董伯麟，何文杰

（合肥工業(yè)大學機械工程學院，安徽 合肥 230009）

1 引言

NURBS曲線作為一種參數(shù)曲線，可以表示大部分自由曲線，同時對該曲線也能實現(xiàn)高速高精度插補。目前為得到插補點的曲線參量，一般使用泰勒展開近似方法[1-2]。然而，這種方法簡化時省略了高階項，會產(chǎn)生截斷誤差，加劇插補速度的波動。文獻[3]采用對分法計算插補點曲線參量。

文獻[4]基于泰勒展開方法，提出了一種自適應(yīng)速度插補方法，使插補速度根據(jù)弦誤差和插補點曲率自適應(yīng)地變化。文獻[5]在自適應(yīng)速度插補方法基礎(chǔ)上，利用S型速度軌跡來限制加速度和加加速度，同時滿足機床最大速度要求。文獻[6]提出了一種具有相對完整的速度軌跡規(guī)劃的NURBS插補算法，采用S形加速度軌跡曲線來實現(xiàn)加速度和加加速度的限定要求。文獻[7]提出了采用S型加減速雙向同步進行的插補算法，該算法簡單高效。

另一方面，一些文獻考慮相鄰敏感點之間速度軌跡規(guī)劃的交叉情況。文獻[8]早期考慮了進給速度的波紋效應(yīng)，然后提出了進給速度軌跡規(guī)劃交叉的分類方法以及速度軌跡的擬合方法，但不夠具體。文獻[9]也提出了相鄰敏感點速度軌跡規(guī)劃交叉的解決方法，也沒有具體分類。

因此，目的是處理相鄰敏感點之間的速度規(guī)劃。首先，由G1和G2不連續(xù)的斷點和大曲率的關(guān)鍵點將NURBS曲線分段。采用S型加速度軌跡曲線得到更為平滑的速度軌跡，以減緩在曲線段連接處的速度波動。此外，提出了相鄰敏感點之間的速度軌跡規(guī)劃交叉的全部分類及對應(yīng)的判定條件，同時針對每種類型進行速度軌跡規(guī)劃。另外，考慮當前和下一插補敏感點區(qū)域的速度軌跡規(guī)劃可能的情況，提出了整條曲線的速度軌跡規(guī)劃方法。

2 NURBS插補

2.1 NURBS曲線定義

一條p階的NURBS曲線C（u）定義如下[10]：

式中：｛Pi｝—控制點序列；｛wi｝—權(quán)因子；Ni，p（u）—第 i個 p 次 B樣條基函數(shù)，它定義在非均勻節(jié)點矢量U=｛0，…，0，up+1，…，um-p-1，1，…,1｝上，其表達式定義如下：

由給定的曲線參量u，通過上式即可求出對應(yīng)點。在求解NURBS曲線導矢時可采用文獻[10]的方法。

2.2 NURBS曲線插補

計算插補點曲線參量一般使用泰勒展開近似方法。假設(shè)ti時刻對應(yīng)的曲線參量為ui，則ti+1時刻的參量ui+1為：

式中：Ts—插補周期。

經(jīng)推導，曲線參量u的二階泰勒公式展開如下：

式中：A（ti）—ti時刻加速度；C′（ui）—NURBS曲線一階導數(shù)；C″（ui）—NURBS曲線二階導數(shù)。

2.3 弦誤差受限的自適應(yīng)速度

通過采取圓弧近似的方法，進給速度根據(jù)弦誤差和曲線曲率自適應(yīng)的變化[4]：

式中：V（ti）—自適應(yīng)進給速度；ρi—曲線曲率；δmax—最大允許弦誤差，ρi計算公式如下：

3 前瞻模塊

3.1 敏感點搜索

在工件加工到速度敏感點時，進給速度會產(chǎn)生劇烈波動，使得加工質(zhì)量產(chǎn)生惡化。速度敏感點包括斷點（G0連續(xù)，G1不連續(xù)點和G1連續(xù)，G2不連續(xù)點）和大曲率的關(guān)鍵點。第一類斷點和部分第二類斷點位于節(jié)點處，可以在節(jié)點矢量中尋找[10]，非節(jié)點處的第二類斷點可以通過粗插補的方法尋找曲線曲率突變的點。判據(jù)如下：

