文／吳思佳

在一些問題的設(shè)計(jì)中，由于圖形的形狀（點(diǎn)、邊）不確定，得到的結(jié)論可能不相同，這時(shí)，我們就要進(jìn)行分類討論。比如等腰三角形中底與腰的不確定，全等三角形、相似三角形的對應(yīng)點(diǎn)不確定等。

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（2）由（1）知，AB=5。根據(jù)題意可分三種情況討論：

圖1

①當(dāng)AB=PB時(shí)，如圖1，以點(diǎn)B為圓心、AB長為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P1、P2。

∵△ABP是等腰三角形，∴PB=5。

∴P1（0，0）或P2（10，0）。

②當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖2，以點(diǎn)A為圓心、AB長為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P3。過點(diǎn)A作AD垂直x軸，由（1）知，BD=4，易知點(diǎn)P3與點(diǎn)B關(guān)于AD對稱，∴DP3=BD=4。

∴OP3=5+4+4=13?！郟3（13，0）。

圖2

【評析】由于條件“△ABP為等腰三角形”指代不明，導(dǎo)致點(diǎn)P的位置不確定，故要分AB=PB、AB=AP、PB=AP三種情況進(jìn)行探究。由等腰三角形的性質(zhì)與圓的對稱性解出P1、P2和P3各得1 分，再利用勾股定理建立方程解出P4得2分。

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：y=ax2+（c-a）x+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（0，-6），L關(guān)于原點(diǎn)O對稱的拋物線為L′。

（1）求拋物線L的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在拋物線L′上，且位于第一象限，過點(diǎn)P作PD⊥y軸，垂足為D。若△POD與△AOB相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

【解析】（1）由題意，得

∴拋物線L：y=-x2-5x-6。

（2）∵點(diǎn)A（-3，0）、B（0，-6）在L′上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′（3，0）、B′（0，6），∴設(shè)拋物線L′的表達(dá)式為y=x2+bx+6。將A′（3，0）代入y=x2+bx+6，得b=-5，∴拋物線L′的表達(dá)式為y=x2-5x+6。

∵A（-3，0），B（0，-6），∴AO=3，OB=6。

設(shè)P（m，m2-5m+6）（m＞0）。

∵PD⊥y軸，∴D（0，m2-5m+6）。

∴PD=m，OD=m2-5m+6。

∵Rt△POD與Rt△AOB相似，

∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB兩種情況。

圖4

圖5

【評析】第（1）小題，利用待定系數(shù)法解出拋物線L的表達(dá)式得2 分。第（2）小題，由中心對稱特征求出L′的表達(dá)式得2 分，在△POD中，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上的主動點(diǎn)，點(diǎn)D為從動點(diǎn)，由圖像確定相等的一組角，得出分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB兩種情況討論得2 分，再利用相似三角形的性質(zhì)分別求解點(diǎn)P，每個(gè)點(diǎn)各得1分。