徐威，郭麗麗

(沈陽工業(yè)大學機械工程學院,遼寧沈陽 110870)

0 前言

電液伺服系統(tǒng)因其功率密度大、響應速度快等優(yōu)點而在工業(yè)生產和國防軍事中廣泛應用。電液伺服系統(tǒng)主要以閥控液壓缸和閥控液壓馬達為主，其中閥控液壓缸又分為閥控對稱缸和閥控非對稱缸。雖然閥控對稱缸所占的機械結構空間比非對稱缸大，但因其結構簡單，對于液壓伺服系統(tǒng)的理論研究，仍然具有一定意義。

閥控液壓系統(tǒng)具有高度的非線性，為分析閥控液壓缸系統(tǒng)，必須建立其數學模型。但數學模型不是孤立的，要和擬采用的控制算法相結合，因此必須考慮保留哪些主要因素，忽略哪些次要因素。

電液伺服系統(tǒng)之所以被廣泛應用，是因為它將閉環(huán)控制策略引入液壓傳動系統(tǒng)，使液壓系統(tǒng)在具備高功率密度比的情況下，又具備了高響應速度、靈活性，甚至具有一定程度的人工智能。因而，隨著計算機和人工智能的發(fā)展，智能液壓伺服系統(tǒng)將有更加廣闊的發(fā)展空間。

傳統(tǒng)液壓伺服系統(tǒng)的控制方案主要采用PID控制方法，隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，又引入了極點配置方法，之后又引入了眾多的非線性控制方法。這些非線性控制方法主要包括反步法、模糊控制、自適應控制等。

在構建了數學模型和確定了控制算法后，需要對其進行驗證，工程上通常采用實驗法和仿真法進行驗證。仿真方法由于具有方便性和經濟性，在科學研究中的應用越來越廣泛。在眾多機電系統(tǒng)，尤其是液壓伺服系統(tǒng)的仿真方法中，基于功率鍵合圖的電液系統(tǒng)仿真方法的應用越來越多。

本文作者在參考國內外相關文獻的基礎上，結合前人的研究成果，推導閥控對稱缸的非線性微分方程，為控制算法的開發(fā)提供參考。分別論述PID、極點配置和自適應反步控制方法在閥控缸系統(tǒng)中的應用，對控制效果進行對比研究。利用功率鍵合圖方法進行仿真實驗對比研究，為控制算法的工程應用提供可行性方案。

1 閥控對稱缸系統(tǒng)基本理論

零開口四邊滑閥閥控對稱液壓缸的理論模型如圖1所示。它由四通滑閥和液壓缸組成，是閥控系統(tǒng)中最常見的動力機構。

圖1 閥控對稱缸動力機構理論模型

在文中，僅考慮負載為質量、彈簧和黏性阻尼組成的單自由度系統(tǒng)。

1.1 零開口四邊滑閥流量方程

如圖1所示，假設閥芯向右移動(>0)，如果圖中所示的節(jié)流邊1-4是匹配和對稱的，則通過節(jié)流邊1、3的流量應該相等，即：

=

(1)

式中：代表流過節(jié)流邊的流量。又根據孔口流量公式:

(2)

式中：為流量系數；為節(jié)流邊面積梯度;為閥芯位移;為液壓油密度;Δ為節(jié)流邊壓差。結合公式(1)(2)，并觀察圖1，有:

(3)

其中:

(4)

式中:為系統(tǒng)供油壓力;為液壓缸左腔壓力;為液壓缸右腔壓力。由式(3)可以得到：

+=

(5)

定義負載為

=-

(6)

聯(lián)立方程(5)(6)，可以解得:

(7)

定義負載流量為

(8)

則有

(9)

1.2 液壓缸(動力機構)動態(tài)特性方程

參考文獻[18]，液壓缸左腔的流量連續(xù)性方程為

(10)

液壓缸右腔的流量連續(xù)性方程為

(11)

式中:=(-)為內泄漏流量，而為內泄漏系數。又因為:

(12)

則有

(13)

定義負載流量為

(14)

結合公式(10)(11)(13)和(14)，得到:

(15)

式中:==;=;=-,定義為負載壓力。

最終得到液壓缸(動力機構)的動態(tài)特性方程為

(16)

1.3 動力機構力平衡方程

考慮黏性摩擦力和外負載，有：

(17)

式中:為外負載；為黏性摩擦系數；為負載彈簧剛度。

1.4 伺服閥芯的動態(tài)特性

如果將伺服閥考慮成一階系統(tǒng)，則閥芯的動態(tài)特性表達式為

(18)

式中：為伺服閥芯的時間常數；為伺服閥芯的增益；為通入伺服閥芯的電流。

1.5 閥控對稱液壓缸的非線性方程組

系統(tǒng)的動態(tài)方程式為式(9)、(16)—(18)，整理得到非線性方程組為

(19)

