李淋，蔡站文，楊勇，李建剛

(1.重慶理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400054；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣東深圳 518055)

0 前言

隨著機(jī)床設(shè)計(jì)與制造技術(shù)日趨成熟與完善，熱誤差已經(jīng)成為數(shù)控加工設(shè)備最大誤差源，制約其加工精度的進(jìn)一步提升。因此，近年來數(shù)控加工設(shè)備的熱誤差建模理論逐漸成為國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。周寶倉、DAI等針對(duì)大型數(shù)控磨齒機(jī)，通過建立磨齒機(jī)熱誤差試驗(yàn)平臺(tái)，研究砂輪與工件軸的徑向熱誤差隨溫度變化的關(guān)系，揭示成形磨齒機(jī)熱誤差與溫度之間的關(guān)系。YANG、LIU等針對(duì)干式滾齒機(jī)的熱變形誤差特征，利用灰狼優(yōu)化算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了誤差補(bǔ)償模型，泛化性良好。苗恩銘、WEI、LIU等采用多種算法建立了Leaderway V-450數(shù)控加工中心關(guān)鍵點(diǎn)的溫度和主軸向的熱變形量預(yù)測(cè)模型，大幅提升了熱誤差穩(wěn)健性。目前，國內(nèi)外對(duì)數(shù)控插齒機(jī)的研究主要集中在幾何誤差和回轉(zhuǎn)誤差，并取得了較好的成果和發(fā)展，然而，對(duì)數(shù)控插齒機(jī)床進(jìn)行熱誤差建模的研究卻很少。為此，本文作者以YKS5132DX3型數(shù)控插齒機(jī)為試驗(yàn)對(duì)象，研究其熱誤差規(guī)律及建模方法。

基于數(shù)控插齒機(jī)固有的主軸進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)帶來的傳動(dòng)間隙，在加工齒輪的過程中隨著溫度的上升間隙增大，進(jìn)而產(chǎn)生波動(dòng)性的熱變形，提出一種熱誤差模塊化建模方法。因特性曲線不同，對(duì)于傳統(tǒng)的熱誤差曲線，綜合應(yīng)用常規(guī)的模糊聚類與灰色關(guān)聯(lián)度理論進(jìn)行溫度敏感點(diǎn)的選擇，同時(shí)利用多元線性回歸模型建立熱誤差補(bǔ)償模型。對(duì)于模塊化建模方法，選取均值平滑法處理熱誤差曲線；與傳統(tǒng)的建模方法進(jìn)行比對(duì)，驗(yàn)證所提建模方法的穩(wěn)健性。

1 溫度敏感點(diǎn)的選擇理論及回歸模型

熱誤差建模包括溫度敏感點(diǎn)的選擇和建模算法兩項(xiàng)關(guān)鍵理論。溫度敏感點(diǎn)即熱誤差模型的輸入變量，對(duì)提升模型的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)健性起著決定性作用。為減小溫度敏感點(diǎn)之間的共線性和提升溫度敏感點(diǎn)與熱誤差之間的關(guān)聯(lián)性，依據(jù)傳統(tǒng)的模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度的敏感點(diǎn)優(yōu)化方法，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行溫度敏感點(diǎn)的篩選及分析，并運(yùn)用多元線性回歸算法建立熱誤差與溫度敏感點(diǎn)之間的函數(shù)關(guān)系。

1.1 溫度敏感點(diǎn)優(yōu)化方法

(1)模糊聚類

①采用相關(guān)系數(shù)法建立溫度測(cè)點(diǎn)模糊聚類相似矩陣=[]×，,=1,2,…,(為溫度測(cè)量點(diǎn)數(shù))，表示第個(gè)和第個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)之間的相關(guān)系數(shù)，計(jì)算公式為

(1)

式中：為離散的測(cè)量時(shí)間點(diǎn)；為試驗(yàn)數(shù)據(jù)長度。

→→()→…→2

(2)

(2)灰色關(guān)聯(lián)度

在系統(tǒng)發(fā)展過程中，如果兩個(gè)因素變化的態(tài)勢(shì)是一致的，即同步變化程度較高，則可以認(rèn)為兩者關(guān)聯(lián)度較大；反之，則兩者關(guān)聯(lián)度較小。文中采用鄧氏關(guān)聯(lián)度計(jì)算公式，即:

(3)

式中：代表熱誤差；代表第個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)觀測(cè)值；()、()分別代表熱誤差和第個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)的第個(gè)觀測(cè)值；(,)為熱誤差和第個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)之間的灰色關(guān)聯(lián)度，由各個(gè)觀測(cè)值的關(guān)聯(lián)度[(),()]求平均值而來。[(),()]計(jì)算公式如下：

[(),()]=

(4)

