周 游，俞瀟瀟

(華中師范大學 化學學院，湖北 武漢 430070)

由于天體運動都是曲線運動，其速度和加速度都是時刻改變的，所以難以求解速度和運行時間之間的解析解，而直接通過建立位移和速度的關(guān)系也是較為困難的，目前也未見報道[1-3]. 本文獨辟蹊徑地通過機械能守恒和角動量守恒分別巧妙地建立了有心力場運動的速度、時間和位置的關(guān)系，并對導出的橢圓軌道速度和時間公式用哈雷彗星進行實際檢驗.

眾所周知，行星(繞行天體)繞恒星(中心天體)運動時，忽略它們和其它星體間的相互作用，繞行天體僅在中心天體萬有引力作用下的運動軌跡只能是橢圓、拋物線、雙曲線，且中心天體處在這3種曲線中的一個焦點上[4-6].

1 有心引力場的研究思路

由于引力屬于保守力，所以繞行天體在運動過程中總機械能守恒，等于在該處的引力勢能與動能之和.本文將利用守恒定律推導天體軌跡、軌道離心率和運行速度、運行時間之間的代數(shù)關(guān)系.

為了研究方便，我們以行星-太陽系統(tǒng)為具體的研究對象. 以行星近日點為直角坐標系原點，行星和太陽在近日點的距離為r，且太陽位于坐標系的x正半軸上；太陽質(zhì)量為m1，行星質(zhì)量為m2，行星軌道離心率為e.圖1中的曲線為相同近日點和焦點的4種圓錐曲線軌道.

圖1 以近日點為原點的圓錐曲線軌道

我們?nèi)菀椎玫揭越拯c為坐標原點的圓錐曲線的方程和曲率半徑(見表1). 同時，我們不妨設(shè)行星在近日點速度為v0，行星在運動時的投影橫坐標為x.結(jié)合圓錐曲線頂點的曲率半徑公式，對不同圓錐曲線軌道進行分類討論.其關(guān)鍵在于速度的求解思路，因為橢圓、拋物線和雙曲線軌道的速度是時刻改變的，直接方式難以求解.我們獨辟蹊徑地利用機械能守恒定律，其中引力勢能只與距離有關(guān)，容易求解，而機械能和引力勢能兩者之差即得到動能，也就間接地獲得了速度大小.

表1 近日點為直角坐標原點的圓錐曲線軌道方程和曲率半徑

2 有心引力場的具體研究內(nèi)容

2.1 機械能、速度和位置的關(guān)系

對于圓軌道而言，離心率e=0，行星繞行速率恒定，對于機械能E0和速度v00容易求解.

對于橢圓軌道，0

由

得

Ek1=E1-Ep1

即

得到

對于拋物線軌道，e=1，近日點的曲率半徑ρ=2r，屬于開放式軌道，速度時刻變化,但機械能也守恒.且軌道上任意位置行星和太陽距離為d=r+x.計算結(jié)果表明，當行星按照拋物線軌道運行很遠時，最終行星速度趨于0.

由

得近日點速度大小

即

得

x→∞，最終速度v2f=0.

由

得近日點速度大小

即

得

x→∞,存在收尾速度，即

下面總結(jié)圓錐曲線軌道兩天體距離、機械能、速度和位置的關(guān)系.在我們建立的坐標系下，可以發(fā)現(xiàn)它們的表達式高度統(tǒng)一，顯示出有心力場運動的優(yōu)美和諧！

頂點的曲率半徑：

ρ=r(1+e)

行星和太陽距離：

d=r+ex

行星的近日點速度大?。?/p>

行星機械能：

行星角動量大?。?/p>

行星速度大?。?/p>

同理，也可以反過來斷定.當中心天體質(zhì)量和行星近日點位置確定時，行星近日點速度大小可以決定其軌跡.

因此對于特定的行星繞恒星系統(tǒng)，軌道上任意位置的速度大小唯一確定，且可得到其解析解.另外，由于行星、衛(wèi)星、人造天體的運行軌跡都是橢圓，用橢圓軌道近日點速度v01、半長軸a和離心率e表示的速度公式更加具有實用性.將橢圓軌道中r=a(1-e)代入，最后得到的結(jié)果很對稱.

