羅銳，關(guān)開(kāi)中

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

近幾十年來(lái)，有限時(shí)間穩(wěn)定性理論和應(yīng)用引起了人們的廣泛關(guān)注[1-3]. 一般地說(shuō)，系統(tǒng)被稱為是有限時(shí)間穩(wěn)定的，指的是對(duì)于初始條件的給定界，系統(tǒng)的狀態(tài)在指定的有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)不超過(guò)某個(gè)給定的范圍[2-3]. 因此，研究系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題，其本質(zhì)上是研究系統(tǒng)的解在給定的有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的有界性問(wèn)題. 此外，在某些實(shí)際工程領(lǐng)域中，人們不僅希望系統(tǒng)的狀態(tài)在某一指定的有限時(shí)間內(nèi)不超過(guò)給定的范圍，而且在達(dá)到終點(diǎn)時(shí)間之前其狀態(tài)還能小于所給定的初始值的界限，也就是，系統(tǒng)的解同時(shí)具有“有界性”和“壓縮性”的特點(diǎn). 為此，文獻(xiàn)[4]提出了有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定的概念，其后也引起了研究者的關(guān)注[3,5].

時(shí)滯不可避免地存在于實(shí)際系統(tǒng)中，是導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差，甚至不穩(wěn)定的原因之一[6]. 因此，研究時(shí)滯系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性和有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定性具有重要的意義. 一般來(lái)說(shuō)，時(shí)滯可分為有界時(shí)滯和無(wú)界時(shí)滯兩類. 研究表明，有界時(shí)滯系統(tǒng)和無(wú)界時(shí)滯系統(tǒng)在動(dòng)力學(xué)行為方面，存在著顯著的差異. 特別是，由于時(shí)滯的無(wú)界性和可變性，對(duì)無(wú)界時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)的研究則顯得更為困難[7]. 值得注意的是，比例時(shí)滯作為一類重要的無(wú)界變時(shí)滯類型常用來(lái)描述電動(dòng)力學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和非線性動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域的許多問(wèn)題[2,8]. 近年來(lái)，對(duì)比例時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性等動(dòng)力學(xué)的研究已引起研究者的廣泛關(guān)注并取得了較為豐富的結(jié)果[1-3,9-10]. 然而，已有文獻(xiàn)大多是關(guān)于比例時(shí)滯系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間的穩(wěn)定性，即Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，而對(duì)比例時(shí)滯系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性的研究則不多[2]. Hien等[2]利用M-矩陣?yán)碚摵头治黾记?，研究了一類較為特殊形式的比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題，但作者并沒(méi)有研究此類系統(tǒng)的有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定性. 最近，文獻(xiàn)[3]建立了一類具有常時(shí)滯的微分系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定和有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定的Lyapunov型條件.

基于上述考慮，特別受文獻(xiàn)[2-3]的啟發(fā)，本文將研究比例時(shí)滯系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定和有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定問(wèn)題. 我們將發(fā)展Lyapunov-Razumikhin方法，來(lái)建立較一般形式的比例時(shí)滯系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定和壓縮穩(wěn)定的條件，作為該條件的應(yīng)用，也獲得了一類具有比例時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間穩(wěn)定和有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定的條件. 最后，通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明所獲得的理論結(jié)果的合理性.

1 模型與預(yù)備知識(shí)

設(shè)R為實(shí)數(shù)集，R+為非負(fù)實(shí)數(shù)集，Rm表示具有范數(shù)的m維實(shí)線性賦范空間. 記C （ R+， R+）=｛ψ： R+→R+是連 續(xù)的｝ ，K= {a（·）∈ C （ R+， R+）：a（0 ） =0，a（s）關(guān)于s是嚴(yán)格遞增的}，sgn(y)為關(guān)于y的符號(hào)函數(shù).

考慮以下一般形式的比例時(shí)滯系統(tǒng)

這里q∈（0,1） ,x0= (x1,…,xm)T∈Rm,x（t） = (x1（t） ,…,xm（t）)T∈Rm,f∈C (R+×Rm, Rm)，且對(duì)任意的t∈R+，有f（t,0 ）=0.

