×10～1 rad/s時，3種控制器靈敏度均明顯上升，文中控制器靈敏度上升幅度明顯高于文獻[4]與文獻[5]控制器；當頻率為1～1×10rad/s時，文中控制器靈敏度保持0不變，而文獻[4]與文獻[5]控制器靈敏度均低于文中控制器靈敏度；控制器的互補靈敏度隨著頻率的增加而降低；當頻率為1×10～1 rad/s時，文中控制器互補靈敏度保持0不變，并且高于文獻[4]與文獻[5]控制器互補靈敏度；當頻率為1～1×10rad/s時，3種控制器互補靈敏度呈下降趨勢。因此，文中控制器靈敏度高于對比系統(tǒng)靈敏度，實際使用性能較強。

為進一步驗證所設(shè)計的控制器的實際使用性能，分別對比3種控制器的時域響應(yīng)情況，結(jié)果如圖7所示。

圖7 3種控制器時域響應(yīng)曲線

由圖7可知：控制器輸出位置隨著時間的增加而增加，當?shù)竭_一定時間后，輸出位置上下浮動較??；文獻[5]控制器時域響應(yīng)曲線在=4.7 s之前，輸出位置高于文中系統(tǒng)與文獻[4]控制器，當>4.7 s后，其時域響應(yīng)曲線呈下降趨勢，可見其時域響應(yīng)性能差，參數(shù)跟蹤能力低；文獻[4]控制器整體輸出位置均低于文中控制器與文獻[5]控制器，時域響應(yīng)能力低；而文中控制器時域曲線上升速度快，當時間約大于6.3 s時，其輸出位置遠高于文獻[4]與文獻[5]控制器，時域響應(yīng)與參數(shù)跟蹤能力較好。

3 結(jié)論

本文作者采用分數(shù)階區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)和改進的RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法設(shè)計分數(shù)階控制器。經(jīng)過實驗驗證，該控制器控制溫度精確度較高，可達到設(shè)定控制需求；較對比控制器，其靈敏度與互補靈敏度高、魯棒性能強、響應(yīng)速率高。該控制器在實際應(yīng)用中具有較高的控制效果，可進一步改進，以達到更好的控制效果。