路峻嶺，顧 晨，任乃敬，馬泊一

(清華大學(xué) 物理系，北京 100084)

目前，大學(xué)物理熱學(xué)教學(xué)中使用的演示實(shí)驗(yàn)熱機(jī)多是斯特令熱機(jī)[1]，其特點(diǎn)是工作活塞在氣缸內(nèi)運(yùn)動最快的時(shí)刻對應(yīng)空氣工質(zhì)處于高溫?zé)嵩磪^(qū)或低溫?zé)嵩磪^(qū)(工質(zhì)溫度一致且不隨時(shí)間變化)，其物理過程都可以近似為等溫過程. 幾年前筆者曾經(jīng)介紹過一種換氣式空氣熱機(jī)[2]，其特點(diǎn)是工作活塞在氣缸內(nèi)運(yùn)動最快的時(shí)刻對應(yīng)空氣工質(zhì)處于溫度變化最劇烈的區(qū)域，在活塞速率為零的時(shí)刻，位于活塞上的導(dǎo)氣孔開通，實(shí)行換氣. 現(xiàn)在介紹另一種換氣式空氣熱機(jī)，其特點(diǎn)是工作活塞在氣缸內(nèi)運(yùn)動最快的時(shí)刻也對應(yīng)空氣工質(zhì)處于溫度變化最劇烈的區(qū)域，即在活塞速率最大的時(shí)刻，位于活塞上的導(dǎo)氣孔開通，實(shí)行換氣. 如何理解該熱機(jī)的物理過程呢？

1 換氣式空氣熱機(jī)結(jié)構(gòu)

換氣式空氣熱機(jī)的照片如圖1所示. 左為透明玻璃泡氣缸，酒精燈在其左端加熱，使之成為高溫?zé)嵩磪^(qū)，中為金屬散熱片，它使本區(qū)成為低溫?zé)嵩磪^(qū)，右為連桿和飛輪. 從左端還可看到氣缸內(nèi)的玻璃泡，即玻璃膨脹體(換位活塞). 本熱機(jī)的剖視圖如圖2所示.

圖1 換氣式空氣熱機(jī)照片

圖2 換氣式空氣熱機(jī)主要結(jié)構(gòu)剖視圖

熱機(jī)的氣缸由氣缸玻璃泡和氣缸座密封連接而成，活塞由膨脹體玻璃泡與密封滑配活塞剛性連接而成. 在活塞與氣缸座滑配的通道上設(shè)置導(dǎo)氣孔. 本文所討論的其運(yùn)動影響工質(zhì)體積的物理活塞指的是與活塞滑管相滑配密封的活塞部分，而不是膨脹體玻璃泡. 膨脹體玻璃泡與氣缸內(nèi)壁之間有空隙，空氣工質(zhì)可以通過空隙自由地移動到高溫區(qū)或低溫區(qū). 氣缸內(nèi)的空氣工質(zhì)處于高溫區(qū)和低溫區(qū)各半時(shí)，活塞運(yùn)動速率最大，此時(shí)導(dǎo)氣孔使氣缸內(nèi)與外界連通. 當(dāng)氣缸內(nèi)的氣壓高于外界時(shí)，導(dǎo)氣孔的開通會使氣缸內(nèi)的空氣工質(zhì)泄漏一部分到外界去，結(jié)果減小了氣缸內(nèi)的壓強(qiáng)；當(dāng)氣缸內(nèi)的氣壓低于外界時(shí)，導(dǎo)氣孔的開通會使外界的空氣充注到氣缸內(nèi)去，結(jié)果增大了氣缸內(nèi)的壓強(qiáng).

2 換氣式空氣熱機(jī)原理分析[3，4]

2.1 活塞在氣缸內(nèi)運(yùn)動的圖像

活塞在氣缸內(nèi)的運(yùn)動過程如圖3所示，步驟按123456781…周期性變化. 設(shè)活塞在氣缸內(nèi)作簡諧振動，每一時(shí)刻工質(zhì)都被換位活塞分隔為上下兩部分，上部分接觸高溫區(qū)，下部分接觸低溫區(qū)，設(shè)上下部分都處于準(zhǔn)靜態(tài). 但從整體看來，雖然工質(zhì)的壓強(qiáng)一致，然而溫度卻不一致，所以工質(zhì)處于非平衡態(tài).盡管如此，此處取兩部分工質(zhì)溫度的加權(quán)平均值代表總體的溫度，仍然可以按照處理準(zhǔn)靜態(tài)的方法，處理工質(zhì)變化的物理過程.