(20)

輸出方程為

=

(21)

為方便推導自適應控制算法，將式(20)進一步整理成嚴格反饋形式：

(22)

2 PID控制基本理論

將偏差的比例(Proportion)、積分(Integral)和微分(Differential)通過線性組合構成控制量，用這一控制量對被控對象進行控制，這樣的控制器稱為PID控制器。其中，模擬PID控制器的控制規(guī)律為

(23)

式中:為控制器的比例系數；為控制器的積分系數；為控制器的微分系數。

PID控制器是傳統(tǒng)的控制器，但是由于它采用偏差進行控制，因而不需要眾多系統(tǒng)狀態(tài)，并且適應線性和非線性系統(tǒng)。

3 閥控對稱缸極點配置控制理論

極點配置算法屬于現(xiàn)代控制理論，不同于PID算法，它要求系統(tǒng)模型是線性化的，所以需要對公式(20)進行線性化處理。參考文獻[18]中，滑閥的線性化流量方程為

=-

(24)

則閥控缸系統(tǒng)的線性化方程組為

(25)

狀態(tài)變量定義與第1.5節(jié)相同，則可以得到狀態(tài)空間表達式為

(26)

系統(tǒng)輸出與式(21)相同。整理成矩陣形式為

(27)

(28)

可以采用極點配置法對這個線性化的系統(tǒng)進行校正。

極點配置的方法有很多，狀態(tài)反饋是其中的一種，此時已經得到了閥控缸系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)空間表達式(28)，若其完全能控，則可以通過狀態(tài)反饋式=-，使其閉環(huán)極點位于指定位置。關于極點配置的具體方法，可參考相關文獻[18]，文中不再贅述。

4 閥控對稱缸的非線性自適應控制

下面研究采用反步法的自適應控制。反步法是用遞推的方法，逐步求解出一個非線性控制器，特別適合文中的非線性系統(tǒng)。

反步法第1步，令=1，有：

=-

(29)

對上式求導，有：

(30)

為保證系統(tǒng)收斂，定義如下李雅普諾夫函數：

(31)

則：

(32)

如果令：

(33)

將式(33)代入式(32)中，則有：

(34)

則系統(tǒng)收斂。

反步法第2步，令=2，則有：

=-

(35)

對上式求導，有:

(36)

令李雅普諾夫函數為

(37)

則：

(38)

當滿足式(39)時，系統(tǒng)收斂。

(39)

反步法第3步，令=3，則有:

=-

(40)

對上式求導，有:

(41)

(42)

則

(43)

令:

(44)

則式(43)變?yōu)?/p>

(45)

當滿足式(46)時，系統(tǒng)收斂。

(46)

5 仿真實驗對比研究

仿真是以計算機和各種物理效應設備為工具，利用數學模型或部分實物對實際的或設想的系統(tǒng)進行動態(tài)研究的一門綜合性技術。借助仿真工具(包括仿真理論和工具軟件)，可以對各種復雜系統(tǒng)進行分析和設計。近年來隨著計算機技術和仿真理論的發(fā)展，仿真技術在工程實際中發(fā)揮著越來越重要的作用，這其中尤其以功率鍵合圖最具有代表性。功率鍵合圖是描述系統(tǒng)功率流的傳輸、轉化、貯存和耗散的圖形表示，用于表示系統(tǒng)中的功率流程。其作用是把這種功率流程的分析用圖形表達出來，并采用統(tǒng)一的標記方法構造各類物理系統(tǒng)模型。

功率鍵合圖的優(yōu)點是其模塊化的結構與系統(tǒng)自身各部分的物理結構及各動態(tài)影響因素之間具有直觀、形象和一一對應的關系，特別適合用于機電系統(tǒng)的動態(tài)仿真。本文作者利用功率鍵合圖建立閥控缸的數學模型，并進行各種仿真算法的對比。

5.1 系統(tǒng)仿真的基本參數

在系統(tǒng)仿真中，參數是很重要的，它決定了仿真可以信賴的程度。在文中，閥控對稱缸系統(tǒng)仿真中所采用的基本參數如表1所示。

表1 閥控缸系統(tǒng)基本參數

5.2 功率鍵合圖描述的閥控對稱缸仿真模型

圖2所示為閥控缸系統(tǒng)自適應控制的功率鍵合圖仿真模型，該模型在功率鍵合圖建模仿真軟件20-SIM中完成。系統(tǒng)從左至右分別對應信號生成模型、自適應控制算法模型、伺服閥芯動態(tài)特性模型、伺服閥節(jié)流口鍵合圖模型、液壓缸鍵合圖模型、負載鍵合圖模型和繪圖元件等。其中,最重要的是節(jié)流口仿真模型和液壓缸模型。

