■ 葛麗霞

4月21日，教育部印發(fā)了《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》 （后簡稱新課標(biāo)）。本次課標(biāo)修訂強調(diào)素養(yǎng)導(dǎo)向，不僅優(yōu)化了課程設(shè)置，完善了課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)，還強化了學(xué)業(yè)質(zhì)量指導(dǎo)，加強了學(xué)段銜接，細化了實施要求。其中，新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域強調(diào)：要讓學(xué)生感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算的一致性，形成運算能力和初步的推理意識。在實際教學(xué)中如何實現(xiàn)數(shù)運算的一致性，有效落實新課標(biāo)理念呢？本文以《分?jǐn)?shù)加減法》大單元為例，談?wù)勗诰唧w實踐中的一些嘗試。

一、緣起：基于真實學(xué)情的問題分析

在新舊課標(biāo)的對比研讀中，我們不難發(fā)現(xiàn)，“數(shù)運算的一致性”是2022版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一個重要理念，也是一個全新的提法。數(shù)學(xué)新課標(biāo)修訂組組長史寧中教授在新課標(biāo)的解讀中曾指出：“當(dāng)前的教材和教學(xué)中關(guān)于數(shù)的運算，加減乘除有各自的算理，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)運算有各自的算法，使得這些知識似乎是支離破碎、缺乏內(nèi)在一致性?！睘榱烁淖冞@一現(xiàn)狀，新課標(biāo)提出了數(shù)的運算的一致性理念。其實，從算法的角度而言，數(shù)的運算都可以還原成計數(shù)單位與計數(shù)單位運算，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字的運算。也就是說，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)運算的算理應(yīng)該落實到計數(shù)單位的個數(shù)上來，這樣，小學(xué)階段所有的數(shù)運算的算理、算法就一致起來了。教學(xué)中也確實存在史寧中教授所說的問題，比如在學(xué)習(xí)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》之前，我們進行的一次學(xué)情調(diào)研就反映出，學(xué)生對分?jǐn)?shù)的加減法算理的理解并沒有和整數(shù)、小數(shù)進行貫通。我們的調(diào)研題目如下：

前測題1.請你先算出結(jié)果，然后在下面寫一寫你這樣計算的道理。

調(diào)研結(jié)果：

第二題：結(jié)果的正確率為58.5%，沒有學(xué)生能從分?jǐn)?shù)單位的角度來講清道理。其中，錯誤的做法主要有兩種。

一種是將分母相加，分子不變。

我認為，這樣算的道理是分子一樣加分母2+4=6，所以就是

另一種是分子和分子相加，分母和分母相加。

因為分母不相同，所以要相加，分子的不相同也要相加，所以是

結(jié)果分析：從前測來看，對于同分母分?jǐn)?shù)加減法，學(xué)生只是記住了計算法則，雖然題能做對，但對算理的掌握是很不清晰的。而第二題中，學(xué)生的第一種錯誤，把異分母分?jǐn)?shù)加減法中的分母相加，分子不變，顯然是由于同分母分?jǐn)?shù)加減法的負遷移。因為同分母的加減法的法則是分母不變，分子相加，所以學(xué)生就會想到相同的不變，不同的相加。而第二種出現(xiàn)了分子和分子相加、分母和分母相加的情況，我們又對此進行了進一步的訪談，他們的想法是整數(shù)加法時個位和個位加，十位和十位加，所以分?jǐn)?shù)加法就是分子和分子相加，分母和分母相加。

調(diào)研結(jié)果證明，多數(shù)學(xué)生不明白整數(shù)加減法個位和個位相加。十位和十位相加，其實是相同的計數(shù)單位才能相加，而分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位又恰恰有些特殊，分?jǐn)?shù)的分母決定了分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位，所以相加只能是相同的分母才能相加。

究其原因可知：我們之前的教學(xué)只是盯著一個知識點或一個課時，著眼點太小，教學(xué)散點化、淺表化、知識碎片化，所以學(xué)生不但不能有效遷移整數(shù)、小數(shù)的算理，反而還出現(xiàn)了負遷移。而大概念統(tǒng)領(lǐng)的大單元教學(xué)，具有大視角、統(tǒng)攝性，注重知識的關(guān)聯(lián)性、結(jié)構(gòu)化、培養(yǎng)高階思維等特點，正好可以解決當(dāng)前我們面臨的這一問題。

