河北省唐山市第一中學

李桂蘭

定義是解決相關(guān)問題的理論基礎(chǔ)和靈魂所在，解題時要善于回歸定義和應(yīng)用定義.拋物線的定義反映了拋物線的本質(zhì)特征，揭示了曲線存在的幾何性質(zhì)與規(guī)律，恰當借助拋物線的定義，能夠有效實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與它到準線的距離之間的合理轉(zhuǎn)化.一方面可以將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，建構(gòu)“兩點距離”的直觀問題；另一方面可以將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為該點到準線的距離，建構(gòu)“點線距離”的直觀問題.根據(jù)不同的問題情境，有效轉(zhuǎn)化，合理破解，能起到事半功倍的效果.

1 長度問題

例1[2021屆貴州省西南名校聯(lián)盟(金太陽)高三下學期(3月)開學考理科數(shù)學試卷·16]已知拋物線C：y2=6x的焦點為F，準線為l0，過F且斜率為1的直線l與C交于A，B兩點(A在B的上方)，過點A作AP⊥l0，垂足為P，點G為∠PAB的角平分線與l0的交點，則|FG|=______.

分析：借助幾何視角切入，實現(xiàn)平面解析幾何問題幾何化，通過拋物線的定義以及幾何圖形的直觀，找出相應(yīng)的全等三角形，利用兩直線垂直的斜率關(guān)系確定對應(yīng)的直線方程，結(jié)合交點坐標的確定，并利用兩點間的距離公式求解即可.

根據(jù)拋物線的定義，有|AP|=|AF|，又∠PAG=∠FAG，所以△PAG≌△FAG.

點評：巧妙借助拋物線的定義，實現(xiàn)兩線段之間距離的等價轉(zhuǎn)化，這也是拋物線的定義的最基礎(chǔ)的應(yīng)用之一.破解此題的基本思路有兩種.①從代數(shù)視角出發(fā)，設(shè)線，設(shè)點，聯(lián)立方程是常規(guī)方法；②從幾何視角出發(fā)，借助幾何圖形特征與邏輯推理，找到問題的突破口.而觀察幾何圖形的特征，拋物線的定義的應(yīng)用，可以充分考查學生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2 最值問題

分析：借助條件中點、直線、拋物線的數(shù)形結(jié)合以及平面幾何圖形的直觀，利用拋物線的定義加以合理轉(zhuǎn)化，通過動點的變化直觀確定最值的條件，進而設(shè)出切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消參后建立對應(yīng)的方程，利用判別式法確定參數(shù)的取值，得以求解對應(yīng)的切點坐標，最后結(jié)合兩點間的距離公式求解即可.

過點B作直線l：x=-1，過點A分別作直線l、拋物線的準線的垂線，垂足分別為C，D，如圖1所示.

圖1

根據(jù)拋物線的定義，可得

設(shè)直線AB的方程為x=my-1，將其與拋物線y2=2x聯(lián)立，消去x并整理，可得y2-2my+2=0.

由判別式Δ=4m2-8=0，可得m2=2.

故選：C.

點評：巧妙借助拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化相應(yīng)的關(guān)系式，為利用平面幾何圖形直觀確定最值的條件奠定基礎(chǔ).涉及此類拋物線中一“動”一“靜”的兩個點的變化問題，關(guān)鍵是利用題目條件“動”“靜”結(jié)合以及拋物線定義，“動”中取“靜”，確定最值問題的位置，為問題的進一步分析與求解指明方向.

3 取值范圍問題

分析：直接將交點P的坐標代入已知圓F的方程，通過求解方程來確定參數(shù)的取值；利用平面幾何圖形及拋物線的定義，巧妙將△FAB周長加以合理轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合直觀分析，進而確定其對應(yīng)的取值范圍.

過點A作拋物線Z的準線y=-1的垂線，垂足為D，交x軸于點E，如圖2所示.根據(jù)拋物線的定義，可得|FA|=|AD|.

圖2

所以，△FAB周長為|FA|+|FB|+|AB|=|AD|+2+|AB|=|BD|+2=|BE|+1+2=|BE|+3.

數(shù)形結(jié)合，可知|BE|∈(1，3)，則△FAB周長|BE|+3∈(4，6).

故填答案：2；(4，6).

點評：巧妙借助拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化三角形的周長，結(jié)合線段之間的運算并通過數(shù)形結(jié)合來確定周長的取值范圍.避免代數(shù)運算中繁雜的運算過程，更加簡單快捷地直達目的，實現(xiàn)問題的巧妙破解，提升解題效益.

在破解涉及拋物線上的點及焦點的一些綜合問題時，可以考慮利用拋物線的定義，實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線的距離之間的合理轉(zhuǎn)化，特別在破解一些拋物線中的長度、最值、取值范圍等綜合問題中有奇效.利用拋物線定義，回歸問題本質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用，有效掌握數(shù)學思想方法和提升數(shù)學能力，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).