圖3 活塞在氣缸內(nèi)的運(yùn)動過程示意圖

1表示膨脹體玻璃泡移動到了氣缸頂端，空氣工質(zhì)都被壓縮到了低溫區(qū)域，此時(shí)刻空氣工質(zhì)的總體溫度最低. 2表示膨脹體玻璃泡離開氣缸頂端向下運(yùn)動時(shí)的情形，此時(shí)空氣工質(zhì)有少部分到達(dá)了高溫區(qū)，大部仍然在低溫區(qū)，此時(shí)刻空氣工質(zhì)的總體溫度較低. 3表示膨脹體玻璃泡繼續(xù)向下運(yùn)動到達(dá)其振動平衡位置時(shí)的情形，此時(shí)空氣工質(zhì)的一半在低溫區(qū)一半在高溫區(qū)，此時(shí)刻空氣工質(zhì)的總體溫度處在中間位置，導(dǎo)氣孔開啟使氣缸內(nèi)與外界連通，氣缸吸氣，外界的一些空氣通過小孔充注到氣缸內(nèi)，此時(shí)刻活塞在向下運(yùn)動，工質(zhì)體積在膨脹，小孔充氣幫助推動活塞對外做較多的正功. 4表示膨脹體玻璃泡繼續(xù)向下運(yùn)動時(shí)的情形，此時(shí)空氣工質(zhì)的大部分到了高溫區(qū)，仍有少部分在低溫區(qū)，此時(shí)刻空氣工質(zhì)的總體溫度較高. 5表示膨脹體玻璃泡移動到了氣缸低端，空氣工質(zhì)都被壓縮到高溫區(qū)域，此時(shí)刻空氣工質(zhì)的總體溫度最高. 6表示外力推動活塞連同膨脹體玻璃泡一起向上運(yùn)動的情形，活塞壓縮工質(zhì)使它的體積減小，工質(zhì)做負(fù)功，此時(shí)空氣工質(zhì)有少部分到達(dá)了低溫區(qū)，大部仍然在高溫區(qū)，此時(shí)刻空氣工質(zhì)的總體溫度較高. 7表示膨脹體玻璃泡繼續(xù)向上運(yùn)動到達(dá)其振動平衡位置時(shí)的情形，此時(shí)刻空氣工質(zhì)的一半在低溫區(qū)一半在高溫區(qū)，此時(shí)刻空氣工質(zhì)的總體溫度處在中間位置，導(dǎo)氣孔開啟使氣缸內(nèi)與外界連通，氣缸排氣，氣缸內(nèi)的一些工質(zhì)通過小孔被排泄到外界，此時(shí)刻活塞在向上運(yùn)動，工質(zhì)體積在被壓縮，小孔的排氣幫助活塞可以受到較小的阻力，工質(zhì)對外做較少的負(fù)功. 8表示膨脹體玻璃泡繼續(xù)向上運(yùn)動時(shí)的情形，此時(shí)空氣工質(zhì)的大部分已經(jīng)到達(dá)低溫區(qū)，仍有少部分在高溫區(qū)，此時(shí)刻空氣工質(zhì)的總體溫度較低. 往后的繼續(xù)發(fā)展，恢復(fù)到1的情形.

從討論本熱機(jī)活塞運(yùn)動的整個過程可見，按準(zhǔn)靜態(tài)考慮，活塞連同膨脹體玻璃泡運(yùn)動的每一個時(shí)刻溫度都是在變化中的，活塞處于某一個位置就對應(yīng)工質(zhì)的整體處于一個特定的溫度，當(dāng)活塞在氣缸中作簡諧振動時(shí)，工質(zhì)整體的溫度也在作簡諧振動. 活塞處于平衡位置時(shí)的狀態(tài)，是一個中間狀態(tài). 設(shè)工質(zhì)空氣狀態(tài)參量的中間狀態(tài)為(P0、V0、T0)，則當(dāng)活塞在氣缸中作簡諧振動時(shí)，空氣狀態(tài)參量(P、V、T)都在中間狀態(tài)附近作簡諧振動.溫度變化中的最高溫度就是高溫?zé)嵩吹臏囟萒2，最低溫度就是低溫?zé)嵩吹臏囟萒1.