新課標(biāo)也指出：在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，要讓學(xué)生感悟數(shù)的概念的一致性，體會數(shù)的運算的一致性。教學(xué)中，要溝通數(shù)的概念與數(shù)的運算之間的關(guān)聯(lián)。于是，我們基于數(shù)的運算的一致性理念，把《分?jǐn)?shù)加減法》作為一個主題大單元進行研究，借助大概念統(tǒng)領(lǐng)下的單元整體教學(xué)幫助學(xué)生更好地實現(xiàn)算理貫通、算法統(tǒng)整。

二、設(shè)計：基于數(shù)運算一致性大概念統(tǒng)領(lǐng)的單元教學(xué)構(gòu)思

（一）準(zhǔn)確把握和凝練單元大概念

綜合不同學(xué)者的觀點，結(jié)合我區(qū)教學(xué)實踐，我區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)團隊前期總結(jié)出了以下幾種大概念的提取路徑：（1）課程標(biāo)準(zhǔn)；（2）思想方法；（3）學(xué)科知識本質(zhì)；（4）概念派生；（5）學(xué)習(xí)難點；（6）評價標(biāo)準(zhǔn)。《分?jǐn)?shù)加減法》大單元的大概念，我們主要是通過研讀課程標(biāo)準(zhǔn)、提煉學(xué)科知識本質(zhì)，最終凝練出來的。

1.研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，確定關(guān)鍵要素

我們查閱了2022版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在學(xué)段目標(biāo)和內(nèi)容要求、教學(xué)提示中都可以提取出“計數(shù)單位”和“數(shù)運算的一致性”這樣的高頻詞。我們發(fā)現(xiàn)，計數(shù)單位在數(shù)的認識和數(shù)的運算中發(fā)揮著重要的作用。東北師范大學(xué)馬云鵬教授指出：數(shù)的認識與數(shù)的運算均要以“計數(shù)單位”作為核心要素統(tǒng)領(lǐng)。由此，我們把“計數(shù)單位”確定為單元大概念的關(guān)鍵要素。

2.尋找知識本源，提煉學(xué)科本質(zhì)

在數(shù)的運算主題下《分?jǐn)?shù)加減法》這一單元，如果叩問學(xué)科知識本質(zhì)，我們應(yīng)當(dāng)回到“加減的意義”上來。在尋找知識本源，不斷向前追溯的過程中，我們會發(fā)現(xiàn)：數(shù)的運算中“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”“分?jǐn)?shù)加減法”雖然形態(tài)不同，它們背后的算理是一致的，即“計數(shù)單位相同時，可以直接相加減”。分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)是實現(xiàn)分?jǐn)?shù)單位的統(tǒng)一。

這樣，我們通過研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，確定關(guān)鍵要素，尋找知識本源，提煉學(xué)科本質(zhì)，最終凝練出本單元的大概念為：分?jǐn)?shù)加減法計算是整數(shù)、小數(shù)加減法運算的拓展，是相同計數(shù)單位的不斷累加（或減少）。

（二）確立大概念統(tǒng)攝的學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)可以說是教學(xué)和學(xué)習(xí)的“北斗”。目標(biāo)的確立主要分為以下幾個步驟。

1.對接新課標(biāo)

我們分別在課程標(biāo)準(zhǔn)中找到本單元相關(guān)的內(nèi)容要求和學(xué)業(yè)要求。如圖1和圖2所示：

圖1 對接新課標(biāo)示例1

圖2 對接新課標(biāo)示例2

然后將這些要求按行為條件、行為動詞、認知水平、核心概念等先分解再調(diào)整合并，具體如表1所示：

表1 新課標(biāo)要求分解表

通過分析發(fā)現(xiàn)，新課標(biāo)對本單元的要求分為三個層次。第一層次是理解層次，核心概念是公因數(shù)和最大公因數(shù)、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)、運算的一致性，這些核心概念的習(xí)得為分?jǐn)?shù)加減法的學(xué)習(xí)奠定了知識基礎(chǔ)；第二層次是掌握層次，核心概念是分?jǐn)?shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法混合運算。要求學(xué)生經(jīng)歷算法探究的過程，理解算理，掌握分?jǐn)?shù)加減法的計算方法，感悟加減運算本質(zhì)都是相同計數(shù)單位個數(shù)相加減；第三層次是應(yīng)用層次，運用分?jǐn)?shù)加減法計算解決實際問題，要求學(xué)生能靈活運用分?jǐn)?shù)加減法的知識解決實際問題。