式中：ρi—第i個插補點的曲率半徑。

尋找關(guān)鍵點重點是確定曲線關(guān)鍵曲率。首先搜索曲率極大值的點作為備選關(guān)鍵點，再從從備選點中篩選出滿足條件Vkr

Vkr=min）是根據(jù)弦誤差和向心加速度的限制得到的修改的進給速度。

3.2 NURBS曲線段弧長計算

根據(jù)前瞻得到的信息，兩個相鄰敏感點之間曲線段的弧長就能夠被近似計算：

式中：S（l）—整個曲線第l段的弧長；NBλ—該段第λ個敏感點所對應(yīng)的插補點的下標。

4 速度軌跡規(guī)劃和加減速

4.1 速度軌跡曲線

S型加速度軌跡曲線[9]使得加速度平滑變化，而加加速度也呈梯形變化，同時滿足限定要求，得到的速度軌跡也更加平滑。所以利用文獻[9]中提到的S型加速度軌跡曲線進行速度規(guī)劃，如圖1所示。

圖1 S型加速度軌跡曲線Fig.1 S-Shaped Acceleration Profile

4.2 速度軌跡規(guī)劃交叉

4.2.1 速度軌跡規(guī)劃交叉類型

當NURBS曲線兩相鄰敏感點之間的弧長較小時，進給速度就不能加速至最大速度。即兩敏感點的速度軌跡規(guī)劃出現(xiàn)交叉。具體分為以下七類。

圖2 速度軌跡規(guī)劃交叉類型Fig.2 Intersection Types of Feedrate Scheduling

4.2.2 相鄰敏感點區(qū)域速度軌跡規(guī)劃

針對這些類型在進行速度軌跡規(guī)劃時可分為以下五類：

規(guī)劃1：速度軌跡規(guī)劃不交叉，如圖2（a）所示。

進給速度加速至速度限定值Vm，勻速行進至減速點后減速。

規(guī)劃2：起始敏感點的加速和終止敏感點的減速階段交叉，如圖 2（b）、圖 2（i）所示。

這兩種類型速度軌跡規(guī)劃類似，進給速度加速到某一速度值后減速。在尋找該中間速度時使用文獻[8]中的二分法。

規(guī)劃3：起始敏感點的加速和終止敏感點的加速階段交叉，如圖 2（d）所示。

（1）計算以起始敏感點的自適應(yīng)速度開始，按照S型加速度軌跡曲線規(guī)律加速，刀具行進至終止敏感點時對應(yīng)速度。

（2）若該速度大于終止敏感點的自適應(yīng)速度，則可以加速至該速度后保持勻速至終止敏感點，如圖3（a）所示。若小于終止敏感點自適應(yīng)速度，則將原終止敏感點自適應(yīng)速度調(diào)整為該速度（該速度小于原自適應(yīng)速度，故弦誤差滿足要求），采用S型加速度軌跡曲線加速，如圖3（b）所示。

規(guī)劃4：起始敏感點的減速和終止敏感點的減速階段交叉，如圖 2（g）所示。

該類型與類型 3 類似，兩種情況分別，如圖 3（c）、圖 3（d）所示。

規(guī)劃5：一敏感點速度軌跡規(guī)劃包含另一敏感點速度軌跡規(guī)劃，如圖 2（e）、圖 2（f）所示。

把被包含的敏感點從敏感點序列中剔除。

圖3 相鄰敏感點區(qū)域速度軌跡規(guī)劃Fig.3 Feedrate Scheduling of Adjacent Sensitive Points Region

