劉啟函，葉國菊，劉尉*，趙大方

（1.河海大學理學院，江蘇 南京 210098；2.湖北師范大學數學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002）

自1982 年PAWLAK[1]提出粗糙集后，粗糙集理論已在機器學習、數據分析與決策等眾多領域得到應用。經典粗糙集只能處理屬性為精確值的信息系統(tǒng)，但實際應用往往具有模糊性、不確定性等特點，用單一的數值形式并不能準確表達對象間的關系，導致經典粗糙集難以處理這些問題。因此，2002 年Liu[2]結合粗糙集與區(qū)間數，提出區(qū)間粗糙數的概念。區(qū)間粗糙數是利用上、下近似區(qū)間來描述數據的不確定性，比粗糙集更精準，更貼近實際，自2010 年，研究者已將區(qū)間粗糙數與TOPSIS、D-S 證據理論等多種方法和模型融合，在決策等領域中取得豐碩成果[3-8]。

多準則群體決策是決策科學中的熱點研究領域，為在決策時避免因單個決策者的失誤而導致決策錯誤，只有依賴各領域專家組成的多人決策進行群體決策，對此已有區(qū)間數[9]、區(qū)間直覺模糊數[10]等形式對其進行廣泛研究。區(qū)間粗糙數作為處理不確定性問題的新型數學工具，針對區(qū)間粗糙數環(huán)境下的多準則群體決策值得深入研究。特別地，2011年王堅強等[11]引入區(qū)間粗糙算子，在確定決策準則的權重系數時應用區(qū)間粗糙數來處理模糊性；2016 年Zheng等[12]將區(qū)間粗糙數運用于開發(fā)混合質量功能展開（QFD）模型；2017 年Pamu?ar[13]基于區(qū)間粗糙數建立DEMATEL-ANP-MAIRCA混合模型解決群體多目標決策的新方法；2019 年Stevi?等[14]將區(qū)間粗糙數和簡單加權法結合對供應商選擇的多準則決策的問題進行處理，均得到較好的結果。但在現(xiàn)實情況中，方案間的相關性是實際決策需要考慮的關鍵之一，已有的研究中發(fā)現(xiàn)，大部分模型在求解準則權重時僅考慮了準則間的聯(lián)系，忽視方案間的相關性。因此，本文利用面積比的思想提出一種新的區(qū)間粗糙數相似度公式，以描述方案間的聯(lián)系，建立模型求解準則權重。本文中的相似度公式將上下近似區(qū)間的半徑和中心點距離考慮在內，減少擾動，同時不需要專家的主觀權重，計算更簡便，結果更客觀。

值得注意的是，在2019 年Cheng[15]等研究區(qū)間粗糙數信息系統(tǒng)時提到區(qū)間粗糙數相似度有較好的應用價值，然而目前仍處于理論階段。因此，本文首次將區(qū)間粗糙數相似度運用到實際的決策問題中，對其進行應用擴充。此外，本文還對已有的區(qū)間粗糙數構造方法進行改進，使之滿足定義條件，提高結果的準確性。最后，本文通過熵值法反映準則的客觀聯(lián)系，通過區(qū)間粗糙相似度反應各方案與標準方案之間的相關性，建立多目標優(yōu)化模型求解權重，進而獲得決策的排序結果，使排序結果更加貼近實際需求，為解決偏好值為區(qū)間數或區(qū)間粗糙數的多準則決策問題擴展了新方法。