2.教材分析

本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容圍繞“分?jǐn)?shù)加減法計算是整數(shù)、小數(shù)加減法運算的拓展，是相同計數(shù)單位的不斷累加（或減少）”的單元大概念展開，其知識的生長點是：整數(shù)小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)的意義和基本性質(zhì)、簡單的同分母分?jǐn)?shù)加減法；為五年級將要學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、分?jǐn)?shù)四則混合運算與百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化奠定基礎(chǔ)。

這一單元的內(nèi)容作為小學(xué)加減運算內(nèi)容的終結(jié)，是在學(xué)習(xí)了整數(shù)加減法、小數(shù)加減法的基礎(chǔ)上教學(xué)的，它承載著貫通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的內(nèi)在計算本質(zhì)的重要作用，如圖3。

圖3 《分?jǐn)?shù)加減法》單元知識的貫通作用

3.學(xué)情分析

學(xué)習(xí)本單元前，學(xué)生已經(jīng)具備了充分的整數(shù)、小數(shù)加減法計算的能力，但對知識的關(guān)聯(lián)性感知度比較低?？紤]前面已經(jīng)介紹的實證調(diào)研情況，本單元應(yīng)注重分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法運算的勾連，打通算理。教學(xué)重點是讓學(xué)生能整體把握小學(xué)階段加減法的運算本質(zhì)。

綜合以上分析，我們把《分?jǐn)?shù)加減法》主題大單元的目標(biāo)確定為以下三條：

圖4 《分?jǐn)?shù)加減法》主題大單元目標(biāo)

具體分析：

目標(biāo)一，體現(xiàn)的思維發(fā)展層次為識記、理解層次，注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和運算能力，培養(yǎng)推理意識，為單元大概念落地奠定知識基礎(chǔ)。

目標(biāo)二，其思維發(fā)展層次為理解、應(yīng)用層次，是單元大概念的推理建構(gòu)階段。這一目標(biāo)也是本單元的核心目標(biāo)。我們把發(fā)展運算能力和推理意識確定為本單元最主要落實的核心素養(yǎng)，需要學(xué)生體會和運用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。

目標(biāo)三，思維發(fā)展層次為應(yīng)用、分析層次，學(xué)生分?jǐn)?shù)加減運算方面的運算能力和推理意識都已經(jīng)建立，憑借已有的遷移能力，可以進一步分析并應(yīng)用于問題解決，是單元大概念的遷移運用。

這樣的單元目標(biāo)體現(xiàn)了知識體系由低到高、由淺入深的發(fā)展脈絡(luò)，能夠促使學(xué)生思維發(fā)展由識記到感受再到運用，單元大概念也從初步形成到推理建構(gòu)最后達到遷移運用。最終把大概念作為目標(biāo)的內(nèi)核，有效促進運算能力和推理意識雙發(fā)展的核心素養(yǎng)形成。

（三）基于目標(biāo)層級劃分學(xué)習(xí)專題，促進學(xué)生思維進階

大概念要想轉(zhuǎn)化為學(xué)生的實際所得，需要理清知識脈絡(luò)，整體架構(gòu)和開發(fā)學(xué)習(xí)專題，促進學(xué)生思維進階。

1.劃分學(xué)習(xí)專題

根據(jù)新課標(biāo)的要求，我們對接現(xiàn)行青島版教材中的教學(xué)內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，青島版教材將分?jǐn)?shù)加減法編排為兩個自然單元，分?jǐn)?shù)加減法（一）教學(xué)最大公因數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)加減法、加減混合運算、最小公倍數(shù)和分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化。分?jǐn)?shù)加減法（二）重點教學(xué)通分、異分母分?jǐn)?shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減混合運算。知識點多且雜，于是，我們從整體架構(gòu)的層面進行規(guī)劃。根據(jù)知識的相關(guān)聯(lián)性和學(xué)生學(xué)習(xí)的進階性，將原來課本的兩個自然單元，劃分為三個學(xué)習(xí)專題（如圖所示）。

圖5 單元大概念的深度建構(gòu)

2.構(gòu)建進階式學(xué)習(xí)進程

本單元學(xué)生的學(xué)習(xí)起點是整數(shù)、小數(shù)的加減法運算以及分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)。我們從這一起點出發(fā)，三個專題的學(xué)習(xí)呈進階發(fā)展。在專題一的學(xué)習(xí)中，通過學(xué)習(xí)公因數(shù)和公倍數(shù)為尋找相同的計數(shù)單位做好了鋪墊，其進階層級為理解層次。專題二是學(xué)生建構(gòu)大概念、打通算理的重要階段，學(xué)生在解決問題的過程中會領(lǐng)悟到分?jǐn)?shù)的加減和整數(shù)小數(shù)的加減一樣，都是相同計數(shù)單位的加減，其進階層級為掌握層次。而專題三則是基于對大概念的理解與掌握的基礎(chǔ)上的遷移運用。學(xué)生的整個學(xué)習(xí)進程是一個層層推進的過程，在邏輯上緊密聯(lián)系。在本單元活動的整體架構(gòu)中，運算能力和推理意識貫穿單元進程的始終，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