定義1[11]給定3個(gè)正數(shù)T,c1,c2，且c1＜c2. 若當(dāng)x（0） ＜c1時(shí)，總有x（t） ＜c2, ?t∈[0,T]，則稱系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1,c2,T）是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

定義2[3]給定5個(gè)正數(shù)T,c1,c2,η,σ,且η＜c1＜c2,σ∈ （ 0,T）. 若當(dāng)時(shí)，有?t∈ ［0,T］，且則稱系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1,c2,η,σ,T）是有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定的.

注1：從定義2可以看出，系統(tǒng)是有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定的，不僅要求系統(tǒng)狀態(tài)在指定時(shí)間內(nèi)不超過(guò)一定的閾值，同時(shí)要求系統(tǒng)在運(yùn)行至終止時(shí)間之前，其狀態(tài)小于初值的界. 因此，有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定強(qiáng)于有限時(shí)間穩(wěn)定.

2 主要結(jié)果

定理1給定5個(gè)正數(shù)T,c1,c2,η,σ,且η＜c1＜c2,σ∈ （0,T）. 若存在可積函數(shù)Γ（·）：R+→R，函數(shù)ω1,ω2∈K，以及連續(xù)函數(shù)V：［0 ,T］× Rm→R+，使得

則系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1,c2,T）是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

此外，若還有

則系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1,c2,η,σ,T）是有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定的.

證明設(shè)x（t） =x（t,x（0））是系統(tǒng)（1）的解，并記

下面證明

令

其中?為任意小的正數(shù).

為證明（3），我們只需證明Ω?（t） ≤V0, ?t∈［0,T］. 若結(jié)論不成立，并注意到Ω?（0 ） =V（0） =V0，則存在t*∈（0,T］，使得進(jìn)一步，由Ω?（t）的定義可得：

由此可以得到：

即

這表明

另外，如果式（2）成立，則根據(jù)式（4）（除最后一步外），可得

這表明，對(duì)于任意的t∈［T-σ,T］，有根據(jù)定義2，系統(tǒng)（1）關(guān)于（c1,c2,η,σ,T）是有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定的. 證明完畢.

其次，考慮以下的比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

其中n為正數(shù)，q∈ （0,1）,xi（t）是關(guān)于i的狀態(tài)向量，和（t）是連接權(quán)矩陣，d i（t）是自抑項(xiàng)，是xi（t）在t=0時(shí)的初值，f j,gj是激活函數(shù)且滿足

其中l(wèi)i,ki是非負(fù)常數(shù)，i= 1,2,…,m.

推論1給定5個(gè)正數(shù)T,c1,c2,η,σ,且η＜c1＜c2,σ∈ （ 0,T）. 如果存在函數(shù)Γ（·） ∈C （［0,T］ , R）,使得

證明設(shè)x（t）是系統(tǒng)（6）的解，令根據(jù)定理1，Razumikhin條件可寫(xiě)于是

取ω1（s） =ω2（s）=s，則根據(jù)定理1，可知推論1成立.

注2：定理1建立了比例時(shí)滯微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性和有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定性的條件，與文獻(xiàn)[3]所討論的有界時(shí)滯不同，本文所討論的比例時(shí)滯是一類無(wú)界變時(shí)滯. 另外，文獻(xiàn)[2]研究了一類具有多比例時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定性，但并沒(méi)有考慮有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定性問(wèn)題，因此，本文的推論1在一定程度上補(bǔ)充了文獻(xiàn)[2]的相應(yīng)結(jié)果.

3 數(shù)值算例

在本節(jié)中，我們將給出一個(gè)數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明所得結(jié)果的有效性和合理性.

例1考慮下面具有比例時(shí)滯的非自治二維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

給 定c1= 0.91,c2= 1.6,η= 0.86,T= 10,σ=1.8以及Γ（t） =0.3cos30.5t+ 0.04. 取li=ki=1，經(jīng)計(jì)算得，e1（t） = 0.59 + 0.05cos （0.5t），e2（t）=cos1.5（0.5t）+0.6，容易驗(yàn)證推論2中的所有條件滿足，因此系統(tǒng)（8）關(guān)于(0.91,1.6,0.86,1.8,10)是有限時(shí)間壓縮穩(wěn)定的. 對(duì)于給定的初值x（0） = (0.5， -0.4)T，其數(shù)值仿真結(jié)果如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)（8）具有初值x （0） = (0.5, -0.4)T的狀態(tài)軌跡