1 理論基礎

定義1[8]（區(qū)間粗糙數）一個區(qū)間粗糙數是下近似和上近似均為區(qū)間的粗糙變量，記為：

其中c≤a≤b≤d，[a，b]為下近似區(qū)間，表示粗糙變量的極有可能取值范圍，[c，d]為上近似區(qū)間，表示粗糙變量的確定取值范圍。

定義2[8]（區(qū)間粗糙數的基本運算）設ξi=（[ai，bi]，[ci，di]）（i=1，2）為 兩個區(qū)間粗糙數，k為實數，則有

在已有的文獻中，構造的區(qū)間粗糙數并不滿足定義1 中的c≤a≤b≤d這一條件，而本文中對區(qū)間粗糙數構造方法的改進，能夠使之滿足定義1 中的條件。

目前對區(qū)間粗糙數的相似度研究均是在區(qū)間相似度的基礎上定義的，并且專家會對上下近似區(qū)間賦予一定的主觀權重，這會使兩個區(qū)間粗糙數之間的相似度帶有主觀影響。本文將區(qū)間粗糙數作為整體，采用面積比的思想，并考慮上、下近似區(qū)間的半徑和中心點距離因素，以減少對相似度的干擾，由于避免專家對上、下近似區(qū)間的主觀賦值，結果會更加客觀。

2 基于相似度的區(qū)間粗糙數多準則群體決策模型

2.1 區(qū)間粗糙數多準則問題描述

基于上述決策群體的偏好矢量矩陣A′，綜合準則的主客觀聯(lián)系，應用區(qū)間粗糙數獲得相似度最大時對應的決策方案，也就是群體決策結果。

2.2 規(guī)范化處理

決策準則分為效益型和成本型兩種，分別針對這兩種類型的準則，對上述區(qū)間粗糙決策偏好矩陣（2）進行規(guī)范化[8]處理。

1） 對于收益型準則，轉換公式為

2） 對于成本型準則，轉換公式為

將偏好矩陣歸一化處理后，得到如下規(guī)范化偏好矩陣：

將第j列準則上m個方案的平均值作為每個成員的標準方案，即

2.3 決策準則權重的確定

決策準則權重的求解結合熵權法和相似最大化的方法。對于熵值法，若在多準則決策問題中，準則對決策方案的影響越大，那么其所占比重也越大，故建立如下極大熵模型：

而在整個決策方案中，方案間也存在相關聯(lián)系。因此，建立各方案與標準方案的相似度最大化模型，以達到整體綜合決策最接近標準方案的目標，模型如下：

上述為多目標規(guī)劃模型，利用線性加權，將其轉為單目標規(guī)劃問題，如下：

由于 λ作為參數，可對它進行賦值，故在解該模型時，λ作為常數，構造拉格朗日函數

2.4 綜合決策值

2.5 決策方案排序

根據定義3 及式（10），易知綜合決策值中的元素均為區(qū)間粗糙數，根據定義4 的可能度計算公式，可以得到方案的可能度比較矩陣：P=（Ppq（Zp≥Zq））m×m，其中1 ≤p，q≤m。最后根據模糊互補判斷矩陣[17]排序算法：

最后得到方案的排序向量為

2.6 方法步驟

1）步驟1。根據定義5，將區(qū)間數的偏好矩陣轉化成區(qū)間粗糙數偏好矩陣A’；

2）步驟2。根據公式（3）（4），將區(qū)間粗糙數矩陣規(guī)范化處理；接著根據公式（6），得到標準方案，并添加到區(qū)間粗糙偏好矩陣最后一行，得到擴展區(qū)間粗糙偏好矩陣；

3）步驟3。根據定義6，建立極大熵和決策方案相似度最大模型（9），求解決策準則的權重；

4）步驟4。分別賦予決策成員客觀權重ω=（ω1，ω2，···，ωl），根據定義3，集結決策成員的權重和決策準則的權重，得到決策方案的綜合權重值Z；

5）步驟5。根據定義4 的可能度計算公式，可計算得到可能度計算公式P；最后由公式（10）（11）得到各方案最終的排序向量v=（v1，v2，···，vm），值越大，方案越優(yōu)。

3 實例分析

3.1 實例過程

采用文獻[9]中的市場投資實例，來說明所提方法的有效性。

現(xiàn)投資公司擬進行一項投資，有4 個方案，記為U=（U1，U2，U3，U4），對應3 個投資準則，記為D=（D1，D2，D3），組織各個投資領域的 20名專家組成的決策群體，記為G=（e1，e2，···，e20）。用區(qū)間數來表示各專家的決策偏好值，設定初始評價的10 個評分等級為1 ～10。