2.2 工質(zhì)熱傳導(dǎo)滯后對其狀態(tài)參量變化的影響

圖4 活塞位置等參量隨時(shí)間變化圖(一)

按照2.1節(jié)討論的過程，畫出活塞位置等參量隨時(shí)間的變化如圖4所示，但馬上就會發(fā)現(xiàn)圖4有問題.因?yàn)槿绻べ|(zhì)參數(shù)真如圖4所示變化，在步驟3和7即工質(zhì)的一半在低溫區(qū)、一半在高溫區(qū)時(shí)氣缸內(nèi)工質(zhì)的氣壓與外界相同，就不會有吸氣和排氣現(xiàn)象，熱機(jī)也就工作不起來了.問題出在哪兒了？問題出在沒有考慮到工質(zhì)熱傳導(dǎo)的滯后.由于所考慮的工質(zhì)是空氣，空氣的熱傳導(dǎo)是靠其高能氣體分子的熱擴(kuò)散來進(jìn)行的，當(dāng)其外界發(fā)生變化后(例如活塞到達(dá)某新位置)，氣缸內(nèi)的空氣要達(dá)到該位置所對應(yīng)的溫度需要一定的時(shí)間，這就是工質(zhì)熱傳導(dǎo)的滯后現(xiàn)象.

當(dāng)考慮到空氣工質(zhì)熱傳導(dǎo)的滯后之后，圖4中工質(zhì)溫度曲線就要向后移一個小的時(shí)間間隔.由于在準(zhǔn)靜態(tài)情況下，P=nkT，故溫度變化曲線實(shí)際上就是壓強(qiáng)的變化曲線.為了突出壓強(qiáng)的變化，把考慮了熱傳導(dǎo)滯后的溫度變化曲線換成壓強(qiáng)的變化曲線，并加上吸氣、排氣對壓強(qiáng)的影響，如圖5所示.其中吸氣、排氣后，前四分之一周期中，壓強(qiáng)受到的影響較大，后四分之一周期中壓強(qiáng)受到的影響較小.前四分之一周期之所以有較大的影響，其原因主要是定向氣流的注入或排出氣缸對壓強(qiáng)的影響較大；后四分之一周期之所以具有較小的影響，其原因主要是空氣分子數(shù)密度隨導(dǎo)氣孔開啟的變化對壓強(qiáng)的影響較小，可以忽略，圖5中沒有畫出.

圖5 活塞位置等參量隨時(shí)間變化圖(二)

從圖5工質(zhì)壓強(qiáng)隨時(shí)間的變化曲線中還可以看出，在導(dǎo)氣孔開啟的時(shí)刻，剛剛經(jīng)歷最低溫的工質(zhì)的壓強(qiáng)低于外界的壓強(qiáng)，導(dǎo)氣孔的開啟可使外界的空氣自動地注入到氣缸內(nèi)；在導(dǎo)氣孔開啟的時(shí)刻，剛剛經(jīng)歷最高溫的工質(zhì)的壓強(qiáng)高于外界的壓強(qiáng)，導(dǎo)氣孔的開啟可使氣缸內(nèi)的部分空氣工質(zhì)自動地排出氣缸外，隨著活塞的運(yùn)動，導(dǎo)氣孔的開閉，熱機(jī)也就工作起來了.

2.3 換氣式空氣熱機(jī)工質(zhì)狀態(tài)參量的熱力學(xué)循環(huán)

有了上面的分析，就可以在PV圖上畫出其熱力學(xué)循環(huán)圖，如圖6所示.圖中T0、T1、T2既表示PV平面上的點(diǎn)，又表示工質(zhì)參量在該點(diǎn)時(shí)工質(zhì)的熱力學(xué)溫度.設(shè)T0表示空氣工質(zhì)在中間狀態(tài)的溫度，P0表示在中間態(tài)的氣壓，V0則表示在中間態(tài)的氣缸體積.

圖6 換氣式空氣熱機(jī)工質(zhì)狀態(tài)參量的循環(huán)圖

過T0點(diǎn)作雙曲線AB，這就是若使氣缸的左部不加熱，也不設(shè)置導(dǎo)氣孔，而讓活塞作簡諧振動時(shí)，工質(zhì)參量對應(yīng)的點(diǎn)在PV圖上運(yùn)動的等溫曲線，由于外界推動活塞對工質(zhì)做的負(fù)功與活塞對外做的正功相抵消，因此熱機(jī)不會對外做凈功.