圖2 閥控對稱缸非線性自適應控制功率鍵合圖仿真模型

文中共進行了閥控對稱缸的PID控制、極點配置控制和非線性自適應控制3種控制方式的仿真，下面對其仿真結果分別進行介紹。

所針對的控制模型，都是利用功率鍵合圖理論建立閥控對稱缸的非線性仿真模型，一方面保證對比仿真實驗的一致性，另一方面更加接近真實的閥控缸系統(tǒng)，更能真實驗證各種控制算法的控制效果。

5.3 PID控制仿真實驗

PID控制最主要的控制器參數是比例系數、積分系數和微分系數，PID控制器只有在參數得到良好整定的前提下才能達到令人滿意的控制效果。但最常用的參數整定方法，仍然是根據經驗確定各參數，通常需要根據系統(tǒng)的輸出響應決定控制器的主要參數，因此系統(tǒng)仿真顯得尤為重要。經過仿真，表2所示為某次經過整定后的PID控制器參數。

表2 PID控制器參數

使用表2中參數設置控制器，得到輸入單位階躍信號時，在PID控制算法作用下閥控對稱缸系統(tǒng)的階躍響應曲線，如圖3所示。

圖3 PID控制階躍響應曲線

5.4 極點配置控制仿真

在極點配置理論中，主要是通過反饋系統(tǒng)的狀態(tài)變量，獲得對系統(tǒng)性能指標的控制。要應用極點配置，首先要指定期望的極點。極點的指定帶有一定的經驗成分，在文中，系統(tǒng)的期望極點如下：-1+20j、-1-20j、-10、-5。應用第3節(jié)的極點配置算法，得到表3所示的極點配置控制器參數。

表3 極點配置控制器參數

應用該控制器參數，對閥控對稱缸系統(tǒng)輸入階躍信號，仿真結果如圖4所示。對比圖3可以發(fā)現(xiàn):與傳統(tǒng)PID控制相比，極點配置算法更容易獲得更小的超調量。

圖4 極點配置階躍響應曲線

5.5 非線性自適應控制仿真

為比較先進控制器的控制效果，應用第4節(jié)的自適應反步法設計非線性控制器。該控制器的參數如表4所示。

表4 自適應控制器參數

當應用自適應非線性控制器時，對閥控對稱缸系統(tǒng)輸入階躍響應，其仿真結果如圖5所示。

圖5 自適應控制階躍輸入信號和響應曲線

對比圖3—圖5可知：自適應控制的階躍響應曲線比PID控制極點配置的階躍響應曲線超調量更小，顯示出了更加優(yōu)越的控制效果。

圖6所示為在階躍信號作用下，系統(tǒng)參數隨時間的變化。由于在階躍信號下，參數的自適應過程極其迅速，曲線變化不是十分明顯。

圖6 階躍信號作用下自適應控制器參數自適應過程

對系統(tǒng)輸入正弦信號，以更好地體現(xiàn)自適應控制算法參數動態(tài)變化。

圖7所示為對閥控對稱缸系統(tǒng)輸入正弦信號后，系統(tǒng)的輸出位移響應。為保證系統(tǒng)參數有足夠的自適應調整過程，仿真時間設定為40 s。

圖7 正弦輸入信號和響應曲線

圖8所示為系統(tǒng)在正弦輸入信號作用下，參數的自適應過程。可以看出：閥控對稱缸的未知參數在自適應算法的作用下，逐漸趨向一個穩(wěn)定的常量。這樣，當系統(tǒng)中某些參數未知時，可以利用自適應控制算法彌補未知系統(tǒng)參數所帶來的控制不準確性。對比PID控制、極點配置控制和自適應控制算法，自適應控制算法最適合工程應用。

圖8 正弦信號作用下自適應控制器參數自適應過程

6 結論

(1)本文作者推導了閥控對稱缸的理論模型，得到了描述其動態(tài)特性的非線性方程組，所推導的模型具有廣泛的適應性；

(2)針對閥控缸高度的非線性特性，設計了PID控制器、極點配置控制器和基于反步法的自適應控制器，尤其考慮了系統(tǒng)參數的未知因素，重點推導了基于反步法的非線性自適應控制器，對非線性系統(tǒng)控制器的設計有積極意義；

(3)建立了閥控對稱缸的功率鍵合圖模型，并以它為對象，分別用PID控制器、極點配置控制器和自適應控制器對該模型進行了仿真分析。結果表明：PID控制器適應范圍較廣，無論模型是線性還是非線性系統(tǒng)，都可以進行控制，但是由于PID控制器的3個控制參數互相作用，較難獲得優(yōu)良的控制效果；極點配置控制器只能對線性化的系統(tǒng)進行控制，但其控制效果優(yōu)于PID控制器；自適應控制器的控制效果和參數的自適應性最好，是3種控制器中最理想的非線性控制器。