1）步驟1。首先，為了使結果更貼近實際，根據定義5，將原始區(qū)間數轉換成粗糙區(qū)間數，根據公式（3），將區(qū)間粗糙數矩陣規(guī)范化處理，規(guī)范化后數據如表1所示；

2）步驟2。根據公式（6），得到標準方案，并添加到區(qū)間粗糙偏好矩陣最后一行，得到擴展區(qū)間粗糙偏好矩陣，即表1中的第5 行；

表1 規(guī)范化后的擴展偏好區(qū)間粗糙信息表

續(xù)表 1

3）步驟3。根據定義6，建立極大熵和決策準則相似度最大模型，根據目標規(guī)劃，取λ=0.2，求解決策準則的權重，如下表2所示；

4）步驟4。分別賦予決策成員客觀權重，此時，我們直接取文獻[9]中決策成員的權重，如下表3所示；根據定義3，綜合決策成員的權重和決策準則的權重，得到決策方案的綜合權重值為：

表2 決策準則權重

表3 決策成員權重

5）步驟5。根據定義4 的可能度計算公式，取系數 λ1=λ2=λ3=λ4=，得可能度矩陣：

最后由公式（11）得到各方案的最終的排序向量

因此，投資優(yōu)先順序為U4＞U1＞U2＞U3，則投資第4 個方案最佳。

注：本文的方法得到的排序結果與文獻[9]得到的排序結果一致，因此，可證實本文的方法的有效性與合理性。

3.2 結果分析

在建立單目標規(guī)劃模型（9）時，加入參數 λ，這時需要考慮 λ的不同賦值對結果有何影響。λ的取值由決策者主觀偏好決定，當λ ＞0.5時，表明決策者更偏向決策方案與標準方案內部的相關性；當λ=0.5時，認為決策者對兩者態(tài)度一致；當λ ＜0.5時，表明決策者偏向決策準則之間的客觀聯(lián)系。本文分別取 λ=0.2，λ=0.5，λ=0.8，進行比較分析，排序結果如表4所示。

表4 決策者不同態(tài)度的排序結果對比

分析上述結果：當 λ=0.2時，即決策者態(tài)度偏向準則之間的客觀聯(lián)系時，最優(yōu)方案為U4，方案優(yōu)劣與文獻[9]一致，說明已有的排序方法均考慮準則之間的客觀聯(lián)系；當λ =0.5時，此時決策者賦予客觀聯(lián)系和內部相關性同等態(tài)度，U1為最優(yōu)方案，此時方案優(yōu)劣次序稍有變動；當λ =0.8時，即各方案之間的相關性被賦予較大權重時，可知最優(yōu)方案為U1。觀察不同態(tài)度下的結果可知，不管決策者的決策偏好是準則間的客觀聯(lián)系，還是方案間的相似性，方案U1和U4是可以優(yōu)先考慮的策略。

由分析可知，對于準則權重的計算，將其內部關聯(lián)性考慮在內時，根據決策者的態(tài)度不同，結果具有靈活性，因此，本文所提方法合理有效。

4 結論

在實際問題中，區(qū)間粗糙數更貼近現(xiàn)實情況，因此在已有研究的基礎上，本文首先給出由區(qū)間數來定義區(qū)間粗糙數的方法。接著在區(qū)間粗糙信息系統(tǒng)下，針對準則權重未知的多準則群體決策問題，本文提出一種基于面積法的相似度的決策方法。該法以極大熵和相似最大化為目標，建立多目標優(yōu)化模型，確定準則權重，然后，聚合決策成員權重，結合區(qū)間粗糙數的可能度，對方案進行綜合排序。該法不僅能反映準則間的客觀聯(lián)系，而且也考慮了方案間的相關性，得到的結果更加貼合實際需求。此外，本文首次將區(qū)間粗糙數相似度理論用于實際決策中，豐富了區(qū)間粗糙數相似度的研究內容，并通過實例證明該方法是合理的、有效的。