圖6 《分?jǐn)?shù)加減法》單元進階結(jié)構(gòu)圖

三、洞見：基于數(shù)運算一致性大概念統(tǒng)領(lǐng)的單元教學(xué)實踐

（一）以核心專題二為例，說明如何把大概念作為理解的錨點，讓其在每一節(jié)課中生根、生長

本單元學(xué)生產(chǎn)生的學(xué)習(xí)困惑，最主要集中在專題二的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，其癥結(jié)在于學(xué)生不能有效遷移整數(shù)、小數(shù)加減運算的算理。由此可知，喚醒學(xué)生對整數(shù)小數(shù)運算算理的深度感知是我們要給學(xué)生補上的重要一課。基于以上認識，我們對專題二精心設(shè)計，通過專題開啟課、專題建構(gòu)課以及專題反思課的主題式學(xué)習(xí)讓大概念有效落地。

圖7 專題設(shè)計

1.專題開啟課

通過漫談加減法的學(xué)習(xí)活動，在這一專題中對大概念進行初步感知，學(xué)生在梳理、歸納完成思維導(dǎo)圖后進行全班交流。明確加減法運算的兩個關(guān)鍵要素就是“計數(shù)單位”“單位個數(shù)”。為大概念的落地做好鋪墊，也為整個專題二的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

2.專題建構(gòu)課

由同分母分?jǐn)?shù)加減法、通分和異分母分?jǐn)?shù)加減法三節(jié)緊密關(guān)聯(lián)的課組成。（1）同分母分?jǐn)?shù)加減法通過計算、說理、總結(jié)的方式，重點讓學(xué)生體會“分?jǐn)?shù)單位的累加或減少”。（2）通分是借助分?jǐn)?shù)的大小比較，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位之間的關(guān)系，在畫圖、比較、說理中讓學(xué)生明確“通分的本質(zhì)就是尋找兩個分?jǐn)?shù)的相同計數(shù)(分?jǐn)?shù))單位”。（3）異分母分?jǐn)?shù)加減法，完成的是大概念的深度構(gòu)建。學(xué)生在課堂中自主探究、合作交流，在多次對比、辨析中打通了算理，體會加減法計算的本質(zhì)。

3.專題小反思課

這一課主要是通過借助閱讀繪本故事《貓鼠大戰(zhàn)搶奶酪》中的部分情節(jié)，對本專題學(xué)過的知識在讀與思的過程中進行復(fù)盤，在反思分享中進一步體會數(shù)運算的一致性。有了這樣整體的設(shè)計，核心概念貫穿始終，學(xué)生對大概念的認知經(jīng)歷了從積累經(jīng)驗到探索推理再到反思分享的過程。在教與學(xué)的“起”“承”“轉(zhuǎn)”“合”中層層深入地對大概念進行持續(xù)構(gòu)建，教師的教和學(xué)生的學(xué)也自然地發(fā)生著變化。

（二）以專題二中的關(guān)鍵課例《異分母分?jǐn)?shù)加減法》一課，說明如何在課堂教學(xué)中貫通運算本質(zhì)，打通算理，理解算法

1.從割裂到關(guān)聯(lián)，彰顯核心問題的邏輯之鏈

理解的本質(zhì)就是建立聯(lián)系。落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，問題鏈的設(shè)計是個很好的抓手。教師可以借助問題鏈進行有效的課堂提問，基于大單元視角構(gòu)建以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課堂教學(xué)。在《異分母分?jǐn)?shù)加減法》一課的教學(xué)中，老師在重視學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過問題的邏輯之鏈深入引導(dǎo)，將學(xué)生的思維一步步引向更深處，進而打破算理和算法的鴻溝。如，在學(xué)生呈現(xiàn)出不同的方法后，教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦畫圖法和通分法，讓學(xué)生思考它們有什么共同的特點。在學(xué)生找到共性之后，又引導(dǎo)學(xué)生思考變成小數(shù)的方法，讓學(xué)生從計數(shù)單位的角度來思考，轉(zhuǎn)化小數(shù)的方法又和畫圖法、通分法之間尋找相同之處，在整個探究活動中，教師通過關(guān)鍵問題一次次促進學(xué)生深度思考。

