董雨欣

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

近年來(lái)，捕食者和食餌之間的動(dòng)力學(xué)行為得到了廣泛研究，研究人員建立了各種捕食者-食餌模型來(lái)研究捕食者和食餌之間豐富的動(dòng)力學(xué)行為[1-2]。如果依賴(lài)密度，捕食者必須以某種方式反映食餌數(shù)量的變化[3-4]。隨著食餌密度的增加，每個(gè)捕食者會(huì)捕食更多的個(gè)體，食餌的密度會(huì)迅速固定，Solomon稱(chēng)這種行為為功能反應(yīng)[5]。在許多經(jīng)典的捕食者-食餌模型中，捕食者的死亡率經(jīng)常被考慮在內(nèi)[6-7]。大多數(shù)人認(rèn)為捕食者的死亡率是一個(gè)常數(shù)[8]，但是從生態(tài)意義上來(lái)說(shuō)，考慮捕食者的非常數(shù)死亡率更合理。Duque認(rèn)為，在沒(méi)有食餌的情況下，捕食者的死亡率如下[9]：

其中，γ是捕食者在低密度下的死亡率，δ是捕食者的最大死亡率，假設(shè)γ＜δ。由，

其中，u表示食餌的種群密度，v表示捕食者的種群密度，a表示半飽和常數(shù)，h表示捕食者之間的相互干擾，r和k分別表示食餌的內(nèi)增長(zhǎng)率和承載能力，e表示捕食效率，所有參數(shù)都是正的。令，去掉橫杠得到

其中，M(v)=。

1 解的正性和有界性

這部分重點(diǎn)討論系統(tǒng)（2）的解的正性和有界性，就模型的有效性而言，這些討論非常重要。

定理1對(duì)于所有t＞0，系統(tǒng)（2）在初始值(u0,v0)∈下的所有解(u(t),v(t))都是正的。

證明對(duì)于任何u≥0和v≥0，有

根據(jù)解的唯一性，集合對(duì)于系統(tǒng)（2）是正不變的，因此，系統(tǒng)（2）的所有解都是正的。

2 正平衡點(diǎn)的存在性

這一部分主要討論系統(tǒng)（2）的正平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)。滅絕平衡點(diǎn)和邊界平衡點(diǎn)總是存在的，為了分析系統(tǒng)（2）的正平衡點(diǎn)數(shù)目，考慮代數(shù)方程

對(duì)f(v)，g(v)求二階導(dǎo)數(shù)可得f″(v)=(δh+2hδ)( 1+hv)+(δ( 1+hv)+2h(γ+δv))h，g″(v)=2a(h-a)，于是，f″(0)=4δh+2h2γ，g″(0)=2a(h-a)。

（1）當(dāng)g′(0)＞f′(0)時(shí)，g′(v)與f′(v)有一個(gè)交點(diǎn)，記為v1；

（2）當(dāng)g″(0)＞f″(0)，則p′(v)有一個(gè)零點(diǎn)，記為v2；

（3）當(dāng)g″(0)＞f″(0)，則p″(v)=0有一個(gè)正根，記為v3。

為更清楚地說(shuō)明方程（2）的正根個(gè)數(shù)，將條件和相應(yīng)正根的個(gè)數(shù)分別列于表1。

表1 方程（2）的正根個(gè)數(shù)

根據(jù)上面的討論可得到如下關(guān)于正平衡點(diǎn)的結(jié)論。

定理3當(dāng)g′(0)≥f′(0)時(shí)，系統(tǒng)（2）最多存在2個(gè)正平衡點(diǎn)；當(dāng)g′(0)＜f′(0)時(shí)，系統(tǒng)（2）最多存在3個(gè)正平衡點(diǎn)。

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

經(jīng)過(guò)計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)方程（4）最多有3個(gè)正根，說(shuō)明系統(tǒng)（2）的動(dòng)力學(xué)行為更加豐富。對(duì)于任何參數(shù)，系統(tǒng)（2）中的邊界平衡點(diǎn)E2(K,0)和滅絕平衡點(diǎn)E0(0,0)一定存在。下面只討論系統(tǒng)（2）有一個(gè)內(nèi)部平衡點(diǎn)的情況。