式中:為分辨系數(shù)，∈[0，1]，一般取=0.5。

根據(jù)以上公式計(jì)算出數(shù)控機(jī)床熱誤差與各個(gè)溫度點(diǎn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)度。關(guān)聯(lián)度越大，說明該溫度點(diǎn)變化趨勢(shì)和熱誤差相似程度較大。選用每類中關(guān)聯(lián)度最大的傳感器作為溫度敏感點(diǎn)參與熱誤差建模。

根據(jù)模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度相結(jié)合的方法，最終確定、軸兩個(gè)方向熱誤差對(duì)應(yīng)的溫度敏感點(diǎn)分別為、，、。

1.2 多元線性回歸模型

多元線性回歸是研究一個(gè)因變量與多個(gè)自變量之間相關(guān)關(guān)系的模型，在工程應(yīng)用中被國內(nèi)外學(xué)者大量使用，也是數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償控制技術(shù)中常使用的預(yù)測(cè)模型建模方法。根據(jù)機(jī)床的熱誤差實(shí)際情況，建立以多個(gè)關(guān)鍵溫度敏感點(diǎn)測(cè)量的溫度增量為自變量，以熱變形量為因變量的熱誤差模型，其通用公式為

=+1+2+…++

=1,2,…,

(5)

式中:(1,2,…,)為關(guān)鍵溫度敏感點(diǎn)溫度測(cè)量增量值;(，，…，)為溫度變量的系數(shù);為熱變形量;為與實(shí)際測(cè)量值存在的偏差，也稱殘差。

2 數(shù)控插齒機(jī)床熱誤差試驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 試驗(yàn)方案

為避免錯(cuò)過溫度敏感點(diǎn)，溫度傳感器應(yīng)盡量布置在熱源附近且盡可能多地布置。為此采用熱像儀對(duì)數(shù)控插齒機(jī)的工作溫度進(jìn)行測(cè)量，再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)插齒機(jī)可能的溫度敏感點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。本文作者對(duì)YKS5132DX3數(shù)控插齒機(jī)主軸、向進(jìn)行熱誤差測(cè)量試驗(yàn)，各傳感器的安放位置及作用如表1所示，具體分布位置如圖1所示。

表1 傳感器安放位置

圖1 傳感器安放位置

2.2 試驗(yàn)安排

測(cè)量時(shí)，工作臺(tái)轉(zhuǎn)速設(shè)定為500 r/min，主軸以恒定的進(jìn)給速度380 mm/min作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，每完成一個(gè)循環(huán)(約3.5 min)主軸停轉(zhuǎn)15 s，以測(cè)量主軸、向熱誤差，并通過溫度測(cè)量系統(tǒng)采集該時(shí)刻的溫度數(shù)據(jù)，測(cè)量試驗(yàn)持續(xù)時(shí)間均達(dá)7 h以上。

在室內(nèi)無空調(diào)狀況下一共進(jìn)行了兩批次試驗(yàn)，結(jié)果如表2所示，熱誤差曲線如圖2所示。以K1批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，圖3給出了各溫度點(diǎn)的溫度曲線。

表2 各試驗(yàn)批次主軸轉(zhuǎn)速和環(huán)境溫度

圖2 K1、K2批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的熱誤差曲線 圖3 K1批次試驗(yàn)測(cè)溫點(diǎn)溫度

3 熱誤差模型建立與預(yù)測(cè)精度分析

以、軸方向熱誤差為例，利用多元線性回歸模型，分別采用傳統(tǒng)方法和模塊化方法對(duì)該方向熱誤差進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)精度分析，驗(yàn)證模塊化建模方法的穩(wěn)健性。

預(yù)測(cè)殘余標(biāo)準(zhǔn)差的大小用于表示擬合或預(yù)測(cè)精度，殘余標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明擬合或預(yù)測(cè)誤差越小，精度越高。其計(jì)算公式為

(6)

3.1 傳統(tǒng)熱誤差建模方法

將敏感點(diǎn)溫度代入多元線性回歸算法進(jìn)行建模，結(jié)合2批次、方向上的數(shù)據(jù)建立模型1、1、2、2。

1：=7.23+5.87-0.4

2：=7.62+5.21+0.42

1：=-4.97-3.10+0.46

2：=-6.99-2.66+0.83

基于、和、代入多元線性回歸算法建立的各批次模型，相互預(yù)測(cè)的殘余標(biāo)準(zhǔn)差如表3所示，其中擬合看成模型對(duì)自身的預(yù)測(cè)。用多元線性回歸模型對(duì)K1批次試驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如圖4所示。