過T0點(diǎn)作雙曲線切線的法線T1T2，這就是若使氣缸左部加熱，但不設(shè)置導(dǎo)氣孔，也不考慮工質(zhì)傳熱的滯后效應(yīng)，而讓活塞作簡諧振動時(shí)，工質(zhì)參量對應(yīng)的點(diǎn)在PV圖上運(yùn)動的曲線，工質(zhì)參量的微小變化都意味著溫度在變化，這實(shí)際上是多方過程.由于外界推動活塞對工質(zhì)做的負(fù)功與活塞對外做的正功相抵消，因此熱機(jī)不會對外做凈功.

若使熱機(jī)氣缸左部加熱，但不設(shè)置導(dǎo)氣孔，僅考慮到工質(zhì)傳熱的滯后效應(yīng)，而讓活塞作簡諧振動時(shí)工質(zhì)參量對應(yīng)的點(diǎn)在PV圖上運(yùn)動的曲線，就是在PV圖上直線段T1T0下方鄰域的曲線和直線段T0T2上方鄰域的曲線共同構(gòu)成的曲線.工質(zhì)參量對應(yīng)的點(diǎn)在曲線上來回移動，外界推動活塞對工質(zhì)做的負(fù)功與活塞對外做的正功相抵消，因此熱機(jī)不會對外做凈功.

現(xiàn)在既在熱機(jī)氣缸的左部加熱，又設(shè)置了導(dǎo)氣孔，且考慮到工質(zhì)傳熱的滯后效應(yīng)，而讓活塞作簡諧振動時(shí)工質(zhì)參量對應(yīng)的點(diǎn)在PV圖上運(yùn)動的曲線，就是在PV圖上由多個直線段組成的折線圍成的區(qū)域.例如從工質(zhì)經(jīng)過最低溫區(qū)體積膨脹時(shí)導(dǎo)氣管開啟時(shí)刻開始，對應(yīng)圖5步驟3的狀態(tài)，PV圖上對應(yīng)E點(diǎn)，此時(shí)刻氣缸內(nèi)的壓強(qiáng)低于P0，導(dǎo)氣管開啟，外界的一些空氣被吸入氣缸.由于定向氣流的影響比P0大得多，描述狀態(tài)的點(diǎn)由E點(diǎn)瞬時(shí)移動到D點(diǎn)，之后吸氣的影響漸漸變?nèi)?，工質(zhì)狀態(tài)到達(dá)最高溫度點(diǎn)T2.隨著活塞上移，工質(zhì)體積收縮溫度降低，描述狀態(tài)的點(diǎn)由T2移動到C點(diǎn).之所以到C點(diǎn)而不是到T0點(diǎn)的原因：一是由于工質(zhì)的熱傳導(dǎo)滯后對其狀態(tài)參量P變化的影響；二是吸氣后氣缸內(nèi)空氣分子數(shù)密度較大.前者為主，后者的影響可以忽略.C點(diǎn)對應(yīng)的壓強(qiáng)比P0高，導(dǎo)氣孔開啟，氣缸排氣，工質(zhì)狀態(tài)對應(yīng)的點(diǎn)由C點(diǎn)移到F點(diǎn).隨后按照工質(zhì)經(jīng)歷高溫區(qū)類似的過程，工質(zhì)狀態(tài)對應(yīng)的點(diǎn)由F點(diǎn)移到T1點(diǎn)，再由T1點(diǎn)到E點(diǎn)，這就完成了一次循環(huán).在一次循環(huán)中，工質(zhì)狀態(tài)參量對應(yīng)的點(diǎn)經(jīng)歷由CD、DT2、T2C圍成的三角形CDT2和由EF、FT1、T1E圍成的三角形EFT1的面積之和就表示熱機(jī)對外做的凈功.

2.4 具體計(jì)算熱機(jī)效率

以圖5步驟3為時(shí)間起點(diǎn),寫出壓強(qiáng)P,在考慮到熱傳導(dǎo)滯后因素后的振動方程為

P(t)=(P2-P0)sin(ωt-α)

(1)

其中α<<1為熱傳導(dǎo)滯后因子.步驟3對應(yīng)的時(shí)刻為t=0，氣缸內(nèi)的工質(zhì)壓強(qiáng)為

P(0)=(P2-P0)sin(-α)≈

-α(P2-P0)<0

(2)

這就是圖6中ET0線段對應(yīng)的壓強(qiáng)差，E點(diǎn)壓強(qiáng)為

PE(0)=-α(P2-P0)

