張新勝

(江蘇省常州市第一中學(xué),213003)

一、前言

發(fā)生教學(xué)法是一種基于HPM視角的數(shù)學(xué)教學(xué)通常采用的方法,是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的一種方式.發(fā)生教學(xué)法從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā),呈現(xiàn)知識自然發(fā)生和發(fā)展的過程.個體對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程必須遵循數(shù)學(xué)知識的客觀發(fā)生過程.如何將數(shù)學(xué)史融入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐?本文以“點(diǎn)到直線的距離”為例,淺談?wù)凥PM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計.

二、數(shù)學(xué)史中相關(guān)背景資料

交點(diǎn)法是數(shù)學(xué)史中出現(xiàn)比較早的方法.1936年,美國數(shù)學(xué)學(xué)者戴維斯在《解析幾何》一書中就采用了這種方法,后來英國數(shù)學(xué)家楊格簡化了運(yùn)算,20世紀(jì)George Gibson在楊格的基礎(chǔ)上采用設(shè)而不求法,進(jìn)一步減少了運(yùn)算量.三角法也是很多教科書采用的方法.19世紀(jì),英國數(shù)學(xué)家托德亨特將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊長.19世紀(jì)末,英國數(shù)學(xué)家約翰斯頓將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為三角形的高,利用面積法求解.20世紀(jì),美國數(shù)學(xué)家泰勒在《微積分與解析幾何》中介紹了用函數(shù)法求點(diǎn)到直線的距離.20世紀(jì)40年代,向量知識逐漸出現(xiàn)在教科書中,1948年,美國數(shù)學(xué)家默納漢利用向量法求得點(diǎn)到直線的距離.

三、教學(xué)設(shè)計與實施

1.定義初探

師:上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間的距離公式.已知點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),則兩點(diǎn)間的距離PQ等于多少?

師:可以用什么方法來推導(dǎo)?

生1:構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用勾股定理.

師:任意給出兩點(diǎn)P,Q坐標(biāo),我們可以用代數(shù)的方法計算出兩點(diǎn)間距離,即線段PQ的長.如果一個點(diǎn)的坐標(biāo)不變,另一個點(diǎn)的坐標(biāo)換成一條直線上的方程,那么我們可以研究什么距離?

眾生:點(diǎn)到直線的距離.

師:什么是點(diǎn)到直線的距離?

生2:過點(diǎn)P作直線l的垂線PH,垂足為H,則線段PH的長即為點(diǎn)P到直線l的距離.

師:把點(diǎn)P到垂足H的距離定義為點(diǎn)P到直線l的距離,依據(jù)是什么呢?

生2:點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離,垂線段最短.

師:很好!兩點(diǎn)之間,線段最短.我們把線段長定義為兩點(diǎn)間距離;而點(diǎn)到直線,垂線段最短,我們將這個最短距離定義為點(diǎn)到直線的距離.

師:如何求線段PH的長度呢?

設(shè)計意圖從已學(xué)知識兩點(diǎn)間的距離出發(fā),引出點(diǎn)到直線的距離問題,并滲透最值思想.

2.特例引路

師:請求出圖1中點(diǎn)P到直線l的距離.(學(xué)生回答)

師:大家都算得比較快,請哪一位同學(xué)來說一下自己的方法?

生3:前兩個圖中對應(yīng)坐標(biāo)的差,圖1(c)中就是直角三角形斜邊上的高,可用面積法.

師:太棒了!原來線段PH可以有不同的表現(xiàn)形式.

設(shè)計意圖通過前兩個特例體會當(dāng)直線是水平或豎直狀態(tài)時距離的求法,并通過圖1(c)滲透面積思想.

3.模型建立

問題1如果將圖1(c)中的點(diǎn)P移動到點(diǎn)P(-1,2),你能求出此時點(diǎn)P到直線l的距離嗎?想一想,試一試!

學(xué)生活動:學(xué)生首先獨(dú)立思考、自主計算,然后小組合作探究,最后每個小組由一名學(xué)生代表展示計算法.

師:匯報的同學(xué)先跟大家分享你們的思路,然后呈現(xiàn)計算過程.同學(xué)們仔細(xì)聽,比較這些方法,你更喜歡哪一種?(學(xué)生代表匯報,教師進(jìn)行方法匯總)

生4:(展示了交點(diǎn)法的解題方法)

生5:(展示了面積法的解題方法)

如圖3,利用兩種不同方法計算同一個三角形的面積,從而求出點(diǎn)P到直線l的距離.

生6:(展示了三角法的解題方法)

構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)值比求解.

師:那么如何求它的最小值呢?

師:很好,這種方法我們稱為函數(shù)法.