2.2 運行時間和位置的關(guān)系

速度和位置的關(guān)系已經(jīng)完全解決，對于時間和位置能否建立關(guān)系呢？可以從開普勒第二、第三定律入手.首先引入面積速度h，開普勒第二定律描述了行星軌道的面積速度為定值，其本質(zhì)就是角動量守恒.用橢圓軌道面積除以面積速度即可得到周期公式[9, 10].并且此部分的內(nèi)容是將橢圓軌道的中心放在坐標原點，太陽在其x負半軸上，所涉及的坐標都設(shè)為x0.

根據(jù)角動量守恒定律，有

面積速度為

橢圓面積為

S=πab

則行星周期為

開普勒第三定律得證.

既然面積速度為常量，且以近日點為計時起點，掃過的面積除以面積速度即可得到繞行的天體運動到軌道上任意位置所需的時間，也就是將位置和時間聯(lián)系起來了.

圖2 橢圓軌道掃過的面積

關(guān)鍵在于求解在橢圓中掃過的面積，這部分面積等于橢圓部分面積和三角形面積之差(如圖2所示).用定積分計算橢圓曲邊形的面積，然后用面積除以面積速度即得運行時間.

以近日點為計時起點的時間即為

同理，容易得到以遠日點為計時起點的時間：

上面得到了最終的運行時間和位置關(guān)系，其中-a≤x0≤a，發(fā)現(xiàn)幾個特殊位置的時間完全符合實際情況(以近日點為計時起點).

運行時間和位置關(guān)系如下：

當x0=-a,則t=0.

哈雷彗星軌道是離心率很大的橢圓，這導致它在近日半程(-a≤x0≤0)和遠日半程(0≤x0≤a)運動時間差異很大，用Stellarium0.18.3軟件可以查詢到哈雷彗星軌道參數(shù)如下：1986年2月6日到達近日點，1993年5月8日到達橢圓上頂點，2023年10月4日達到遠日點.計算的兩段時間比值和查詢的實際數(shù)值十分吻合！

哈雷彗星軌道方程為

據(jù)前易得

計算得

實際是

2.3 公式的總結(jié)和驗證

如果將橢圓軌道的中心置于坐標原點，其速度公式會更加簡潔對稱，徹底解決了速度-位置、時間-位置的關(guān)系.而且可以進一步用真實的天體軌道驗證其準確性.

任意位置速度大小公式為

任意位置時間公式：

近日點計時，有

遠日點計時，有

最后，我們用哈雷彗星來驗證公式的準確性和精確性，哈雷彗星的真實數(shù)據(jù)來源自天文軟件Stellarium0.18.3. 我們選取了1948年遠日點到1986年近日點的相關(guān)數(shù)據(jù)，并用我們的公式進行計算，發(fā)現(xiàn)速度和時間都和實際值吻合非常好(表2中展示了相關(guān)數(shù)據(jù)).

哈雷彗星軌道a=17.834 AU=2.667 95×1012m,e=0.967 1,實際周期T=75.367年

G=6.672 59×10-11N·m2/kg2,

M=1.989×1030kg,

r=0.586 AU=8.766 1×1010m

可求得

75.366年

表2 哈雷彗星的位置和速度、時間關(guān)系，實際值和計算值的對比

我們另外用Stellarium0.18.3的數(shù)據(jù)繪制了哈雷彗星1986年至2061年的軌道速度和時間圖(如圖3). 圖3中哈雷彗星為順時針方向從A點開始運行，橫坐標位移梯度為0.1 a，對應(yīng)每個點的速度單位為km/s，時間為年月日，灰色不完整的虛線軌道為海王星軌道.

圖3 哈雷彗星軌道不同位置的時間、速度

3 結(jié)論

本文獨辟蹊徑地利用機械能守恒簡單地解決了有心力場下繞行天體的速度和位置的準確關(guān)系；通過面積速度解決了橢圓軌道運行時間和位置的準確關(guān)系. 并且還通過了哈雷彗星的軌道速度和運行時間進行實際驗證，證明了公式的準確性和精確性. 本文系統(tǒng)解決的有心力場問題不僅存在于萬有引力操控下的天體-中心天體運動，也存在于庫侖力驅(qū)使下的電荷-中心電荷運動.