趙恒，萬能，張森堂，高石印

(1.中國航發(fā)沈陽黎明航空發(fā)動機有限責(zé)任公司，遼寧沈陽 110043；2.西北工業(yè)大學(xué)工業(yè)工程與智能制造工信部重點實驗室，陜西西安 710072)

0 前言

航空發(fā)動機中承載能量傳遞的關(guān)鍵零件側(cè)銑相比點銑具有取材效率高、刀具損耗小的優(yōu)點，因此在航空制造領(lǐng)域有大量研究聚焦于側(cè)銑工藝。

目前，許多研究者對保證側(cè)銑精度進(jìn)行了廣泛研究，優(yōu)化加工路徑是其中的討論熱點。但是，這些研究往往是在工藝編制的設(shè)計坐標(biāo)系中進(jìn)行計算與優(yōu)化。如果將切削路徑轉(zhuǎn)化到機床坐標(biāo)系中，機床運動軸的插補運動會引入額外的誤差。在五軸加工線性插補中，存在著刀具位置的直線逼近誤差和刀軸擺動的誤差。由于刀具位置的誤差直接影響加工精度，研究人員對刀具位置在插補中的非線性進(jìn)行了大量研究，通過補償?shù)确椒ɑ窘鉀Q了刀具位置在插補中非線性運動的問題。刀軸擺動的誤差不影響刀軸位置，因此優(yōu)化刀軸的目的是使刀軸矢量更平滑，從而保證加工質(zhì)量。樊留群等指出在通過平動軸補償?shù)毒呶恢玫姆蔷€性運動后，機床轉(zhuǎn)動軸仍然會默認(rèn)以線性插補方式進(jìn)給，造成了刀軸矢量偏離理想的線性插補，在銑削腔體內(nèi)斜面時造成較大誤差。楊旭靜等分析了刀軸矢量在插補中的非線性運動對側(cè)銑和點銑加工誤差的影響，給出了插補中刀軸最大偏差角的近似表達(dá)式，提出了通過限制相鄰刀軸矢量夾角的方法來減少刀軸最大偏差角。周玉龍針對旋轉(zhuǎn)軸運動引起的非線性誤差，通過一次試探法約束轉(zhuǎn)軸進(jìn)給速度以補償非線性誤差。高超峰對側(cè)銑加工曲面表面微結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，規(guī)劃了應(yīng)用于多齒鼓形刀的側(cè)銑加工路徑。肖海濤提出一種約束預(yù)插補和S形速度規(guī)劃的算法,保證了非線性誤差不超限以及速度、加速度的平滑變化。

本文作者分析刀軸矢量非線性插補的成因，甄別出影響因素，提出減小刀軸矢量非線性插補誤差的方法。

1 線性插補中刀軸矢量的非線性插補

圖1 BC軸機床坐標(biāo)系關(guān)系

(1)

(2)

實際機床是旋轉(zhuǎn)軸做線性插補運動，則在時刻，加工坐標(biāo)系中實際刀軸矢量()為

(3)

圖2 刀軸矢量非線性插補

刀軸偏差角越大，造成的切削誤差越大。假設(shè)側(cè)銑的有效刃長為，一次插補運動中刀軸偏差角最大值為，則插補中造成的切削誤差最大值為

=·tan

(4)

對于側(cè)銑，由于側(cè)刃的有效刃長較大，刀軸矢量非線性插補引起的加工誤差可能嚴(yán)重影響加工精度。

2 刀軸矢量的插補形式與條件

2.1 刀軸矢量非線性插補的條件

如圖3所示，在加工坐標(biāo)系中將相鄰刀軸矢量刀心點平移至原點，構(gòu)建單位球面坐標(biāo)系。在加工坐標(biāo)系中，刀軸矢量插補時在單位球面上掃掠出軌跡()?；谠撉蛎嫔系遁S矢量的掃掠軌跡，本文作者提出兩個定理：

圖3 單個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的刀軸矢量變化軌跡

定理1：如果刀軸矢量做線性插補運動，則刀軸矢量在球面的變化軌跡()是測地線。

定理2：在機床旋轉(zhuǎn)軸線性聯(lián)動的條件下，刀軸矢量在球面的變化軌跡()不是圓弧。

2.2 刀軸矢量線性插補條件

根據(jù)刀軸矢量的球面軌跡，分析機床僅有一個旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的條件下，刀軸矢量線性插補的條件。

若Δ=0或Δ=0，機床僅有一個轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)運動，此時刀軸矢量在球面的變化軌跡是圓弧，但該圓弧不一定以球心為圓心。

(5)

(6)