平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由雅可比矩陣的特征值決定，系統(tǒng)（2）的雅可比矩陣是

在滅絕平衡點(diǎn)E0( 0,0)處的特征值為γ和-b，因此E0( 0,0)是一個(gè)鞍點(diǎn)。E2( 1,0)表示沒(méi)有捕食者的邊界平衡點(diǎn)。

定理4當(dāng)a＜γ時(shí)，邊界平衡點(diǎn)E2( 1,0)是穩(wěn)定的；當(dāng)a＞γ時(shí)，邊界平衡點(diǎn)E2( 1,0)是不穩(wěn)定的。

證明平衡點(diǎn)E2( 1,0)處Jacobian矩陣的行列式和跡分別為

4 數(shù)值模擬

這部分借助Matlab數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證邊界平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、內(nèi)部平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性。

4.1 邊界平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

在定理4的a＜γ條件下，選取一組參數(shù)h=0.1，γ=0.2，δ=0.5，a=0.1，e=2，得邊界平衡點(diǎn)E2( 1,0)對(duì)應(yīng)的相圖軌線(xiàn)，如圖1（a）所示。由圖1（a）可以看出，邊界平衡點(diǎn)E2( 1,0)是穩(wěn)定的，與定理4的結(jié)論一致。在定理4 的a＞γ條件下，選取一組參數(shù)h=0.1，γ=0.2，δ=0.5，a=0.5，e=2，那么邊界平衡點(diǎn)E2( 1,0)對(duì)應(yīng)的相圖軌線(xiàn)如圖1（b）所示。由圖1（b）可以看出，邊界平衡點(diǎn)E2( 1,0)是不穩(wěn)定的，與定理4的結(jié)論也一致。

圖1 （a）a ＜γ，（b）a ＞γ時(shí)，邊界平衡點(diǎn)E2( 1,0)對(duì)應(yīng)的相圖軌線(xiàn)

4.2 內(nèi)部平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

系統(tǒng)（2）在定理3的g′(0)＞f′(0)條件下，選取一組參數(shù)h=1，γ=0.22，δ=0.25，a=0.4，e=2，記系統(tǒng)（2）的上下方程是y和g，系統(tǒng)（2）在這組參數(shù)下的圖像如圖2所示?？梢郧宄乜吹?，第一象限內(nèi)系統(tǒng)（2）在這組參數(shù)下只有一個(gè)內(nèi)部平衡點(diǎn)，借助Matlab計(jì)算可知，內(nèi)部平衡點(diǎn)的值是（0.865 7，0.505 1）。內(nèi)部平衡點(diǎn)記為E1(u1,v1)，計(jì)算可得Tr()=-1.127 9 ＜0 和Det()=0.202 3 ＞0，E1的軌線(xiàn)相圖如圖3所示。從圖3可以看出平衡點(diǎn)E1(u1,v1)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，這和定理5的結(jié)論一致。

圖2 系統(tǒng)（2）在第一象限內(nèi)的平衡點(diǎn)

圖3 E1的軌線(xiàn)相圖

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，本文研究了一類(lèi)具有非常數(shù)死亡率的捕食者-食餌模型，與含有常數(shù)死亡率的捕食者-食餌模型相比，平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)增加，出現(xiàn)了3個(gè)共存平衡點(diǎn)，使模型的生物意義增強(qiáng)。從生物學(xué)的角度看，捕食者的死亡率通常不是一個(gè)常數(shù)，因此，考慮捕食者的非常數(shù)死亡率比常數(shù)死亡率更合理。在生態(tài)學(xué)中，研究捕食者的非常數(shù)死亡率是一個(gè)非常基本且重要的問(wèn)題，它對(duì)捕食者-食餌模型有著很大的影響，且使捕食者-食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為更加豐富。