袁曉忠，劉世勇

(上海交通大學(xué) 物理與天文學(xué)院，上海 200240)

本文擬研究圓柱面內(nèi)電勢分布、圓柱面上感應(yīng)電荷分布及軸線上感應(yīng)電荷的電場等情況，并分析討論導(dǎo)體圓柱面對軸線上一對等量同號點電荷所受靜電力的影響．

1 模型建立

如圖1所示，真空中有一半徑為R的無限長接地導(dǎo)體圓柱面，其內(nèi)包含兩半徑為r0(r00)． 兩圓環(huán)所處平面與圓柱面對稱軸z軸垂直，且圓心在z軸上，關(guān)于原點O左右對稱，坐標(biāo)分別為-H和H．

系統(tǒng)關(guān)于z軸具有旋轉(zhuǎn)對稱性，柱坐標(biāo)系中圓環(huán)電荷密度可用δ函數(shù)表示為[3]

(1)

系統(tǒng)對應(yīng)的邊值問題為

(2)

其中r為考察點離開z軸的距離，u為電勢，而ε0為真空介電常量．

圖1 帶電細(xì)圓環(huán)與導(dǎo)體圓柱面系統(tǒng)示意圖

2 處理方法

圓柱面內(nèi)，扣除z=-H與z=H兩個平面及其上面的帶電細(xì)圓環(huán)，電勢滿足的是拉普拉斯方程．考慮到系統(tǒng)具有左右對稱性，邊界條件u|r=R=0，及z→-∞與z→+∞時電勢u趨于零，容易寫出電勢在3個區(qū)域的形式：

近年來，城市化進(jìn)程越來越快，土地資源日益緊張，高層建筑建設(shè)數(shù)量持續(xù)增加。由于建筑高度在增加，主體負(fù)荷在增大，極易出現(xiàn)不規(guī)則下沉的情況，引發(fā)建筑傾斜、裂縫等問題的出現(xiàn)。對此，為確保建筑施工、運營安全，必須落實沉降監(jiān)測工作，對沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)分析，獲得可靠結(jié)論，及時采取相應(yīng)的預(yù)防處理措施。

(3)

(4)

(5)

u1|z=-H-=u2|z=-H+

(6)

其中-H-與-H+表示坐標(biāo)z從左側(cè)與右側(cè)無限逼近-H．由此得到

(7)

(8)

由此得到

(9)

(10)

(11)

J1(x)為1階貝塞爾函數(shù)．由式(7)及式(11)解得

(12)

(13)

這樣關(guān)于電勢的邊值問題全部解決,有了電勢分布，可以確定電場強(qiáng)度分布情況，這里我們僅討論圓柱面軸線上的電場強(qiáng)度：

(14)

(-H

(16)

其中還利用了貝塞爾函數(shù)J0(0)=1的性質(zhì)．有了電勢分布，還可以確定圓柱面內(nèi)表面感應(yīng)電荷面密度：

(z<-H) (17)

(18)

(19)

圓柱面軸線上的電場強(qiáng)度E(z)由帶電圓環(huán)軸線上產(chǎn)生的電場E環(huán)與感應(yīng)電荷軸線上產(chǎn)生的電場E感疊加而來，即E(z)=E環(huán)+E感，故感應(yīng)電荷的電場為

E感=E(z)-E環(huán)

(20)

顯然有

(21)

感應(yīng)電荷的電場也可以利用電荷面密度式(17)—式(19)，通過積分而獲得，即

(22)

3 分析討論

圖2顯示圓柱面軸線上的電勢隨坐標(biāo)z的變化情況． 這里取H=1 m，r0=0.5 m，實線為R=1 m，虛線為R=2 m．在z=±H處電勢出現(xiàn)雙峰，由于柱面上感應(yīng)電荷帶負(fù)電，減小R會遏制電勢雙峰的高度．

圖2 軸線上電勢隨z的變化情況

圖3 圓柱截面上電勢隨r變化情況

圖3顯示在z=-H-0.1(m)截面上，電勢隨r的變化情況．這里取H=1 m，R=2 m，實線為r0=1.5 m，虛線為r0=1 m．考察點離帶電圓環(huán)的最近距離為0.1 m，峰值基本出現(xiàn)在最近處，而圓環(huán)半徑越小，峰值越高，這些結(jié)論都易于理解的．

圖4顯示圓柱面內(nèi)表面感應(yīng)電荷面密度隨坐標(biāo)z的變化情況．這里取H=1 m，點劃線為R=1 m，r0=0.8 m，虛線為R=1 m，r0=0，實線為R=0.6 m，r0=0．在z=±H處感應(yīng)電荷面密度也會出現(xiàn)兩個峰值，在其它條件不變的情況下，圓環(huán)半徑的增加導(dǎo)致感應(yīng)電荷分布不斷向z=±H平面附件收縮，而R的減小也會產(chǎn)生同樣的效果，這一切都是很好理解的．