(3)

此時(shí)，導(dǎo)氣孔開啟，氣缸吸氣，定向氣流直接沖擊活塞.定向氣流如何影響氣缸內(nèi)的工質(zhì)壓強(qiáng)呢？筆者認(rèn)為定向氣流對壓強(qiáng)的影響應(yīng)該是此壓強(qiáng)差的6倍.為什么是6倍？因?yàn)镻V圖中每一點(diǎn)對應(yīng)的狀態(tài)都是準(zhǔn)靜態(tài)，氣缸內(nèi)的工質(zhì)是向前后、上下、左右施加壓力的，要達(dá)到向一個單向施加同樣大小推力的壓強(qiáng)差應(yīng)該是它的6倍.這樣，氣缸吸氣就使得工質(zhì)的狀態(tài)點(diǎn)從E點(diǎn)直線到達(dá)D點(diǎn)，D點(diǎn)壓強(qiáng)為

PD(0)=5α(P2-P0)

(4)

隨著活塞運(yùn)行，工質(zhì)狀態(tài)經(jīng)歷高溫點(diǎn)T2，返回中間狀態(tài)，由于熱傳導(dǎo)滯后的影響，它不會到達(dá)T0點(diǎn)，而是到達(dá)C點(diǎn).C點(diǎn)壓強(qiáng)為

PC(0)=α(P2-P0)>0

(5)

此時(shí)，導(dǎo)氣孔開啟，氣缸排氣，定向氣流使腔內(nèi)壓強(qiáng)瞬時(shí)減少6α(P2-P0)，到達(dá)F點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)壓強(qiáng)為

PF(0)=-5α(P2-P0)

(6)

隨著活塞的運(yùn)行，工質(zhì)狀態(tài)經(jīng)歷低溫點(diǎn)T1，返回中間狀態(tài)，由于熱傳導(dǎo)滯后的影響，它不會到達(dá)T0點(diǎn)，而是到達(dá)E點(diǎn).E點(diǎn)壓強(qiáng)為PE(0)=-α(P2-P0)<0.

完成一個熱機(jī)循環(huán)，總做功為W=4α(P2-P0)ΔV，總吸熱為Q=2P0ΔV+2α(P2-P0)ΔV，考慮到P=nkT，P0=(P1+P2)/2，得熱機(jī)效率為

(7)

需要說明的是本文研究的對象是氣缸內(nèi)的空氣工質(zhì)，它在氣缸內(nèi)的各部分所處的位置不同，相應(yīng)的溫度也不同，在本文中把氣缸內(nèi)的氣體工質(zhì)當(dāng)作一個整體來看，整體溫度就是氣缸中各部溫度的平均值.在此基礎(chǔ)上研究氣缸內(nèi)空氣工質(zhì)的吞吐對工質(zhì)狀態(tài)參數(shù)的影響有一定的近似性.本文把工質(zhì)熱傳導(dǎo)滯后看作均勻滯后(溫度曲線向后平移)，也是一種對物理過程進(jìn)行的理想化處理.圖6中，把DT2、FT1、T2C、T1E諸過程都用直線段表示，也具有一定的近似性.盡管如此，本文的討論抓住了過程的主要特征，從定性的角度來說是不會有大的問題的.

3 小結(jié)

本文從介紹換氣式空氣熱機(jī)氣缸結(jié)構(gòu)出發(fā)，研究了其活塞作簡諧振動的過程中氣缸內(nèi)空氣工質(zhì)狀態(tài)參量的變化規(guī)律，即在空氣工質(zhì)經(jīng)過高溫?zé)嵩春箝_始被壓縮時(shí)，導(dǎo)氣孔打開一下，氣缸內(nèi)的高溫空氣工質(zhì)部分地被排出氣缸外，以減小對活塞運(yùn)動的阻力；在空氣工質(zhì)經(jīng)過低溫?zé)嵩春箝_始膨脹時(shí)，導(dǎo)氣孔打開一下，外界的空氣經(jīng)過小孔進(jìn)入氣缸以增大對活塞的推力.活塞在氣缸中運(yùn)動時(shí)，每經(jīng)過一個周期導(dǎo)氣孔開啟兩次，綜合效果為空氣工質(zhì)通過活塞對外界做了正功，在PV圖上表現(xiàn)為空氣工質(zhì)的狀態(tài)參量完成了一次熱機(jī)正循環(huán).