2.從散點到結(jié)構(gòu)，突顯單元的整體之意

在基于大概念統(tǒng)領(lǐng)的大單元學(xué)習(xí)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗一定是從“一”到“多”、從“多”到“類”的不斷提升的過程。《異分母分?jǐn)?shù)加減法》一課的課前，教師可以設(shè)計讓學(xué)生結(jié)構(gòu)化整理整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)的計算方法的學(xué)習(xí)任務(wù)。課中在學(xué)生總結(jié)出異分母分?jǐn)?shù)加減法的計算方法后，教師又將之前學(xué)過的整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、同分母分?jǐn)?shù)加減法的計算方法呈現(xiàn)出來，深入分析每一種算法背后的道理。學(xué)生在相互啟發(fā)和碰撞中總結(jié)出整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法在算理上的一致性，即都是相同計數(shù)單位個數(shù)的相加減。教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生逐步把分?jǐn)?shù)加減運算融入整個數(shù)的體系中，利用遷移學(xué)會聯(lián)系地思考問題，舉一反三，觸類旁通，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，促進思維可持續(xù)發(fā)展。這樣，教師有結(jié)構(gòu)地教，瞻前顧后，有效串聯(lián)知識與方法；學(xué)生也就能有關(guān)聯(lián)地學(xué)，聯(lián)結(jié)新知、舊知，從散點到結(jié)構(gòu)不斷完善認知體系。

圖8 打通算理

3.從結(jié)論到學(xué)習(xí)，凸顯專家思維的培養(yǎng)之韻

新課標(biāo)強調(diào)學(xué)生是形成中的專家，要像學(xué)科專家一樣探究和學(xué)習(xí)。要想讓學(xué)生具有“專家思維”，就不能死記結(jié)論。因為結(jié)論的可遷移性是非常弱的，比如異分母分?jǐn)?shù)加減法要先通分，再按同分母分?jǐn)?shù)加減法進行計算，這只是個結(jié)論。我們要引導(dǎo)學(xué)生不僅學(xué)習(xí)結(jié)論，還站在專家的角度思考為什么會有這樣的結(jié)論。要通過結(jié)論來形成“專家思維”，引導(dǎo)學(xué)生思考為什么要通分，通分的目的是為了讓計數(shù)單位變成一樣的，分?jǐn)?shù)單位相同才可以相加減……有了這樣的思考，學(xué)生就會慢慢構(gòu)成大概念的網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)就能逐漸形成，也就慢慢會形成“專家思維”。就像大概念專家劉徽教授所說：“如果我們的課堂只是教了結(jié)論，那么從學(xué)校教育通往現(xiàn)實世界、從現(xiàn)在通往未來的這座橋梁是斷裂的，結(jié)論基本只能在學(xué)校內(nèi)部流轉(zhuǎn)。而如果建構(gòu)了‘專家思維’，那么就在學(xué)校教育和現(xiàn)實世界、現(xiàn)在和未來之間搭建了一座牢固的橋梁，專家思維是可以從學(xué)校教育遷移到現(xiàn)實世界的?！?/p>

審視我們現(xiàn)在的課堂，我們正在實現(xiàn)著由教學(xué)散點化轉(zhuǎn)變?yōu)橛纱蟾拍罱y(tǒng)攝，由學(xué)習(xí)淺表化轉(zhuǎn)變?yōu)樗季S不斷進階發(fā)展，由知識碎片化轉(zhuǎn)變?yōu)橛薪Y(jié)構(gòu)相關(guān)聯(lián)，最終達到從教知識技能轉(zhuǎn)變?yōu)槁鋵崒W(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)運算一致性大概念統(tǒng)領(lǐng)的單元整體教學(xué)，讓我們的學(xué)生學(xué)會了有邏輯地思考、有系統(tǒng)地推理，有依據(jù)地表達。

數(shù)運算一致性理念下大概念統(tǒng)領(lǐng)的單元整體教學(xué)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由原來“寬而淺”的學(xué)習(xí)變?yōu)榇蟾拍罱虒W(xué)追求的“少而精”的學(xué)習(xí)。也正如《人是如何學(xué)習(xí)的》一書中所說：實現(xiàn)“用少量主題的深度覆蓋去替換學(xué)科領(lǐng)域中對所有主題表面的覆蓋，這些少量主題使得學(xué)科中的概念得以理解”。