為0時，()為測地線，最大的刀軸偏差角為0。當(dāng)為π/2時，上界為2。給出刀軸矢量線性插補條件的定理：

定理3：機床僅有單個旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，且旋轉(zhuǎn)軸與插補始末的刀軸矢量垂直時，刀軸矢量在球面的變化軌跡()是測地線。

3 刀軸偏差角的計算

通常認(rèn)為，單次插補運動中機床旋轉(zhuǎn)軸線性進(jìn)給，所以刀軸偏差角可以通過球面軌跡的矢量積求得：

(7)

通常關(guān)注的是插補過程中最大的偏差角，設(shè)參數(shù)使得取得最大值，則有：

(8)

(9)

()=

(10)

計算偏差角的余弦：

(11)

()={(1-)++(2-2)·[sin(-)·sin(+)+cos(-)·cos(+)·cos2]}12

(12)

()=sin(-+2)·[·sin(+)+

(1-)·sin(-)]·(1-)·cos(-)·cos(2)]·(1-)·cos(-)·cos(2)]

(13)

式中：為起止刀軸矢量的平均緯度;為單次插補中機床軸轉(zhuǎn)角的12(緯度差的12);為機床軸轉(zhuǎn)角的1/2(經(jīng)度差的1/2)?？梢钥闯?刀軸偏差角與刀軸矢量在球面坐標(biāo)系中的經(jīng)度位置無關(guān),而與經(jīng)度差、緯度差及緯度位置有關(guān)。

為分析插補中刀軸的最大偏差角與參數(shù)、、的關(guān)系，構(gòu)造最大偏差角的余弦函數(shù)(,,)=cos，則(,,)的表達(dá)式為

(14)

不同的相鄰刀軸矢量對應(yīng)不同的經(jīng)緯度參數(shù)、、，因此單次插補運動中對應(yīng)最大偏差角的插補參數(shù)不同。在球面坐標(biāo)系中確定了刀軸矢量的參數(shù)、、后，需要以數(shù)值方法計算最大誤差處的插補參數(shù)，再計算(,,)，確定插補中刀軸矢量的最大偏差角。

4 刀軸矢量非線性插補誤差的優(yōu)化

4.1 刀軸最大偏差角的近似

為減小刀軸矢量非線性插補造成的誤差，文獻(xiàn)[10]的思路是限制相鄰刀軸矢量的夾角。針對限制相鄰刀位點處刀軸矢量的夾角的觀點，文中給定夾角條件下可能的參數(shù)、、的組合求解，計算(,,)?？紤]到相鄰刀軸矢量的夾角不會過大，僅計算從1°～45°的情況，的離散精度為0.05°。計算在給定刀軸矢量夾角條件下，最大偏差角余弦的下限，結(jié)果如圖4所示。

圖4 最大偏差角余弦值的下限

圖中縱坐標(biāo)為最大偏差角的余弦值在刀軸矢量夾角為定值的條件下，可能達(dá)到的下限。可以看出，余弦的下限并不是隨著刀軸矢量夾角的增加而單調(diào)減少的。因此,減少刀軸矢量的夾角既不能保證一定減少刀軸最大偏差角，也不能保證減少最大偏差角余弦值的下限。

為避免頻繁求解插補參數(shù)，對式(15)進(jìn)行近似處理。

(15)

從數(shù)值計算的角度分析，因為插補的初始和終止時刻刀軸矢量與理想狀態(tài)重合，偏差角為0，所以有(0)(0)=1、(1)(1)=1。根據(jù)數(shù)值微分公式估算函數(shù)()()在插補中間時刻的導(dǎo)數(shù)值。

忽略高階導(dǎo)數(shù)得：

(16)

因此,偏差角余弦的極值可以認(rèn)為在插補的中間時刻達(dá)到，所以插補運動中最大偏差角的余弦值可以估算為

(17)

根據(jù)式(16)在給定刀軸矢量夾角條件下，計算(,,)的下限，與式(13)的結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5所示。

圖5 F下限的估算值與實際值

實際計算中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)平均緯度小于2時，精確的的變化幅度較大，一般在0.5～0.78之間(但此時最大偏差角余弦約等于1，非線性運動造成的偏差角可以忽略)；當(dāng)平均緯度大于2時，取值接近于0.5。因此,以插補參數(shù)=0.5處的值代替準(zhǔn)確的，該近似插補參數(shù)的誤差是可以接受的。以=0.5時的偏差角代替插補過程中的最大偏差角，達(dá)到了化隱格式為顯格式的目的。