表3 傳統(tǒng)建模方法的多元線性回歸模型的預(yù)測(cè)殘余標(biāo)準(zhǔn)差 單位:μm

圖4 模型R1x在主軸x、y方向上的熱誤差預(yù)測(cè)值

3.2 模塊化熱誤差建模方法

針對(duì)數(shù)控插齒機(jī)固有的結(jié)構(gòu)引起的波動(dòng)性的熱變形，采用簡單實(shí)用的平均法對(duì)圖3所示的熱誤差曲線進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，對(duì)處理后的數(shù)據(jù)采用傳統(tǒng)的建模方法。

計(jì)算公式為

(7)

式中：～為熱誤差測(cè)量值；()～()為數(shù)據(jù)處理之后的熱誤差值。

根據(jù)式(7)，得到各批次試驗(yàn)處理后的熱誤差數(shù)據(jù)如圖5所示。

圖5 各批次試驗(yàn)x、y向數(shù)據(jù)處理前后對(duì)比

將敏感點(diǎn)溫度代入多元線性回歸算法進(jìn)行建模，結(jié)合2批次、方向上的數(shù)據(jù)建立模型′1、′1、′2、′2。

′1：=7.40+5.65-0.28

′2：=7.65+5.16+0.22

′1：=-4.96-3.09+0.43

′2：=-6.98-2.64+0.74

基于、和、代入多元線性回歸算法建立的各批次模型，對(duì)K1、K2批次、方向處理前的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，相互預(yù)測(cè)的殘余標(biāo)準(zhǔn)差如表4所示，其中擬合看成模型對(duì)自身的預(yù)測(cè)。

表4 模塊化建模方法的多元線性回歸模型的預(yù)測(cè)殘余標(biāo)準(zhǔn)差 單位:μm

從表3和表4可以得出以下結(jié)論:

(1)兩種建模方法對(duì)主軸向的預(yù)測(cè)殘余標(biāo)準(zhǔn)差都很穩(wěn)定，相差不超過1 μm，說明模型1、2、′1、′2具有穩(wěn)健性。

(2)對(duì)于主軸向來說，模型2、′2對(duì)K1批次的預(yù)測(cè)殘余標(biāo)準(zhǔn)差(4.42、4.48 μm)比模型1、′1對(duì)K2批次的預(yù)測(cè)殘余標(biāo)準(zhǔn)差(1.99、1.98 μm)約高3 μm。說明利用K1批次建立的模型對(duì)K2批次的穩(wěn)健性比利用K2批次建立的模型對(duì)K1批次的穩(wěn)健性較差。

(3)對(duì)于K1批次，模塊化建模方法的模型′2的預(yù)測(cè)殘余標(biāo)準(zhǔn)差(7.68 μm)低于傳統(tǒng)建模方法模型2的預(yù)測(cè)殘余標(biāo)準(zhǔn)差(7.73 μm)。

3.3 穩(wěn)健性精度分析

根據(jù)K1、K2的溫度數(shù)據(jù),用上述模型對(duì)數(shù)控機(jī)床主軸在、方向熱誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)。

模型對(duì)主軸向的預(yù)測(cè)殘余值的分布范圍如表5所示。

表5 K1批次數(shù)據(jù)在主軸x方向的預(yù)測(cè)殘余值分布范圍

模型對(duì)主軸向的預(yù)測(cè)殘余值的分布范圍如表6所示。

表6 K1批次數(shù)據(jù)在主軸y方向的預(yù)測(cè)殘余值分布范圍

由表5、表6可知：

(1)傳統(tǒng)建模方法在主軸向的預(yù)測(cè)殘余值分布范圍在0～12 μm 的概率(90%)大于模塊化建模方法的概率(89%)，模塊化預(yù)測(cè)殘余值在不同范圍的分布較均勻，說明模塊化建模方法具有較高穩(wěn)健性。

(2)傳統(tǒng)建模方法在主軸向的預(yù)測(cè)殘余值分布范圍在0～8 μm 的概率(96%)大于模塊化建模方法的概率(95%)，模塊化預(yù)測(cè)殘余值在不同范圍的分布較均勻，說明模塊化建模方法具有較高穩(wěn)健性。

4 結(jié)論

(1)針對(duì)數(shù)控插齒機(jī)固有的主軸進(jìn)給系統(tǒng)出現(xiàn)熱誤差波動(dòng)性熱變形，采用平均法處理數(shù)據(jù)，并提出模塊化建模方法，以模糊聚類方法和多元線性回歸建立了誤差補(bǔ)償模型。與傳統(tǒng)建模方法相比較，模塊化建模方法模型的穩(wěn)健性得到了有效提升。

(2)模塊化建模方法具有積極理論意義及較好前景，計(jì)劃將此模塊化補(bǔ)償方法在五軸機(jī)床中進(jìn)行應(yīng)用和驗(yàn)證，同時(shí)針對(duì)不同型號(hào)機(jī)床的特殊性進(jìn)行分析，將模塊化處理方法推廣應(yīng)用。