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        一個加強的Hilbert型不等式

        2022-09-15 10:23:20辛冬梅楊必成
        關(guān)鍵詞:加強型等價常數(shù)

        辛冬梅,楊必成

        (廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣東 廣州 510303)

        其中,常數(shù)因子pq為最佳值(參閱文獻[1]的定理341).

        2016年,文獻[3]給出了一般離散Hilbert型不等式聯(lián)系參數(shù)的等價條件. 類似的結(jié)果可見文獻[4-8]. 若文獻[9](例4.9.1)有如下Hilbert型不等式:

        本文擬建立式(5)的一個加強式,并討論其最佳外常數(shù)因子聯(lián)系多參數(shù)的等價條件.

        1 一些引理

        引理1[2]35設(shè)f(2q+1+k)(t)為[m,n]的連續(xù)可微函數(shù),存在區(qū)間則對于有:

        其中,P2q+1(t)為2q+1階Bernoulli函數(shù),B2q+1為2q+1階Bernoulli數(shù)若還有則有:

        引理 2[2]33設(shè)f(t)為區(qū)間[m,n]的連續(xù)可微函數(shù),則有如下Euler-Maclaurin求和公式:

        若還有f(∞)=0,則與同斂散;當它們收斂時,有:

        定義如下權(quán)系數(shù):

        固定m∈N,置函數(shù)可算得:

        2 主要結(jié)果

        定理1對于θ∈ [0,1],有如下加強型不等式:

        證明由H˙o˙lder不等式[10]有:

        再由式(13-14),有式(15). 證畢.

        注2i)當r=q,s=p,θ=1,式(16)可變?yōu)槭剑?)的如下加強式:

        定理2下列陳述等價:i)式(18)(或式(15))的常數(shù)因子佳值;ii)

        證明i)?ii). 因易見故式(16)(取θ=0)可變?yōu)椋?/p>

        由H˙o˙lder不等式有:

        由式(20),上式取等號. 上式取等號的充要條件是:存在不全為0的常數(shù)A,B,使不妨設(shè)A≠0. 有即有,即

        即有不等式

        這與rs為式(5)的最佳值矛盾. 故式(18)(或式(15))的常數(shù)因子對任意θ∈ [0,1]為最佳值. 證畢.

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