4.2 優(yōu)化方程的建立

文中的優(yōu)化思路是在不改變設(shè)計坐標(biāo)系中刀軸位置方向的前提下，對設(shè)計坐標(biāo)系DCS和加工坐標(biāo)系WCS的相對姿態(tài)進(jìn)行調(diào)整，達(dá)到優(yōu)化非線性誤差的目的,使考慮了刀軸矢量非線性插補的加工效果，更貼近不考慮刀軸矢量非線性插補的理論加工效果。

如圖6所示，若將設(shè)計坐標(biāo)DCS相對加工坐標(biāo)系WCS進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，令設(shè)計坐標(biāo)系與加工坐標(biāo)系方向不再一致，相對加工坐標(biāo)系變換的刀位點和刀軸矢量集合稱為優(yōu)化后的加工路徑。可以看出,旋轉(zhuǎn)前后的相鄰刀軸矢量夾角不變，但是它在加工坐標(biāo)系的坐標(biāo)發(fā)生變化，經(jīng)緯度參數(shù)、、也發(fā)生改變。下面分析給定夾角條件下，相鄰刀軸矢量的經(jīng)緯度參數(shù)關(guān)系。

圖6 旋轉(zhuǎn)設(shè)計坐標(biāo)系相對加工坐標(biāo)系的方向

(18)

圖7 刀軸矢量夾角對經(jīng)緯度的限制

(19)

給定相鄰刀軸矢量夾角的條件下，和的值域滿足式(18)與(19)，因此式(18)可以化為

(20)

式(20)中需要滿足式(19)中對夾角的要求。

將最大偏差角余弦對平均緯度求導(dǎo)：

(21)

式(21)的正負(fù)性難以直接判斷，因此對從1°～45°的?/?導(dǎo)數(shù)進(jìn)行遍歷，經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)?/?的值均小于等于零。以為30°的情況為例，?/?的值分布如圖8所示，刀軸矢量夾角為其他值時導(dǎo)數(shù)有類似的分布。這說明最大偏差角的余弦隨著刀軸矢量平均緯度的增加而減少，即刀軸矢量的平均緯度越高，最大偏差角越大。

圖8 最大偏差角余弦對a的導(dǎo)數(shù)(θ=30°)

再分析最大偏差角余弦對緯度差1/2的導(dǎo)數(shù)，將對求導(dǎo)，表達(dá)式如下：

(22)

對式(22)在定義域內(nèi)進(jìn)行遍歷計算，當(dāng)>0時，經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)大于0，因此隨著緯度差的增加余弦值增加，最大偏差角減??；當(dāng)<0時，導(dǎo)數(shù)小于0，緯度差減小(絕對值增大)，余弦值增加，最大偏差角減少。

根據(jù)上面的分析，為減少刀軸矢量非線性插補引起的誤差，提出兩種優(yōu)化策略：(1)降低刀軸矢量的平均緯度；(2)增加刀軸矢量緯度差。同時，這兩種優(yōu)化策略也會導(dǎo)致刀軸矢量的經(jīng)度差絕對值減小。

分析緯度差2和平均緯度對最大偏差角的影響，結(jié)果如圖9所示。在刀軸矢量夾角為定值的條件下，計算不同平均緯度對應(yīng)的最大偏差角上下限。

圖9 不同平均緯度對應(yīng)的最大偏差角的極值

從圖9中可以看出：由于平均緯度的變化范圍較大，在刀軸矢量夾角固定時對最大偏差角的影響比較顯著；而刀軸矢量夾角通常較小，因此相鄰刀軸矢量緯度差變化范圍較小，最大偏差角的上下限比較接近。對側(cè)銑刀軸矢量經(jīng)緯度參數(shù)的優(yōu)化，重點在于降低刀軸矢量的平均緯度。

因為軸旋轉(zhuǎn)對刀軸矢量的經(jīng)緯度參數(shù)沒有影響，所以令優(yōu)化非線性誤差的旋轉(zhuǎn)為設(shè)計坐標(biāo)系繞加工坐標(biāo)系軸和的旋轉(zhuǎn)，令和分別表示繞各軸的旋轉(zhuǎn)量，則刀軸矢量坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

(23)

以該旋轉(zhuǎn)變換矩陣作用于設(shè)計坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)后規(guī)劃的刀軸矢量在加工坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(24)

(25)

(26)

(27)

采用數(shù)值方法求出滿足式(27)的旋轉(zhuǎn)角度和，并做相應(yīng)的姿態(tài)調(diào)制。由于該優(yōu)化過程不改變設(shè)計坐標(biāo)系中刀具與模型的相對位置關(guān)系，對不考慮刀軸非線性插補的理論加工誤差沒有影響，僅使考慮刀軸非線性插補的加工效果更加接近理想的加工效果。