圖4 圓柱內(nèi)表面感應(yīng)電荷面密度隨z變化情況

圖5顯示感應(yīng)電荷在圓柱面軸線上產(chǎn)生的電場隨坐標(biāo)z的變化情況．這里取H=1 m，r0=0，實線為R=0.6 m，虛線為R=1 m．顯然R增大時感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場總體變小，變化趨緩．R=0.6 m時，隨坐標(biāo)z的變化電場3次改變方向，而R=1 m時，電場僅在z=0處改變方向．

圖5 感應(yīng)電荷在軸線上產(chǎn)生的電場隨z變化情況

圖6 軸線上兩點電荷受感應(yīng)電荷吸引力及直接庫侖排斥力隨距離d變化情況

當(dāng)r0=0時，帶電圓環(huán)退化為圓柱面軸線上兩等量同號點電荷，圖6顯示兩點電荷受感應(yīng)電荷吸引力的，量值隨其間距離d=2H的變化情況，虛線為R=0.1 m，點劃線為R=0.8 m，而實線對應(yīng)點電荷間直接的庫侖排斥力．比較有趣的是在R=0.1 m情況下，就所取的距離范圍，吸引力強(qiáng)于排斥力，即由于感應(yīng)電荷的影響，軸線上兩等量同號點電荷受到的靜電力為吸引力．這一結(jié)果與鏡像法研究無限大接地導(dǎo)體平板附近兩個同號點電荷受力情況不符，一個點電荷的像電荷與另一個點電荷間的吸引力總是小于兩同號點電荷間的排斥力(點電荷與導(dǎo)體板間距離不為零)．對于我們的模型，很難有簡單的像電荷去替代感應(yīng)電荷，在特殊情況下出現(xiàn)感應(yīng)電荷比等量點電荷的影響強(qiáng)也是可以理解的，下面做些簡單分析．軸線上的點電荷在導(dǎo)體圓柱面上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷對自己沒有影響，但對軸線上另一個同號點電荷會產(chǎn)生吸引力．容易證明處于一條直線上的點電荷，其在直線上各點產(chǎn)生的場強(qiáng)，一定比以點電荷為中心而將其電荷量沿著該直線左右對稱擴(kuò)展分布開的線電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度小(考察點在線電荷外面)．兩個點電荷各自在圓柱面上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷沿軸線分布固然是以z=-H或者z=H平面為對稱面而擴(kuò)展開來的，但感應(yīng)電荷微元在軸線上產(chǎn)生的電場與軸線有一定夾角，這又會削弱感應(yīng)電荷在軸線上產(chǎn)生的電場，最終結(jié)果如何，取決于兩者的博弈．在d>>R情況下，角度的影響比較小，感應(yīng)電荷的擴(kuò)展分布使得其電場有可能強(qiáng)于點電荷的電場．當(dāng)然如果R非常小，感應(yīng)電荷的分布局域在點電荷附近，兩者對遠(yuǎn)處的影響幾乎可以抵消．如圖7所示，左側(cè)z=-H處帶電圓環(huán)在圓柱面上形成的感應(yīng)電荷在軸線上z=H處形成的電場強(qiáng)度量值隨圓環(huán)半徑r0的變化情況(實線)，為方便比較虛線示意軸線上z=-H處等量點電荷在軸線上z=H處形成的電場強(qiáng)度量值，這里取H=1 m，R=0.1 m．在其它條件不變的情況下，圓環(huán)半徑的增加導(dǎo)致圓柱面上的感應(yīng)電荷不斷向z=-H平面附件收縮(見圖4說明)，最終導(dǎo)致遠(yuǎn)處(d>>R)軸線上感應(yīng)電荷電場的減?。?感應(yīng)電荷分布收縮到一定程度，其產(chǎn)生的電場會比等量點電荷產(chǎn)生的電場小，轉(zhuǎn)折點近似在r0=0.8R附件，這一結(jié)果印證了前面分析的正確性．

圖7 帶電圓環(huán)的感應(yīng)電荷在軸線上確定位置的電場隨圓環(huán)半徑變化情況

4 總結(jié)

通過求解相關(guān)邊值問題，將帶電細(xì)圓環(huán)與導(dǎo)體圓柱面系統(tǒng)中的電勢用貝塞爾函數(shù)來展開，進(jìn)而圖示分析了電勢的分布．由電勢得到圓柱面內(nèi)表面感應(yīng)電荷面密度的分布情況，計算了感應(yīng)電荷在軸線上產(chǎn)生的電場，并對軸線上點電荷所受感應(yīng)電荷的吸引力進(jìn)行了計算，發(fā)現(xiàn)在適當(dāng)條件下，由于感應(yīng)電荷的影響，軸線上一對等量同號點電荷受到的靜電力為吸引力．