劉 瓊

(浙江省衢州市第二中學,324000)

一、試題呈現(xiàn)

已知平面向量a,b,c滿足|a-b|=a·b+1,|a|=|c|=1,則|3a-b+c| 的最小值為______.

二、解法探究

又|a|=1,所以1+b2=(a·b)2+4a·b+1,整理可得b2=(a·b)2+4a·b.

所以|3a-b|2=9a2+b2-6a·b=9+[(a·b)2+4a·b]-6a·b=9+(a·b)2-2a·b.

由|a-b|=a·b+1,兩邊平方可得x2-2x+1+y2=x2+2x+1,即y2=4x.

評注解法2運用坐標法,思路清晰、計算簡潔.

解法3假設a·b<0,則a·b+1<1,-2a·b>0，結合|a|=1,可得(a-b)2=a2+b2-2a·b=b2-2a·b+1>b2+1≥1,亦即|a-b|>a·b+1.這與|a-b|=a·b+1 相矛盾,所以假設不成立,亦即a·b≥0.

若a·b>0,記向量a與b的夾角為θ,則當θ=0時,a·b+1=|a||b|cos 0+1=|b|+1=|b|+|a|>|a-b|,與|a-b|=a·b+1 相矛盾,故θ≠0.

當b=0時,點B與點O重合,而AO=OK,所以點B到定點A的距離和到定直線l的距離相等.由拋物線的定義,點B的軌跡為一條拋物線(記為C),定點A為拋物線C的焦點,定直線l為拋物線C的準線.

如圖2,以O為坐標原點建立平面直角坐標系,由AO=1,易得拋物線C的方程為y2=4x.

評注解法3根據(jù)已知條件,結合拋物線的定義,揭示了命題的幾何模型;再建立平面直角坐標系,通過代數(shù)運算推出結果,顯示了幾何與代數(shù)的完美銜接.

三、結束語

我們在向量教學的過程中,要注意突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合,讓學生充分感受數(shù)形結合思想;使學生在掌握“四基”、提高“四能”的過程中,學會有邏輯地、創(chuàng)造性地思考,形成數(shù)學的思維方式,發(fā)展理性思維,養(yǎng)成科學精神.