4.2.3 整條NURBS曲線的速度軌跡規(guī)劃

上節(jié)只是考慮相鄰敏感點區(qū)域速度軌跡規(guī)劃，插補時當前插補敏感點區(qū)域和下一插補敏感點區(qū)域的速度軌跡規(guī)劃會相互作用。在當前插補敏感點區(qū)域，首先判斷速度軌跡規(guī)劃交叉類型，并選擇對應(yīng)速度軌跡規(guī)劃方法，與此同時判斷下一插補敏感點區(qū)域速度軌跡規(guī)劃交叉類型及對應(yīng)方法。如果下一插補敏感點區(qū)域交叉類型為2-3，且需要調(diào)整起始敏感點的自適應(yīng)速度，則需要對當前插補敏感點區(qū)域重新進行交叉類型判別。若交叉類型為3-2，則起始敏感點被剔除，需要重新對新的當前插補敏感點區(qū)域和下一插補敏感點區(qū)域進行交叉類型判別。

當前插補敏感點區(qū)域速度軌跡規(guī)劃交叉只會出現(xiàn)類型1，2-1或2-4，2-2，2-3，3-1這幾種情況。而類型3-1只可能出現(xiàn)在曲線第一個相鄰敏感點區(qū)域。其他相鄰敏感點區(qū)域不可能出現(xiàn)3-1，3-2的情況，因為每次當前插補敏感點區(qū)域交叉類型判別時，都會進行下一插補敏感點區(qū)域交叉類型判別，若出現(xiàn)3-1或3-2的情況，其起始或終止敏感點都會被剔除，所以不可能出現(xiàn)這兩種類型。

當下一插補敏感點區(qū)域為該插補曲線最后一個曲線段時，此時終止敏感點的自適應(yīng)速度為0，交叉類型只可能是1，2-3，2-4，3-2。對于類型 1，2-3，2-4，仍采用其原速度軌跡規(guī)劃方法，而類型3-2，則按照類型2-3的方法進行速度軌跡規(guī)劃，若出現(xiàn)起始敏感點的自適應(yīng)速度調(diào)整，則還要對當前插補敏感點區(qū)域重新進行交叉類型判別。

5 算法實例驗證

5.1 葉型曲線

下面以一條3次葉型NURBS曲線為例，如圖4所示。通過仿真驗證提出的基于相鄰敏感點區(qū)域速度軌跡規(guī)劃插補算法，檢驗其在速度平滑和運動學、動力學性能上的優(yōu)越表現(xiàn)。

該曲線的控制點、權(quán)因子、節(jié)點矢量信息如下：

圖4 葉型曲線Fig.4 Leaf-Shaped NURBS Curve

其弦誤差和運動學限定要求，如表1所示。

表1 弦誤差和運動學限定要求Tab.1 Chord Error and Parameters of Kinematic Constraints

5.2 算法分析

通過前瞻模塊可知，該曲線存在著很多曲率極大值點且距離較近，可能會出現(xiàn)相鄰敏感點區(qū)域速度軌跡規(guī)劃交叉。后面利用該曲線對這里算法和自適應(yīng)速度算法進行了比較。

在分別比較了自適應(yīng)速度算法和提出算法的弦誤差和速度軌跡之后，如圖5（a）、圖5（b）所示。可看出采用這里算法后速度軌跡更加平滑，滿足了弦誤差和進給速度的限定要求。在分別比較了兩種算法的加速度和加加速度之后，如圖5（c）、圖5（d）所示?？煽闯霾捎眠@里算法后加速度軌跡也更平滑，同時保證了加速度限定要求。加加速度是梯形曲線變化，也保證了加加速度的限定要求。

圖5 這里算法與自適應(yīng)速度算法各參數(shù)對比Fig.5 Parameters Comparison Between Adaptive Algorithm and the Proposed Algorithm

6 結(jié)論

針對NURBS插補中弦誤差、速度、加速度及加加速度的限定要求，以及可能出現(xiàn)的速度、加速度及加加速度突變的問題，從速度規(guī)劃的角度考慮，對相鄰敏感點區(qū)域速度軌跡規(guī)劃進行了深入研究，以實現(xiàn)速度軌跡和加速度軌跡更加平滑，加加速度無突變，同時保證弦誤差、速度、加速度、加加速度的限定要求。仿真結(jié)果表明，該算法得到的速度軌跡曲線平滑，加速度軌跡曲線呈S型變化，加加速度軌跡曲線呈梯形變化，同時都在限定范圍之內(nèi)，滿足了機床加工的運動學和動力學要求。