5 實驗

如圖10所示，對一個樣條自由曲面規(guī)劃了兩行側(cè)銑加工路徑。根據(jù)加工路徑中刀軸矢量在球面坐標(biāo)系的分布情況，對路徑進(jìn)行優(yōu)化，比較優(yōu)化前后的加工效果。

圖10 樣條曲面?zhèn)茹娛疽?/p>

將所有的刀軸矢量繪制于球面坐標(biāo)系內(nèi)，如圖11所示?？梢钥闯觯簝?yōu)化前刀軸矢量基本分布于北極附近，其平均緯度較大，若直接進(jìn)行后處理，則機床軸轉(zhuǎn)角變化將會過于劇烈，造成加工誤差嚴(yán)重偏離理論值。

圖11 優(yōu)化前后刀軸矢量的球面分布

根據(jù)提出的優(yōu)化方法，將設(shè)計坐標(biāo)系相對加工坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，降低刀軸矢量的平均緯度。優(yōu)化加工路徑后的刀軸矢量在球面中的分布如圖11中紅色點云。通過旋轉(zhuǎn)變換，刀軸矢量在球面上的平均緯度基本位于零度緯線，因此預(yù)測機床軸的轉(zhuǎn)角變化會比較平緩。

將優(yōu)化前后的側(cè)銑加工路徑用后置處理程序進(jìn)行處理。機床轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角的變化情況如圖12所示。繪制的轉(zhuǎn)角的時間范圍從主軸旋轉(zhuǎn)后切削材料開始，至離開加工位置退刀結(jié)束(單次進(jìn)給圖線中，中斷的點位表示第二行加工路徑開始)。可知：機床軸和軸的轉(zhuǎn)動幅度在優(yōu)化后大幅降低，優(yōu)化前機床軸變化范圍大部分在±50°之間，并存在一個單次-150°以上的轉(zhuǎn)角突變；優(yōu)化后，軸轉(zhuǎn)動幅度約在±5°之間，最大轉(zhuǎn)角僅15°，機床轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動光順性明顯提升。

圖12 優(yōu)化前后機床轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角對比

在實際的加工中，加工路徑優(yōu)化前后得到的加工結(jié)果如圖13所示。

圖13 優(yōu)化前后曲面的側(cè)銑樣件

從實驗樣件的加工效果看，未優(yōu)化加工路徑的樣件，由于機床轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動幅度較大，引起了刀軸在插補中劇烈的非線性擺動，加工質(zhì)量較差，因此實際加工效果與理論效果差異明顯。在圖13(a)中可以明顯看到啃切和振紋等加工缺陷。優(yōu)化加工路徑后，機床轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角的波動程度大幅度降低，減少了刀軸的非線性擺動，因此沒有啃切和振紋，曲面?zhèn)茹姷膶嶋H效果基本與仿真結(jié)果一致。2個樣件使用的加工路徑相對于設(shè)計模型的刀位軌跡是相同的，區(qū)別在于設(shè)計坐標(biāo)系相對加工坐標(biāo)系的姿態(tài)不同。

6 結(jié)論

(1)機床轉(zhuǎn)軸線性插補條件下，刀軸矢量的非線性插補誤差會對側(cè)銑造成加工偏差，偏差大小與側(cè)銑的有效刀長以及刀軸最大偏差角正相關(guān)。刀軸矢量的非線性插補誤差對刀心位置沒有影響，因此對點銑加工偏差影響有限。

(2)機床轉(zhuǎn)軸線性聯(lián)動時，刀軸矢量一定非線性插補。僅有單個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，刀軸矢量線性插補的條件是轉(zhuǎn)軸與相鄰刀軸矢量垂直，等價的球面經(jīng)緯度條件是相鄰刀軸矢量僅存在緯度差，或者共零度緯線。

(3)單次插補中刀軸矢量的最大偏差角僅與相鄰刀軸矢量在球面坐標(biāo)系下的平均緯度、緯度差和經(jīng)度差有關(guān)。

(4)相鄰刀軸矢量的夾角大小與刀軸的最大偏差角沒有直接的單調(diào)關(guān)系。限制相鄰刀軸矢量夾角無法達(dá)到控制刀軸矢量非線性插補誤差的目的。

(5)減少相鄰刀軸矢量的平均緯度或增加相鄰刀軸矢量的緯度差，均可以減少刀軸最大偏差角。

(6)實際的側(cè)銑加工中，通過改變設(shè)計坐標(biāo)系相對加工坐標(biāo)系的姿態(tài)，可以優(yōu)化側(cè)銑加工路徑中刀軸矢量的平均緯度，能夠減少機床轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動幅度，進(jìn)而減少刀軸矢量非線性插補導(dǎo)致的誤差，使實際加工效果更貼近不考慮刀軸非線性插補的理論加工效果。