設(shè)計意圖從具體問題出發(fā),遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,提高課堂教學(xué)實效,通過自主探索、交流討論激發(fā)學(xué)生思維,從不同角度認(rèn)識點(diǎn)線間的距離.

4.公式推導(dǎo)

問題2能否根據(jù)已經(jīng)獲得的四種不同方法進(jìn)一步探索更一般的情況:點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的距離?大家按小組合作討論,嘗試算一算,看你更愿意選擇那種方法,然后根據(jù)自己選擇的方法獨(dú)立推導(dǎo).

同理，由三角形面積的兩種計算公式得

師:這就是我們要推導(dǎo)的點(diǎn)到直線的距離公式.19世紀(jì)末,英國數(shù)學(xué)家約翰斯頓也是運(yùn)用面積法,從而得到公式的.你和他當(dāng)時的想法相同,有成為數(shù)學(xué)家的潛質(zhì).

師:這也是19世紀(jì)英國著名數(shù)學(xué)家托德亨特的方法,你也取得了成功,真是很棒的方法.有同學(xué)選擇其它的推導(dǎo)方法嗎?

師:雖然這樣做運(yùn)算量比較大,但是這是出現(xiàn)得較早的方法,也是很多教科書采用的方法,美國數(shù)學(xué)學(xué)者戴維斯早在1836年在《解析幾何》一書中就采用了交點(diǎn)法推導(dǎo)出點(diǎn)到直線距離公式.其實,當(dāng)我們得到點(diǎn)H的坐標(biāo)后,也就快成功了,同學(xué)們有沒有信心克服這個困難繼續(xù)算下去?請一位同學(xué)將推導(dǎo)過程寫在黑板上.

師:大多數(shù)同學(xué)都能夠化簡成功,運(yùn)算能力真強(qiáng)!還有同學(xué)沒有化簡成功的,可以在課后把它完成.

問題3同學(xué)們運(yùn)用了三種方法推導(dǎo)出距離公式,關(guān)于公式的推導(dǎo)大家還有什么疑問嗎?

生12:老師,可以利用函數(shù)法推導(dǎo)出公式嗎,怎樣推導(dǎo)?

生13:在上面四種推導(dǎo)方法中都是直線l與坐標(biāo)軸不平行.當(dāng)直線l與坐標(biāo)軸平行(即A,B中有一個為0)時,這兩種特殊情況下的距離滿足公式嗎?

生14:老師,還有更好的推導(dǎo)方法嗎?

師:其實,在數(shù)學(xué)史中還有許多巧妙的方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式,感興趣的同學(xué)還可以繼續(xù)探索新的方法,或許你會有新發(fā)現(xiàn).接下來,請同學(xué)們對本節(jié)課進(jìn)行小結(jié).

生15:本節(jié)課學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離公式,掌握了許多推導(dǎo)方法,領(lǐng)略了歷史上數(shù)學(xué)家對公式的推導(dǎo),感受到了歷史上數(shù)學(xué)家們對科學(xué)孜孜不倦的探索精神.其中的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、從函數(shù)的視角看問題等.

5.課后作業(yè)(略)

四、教學(xué)感悟

美國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因說過:“教材中定理和公理的敘述,是數(shù)學(xué)家經(jīng)歷艱苦的探索,字斟句酌的結(jié)果.”學(xué)生的學(xué)習(xí)困難具有歷史相似性,教師可以參照史料預(yù)測學(xué)生的認(rèn)知障礙,然后制定有針對性的教學(xué)策略,幫助學(xué)生跨越學(xué)習(xí)障礙,這也是HPM領(lǐng)域的重要工作之一.同時,數(shù)學(xué)史的引入,可以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展過程,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家探索問題、追求真理的智慧,同樣具有重要的教育價值.

HPM視角下的公式教學(xué),通過將史料和數(shù)學(xué)家的理性精神融入課堂,可以使學(xué)生更好地感受數(shù)學(xué)方法的演進(jìn)過程,從而加深對數(shù)學(xué)知識的理解,培養(yǎng)學(xué)生探索精神.德國著名教育學(xué)家第斯多惠說過:“教育的藝術(shù)不在于傳授知識和本領(lǐng),而在于激勵、喚醒和鼓舞.”數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維的發(fā)展過程,經(jīng)歷應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程,從而形成積極的數(shù)學(xué)情感與態(tài)度.數(shù)學(xué)教學(xué)的過程也是學(xué)生思維水平發(fā)展和提升的過程,教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生積極思考的動力,捕捉學(xué)生的思維火花,展示學(xué)生的思維成果,使學(xué)生思維得到更好的拓展,使學(xué)生綜合素質(zhì)得到更有效的提升.