董琴琴

(南充科技職業(yè)學(xué)院 智能制造學(xué)院，四川 南充 637200)

關(guān)鍵字：懸臂梁；靜力分析；拓?fù)鋬?yōu)化

0 引言

懸臂梁是在材料力學(xué)中為了便于計(jì)算分析而得到的一個(gè)簡(jiǎn)化模型，懸臂梁的一端是固定支座，另一端為自由端。在荷載作用下，可根據(jù)力的平衡條件求得懸臂梁的固定端的支座反力，包括水平力、豎向力以及彎矩，并可據(jù)此畫出軸力圖、剪力圖與彎矩圖[1]。

由于梁一般承受豎向的集中荷載或均布荷載的作用，故支座的水平反力為0。由于懸臂梁屬于靜定結(jié)構(gòu)，因此體系的溫度變化、混凝土收縮徐變、支座移動(dòng)等只會(huì)使懸臂梁出現(xiàn)變形，但是不會(huì)在懸臂梁中產(chǎn)生附加內(nèi)力[2,3]。懸臂梁簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 懸臂梁簡(jiǎn)圖

拓?fù)鋬?yōu)化能在給定的外載荷和邊界條件下，通過(guò)改變結(jié)構(gòu)拓?fù)涫蛊湓谝欢s束條件下性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。拓?fù)鋬?yōu)化以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)在諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[4]。

本文通過(guò)ABAQUS仿真軟件對(duì)懸臂梁模型進(jìn)行仿真分析，得出懸臂梁模型的應(yīng)力云圖，并對(duì)懸臂梁模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，得到較為合理的拓?fù)鋬?yōu)化后的懸臂梁結(jié)構(gòu)。

1 懸臂梁的有限元分析

懸臂梁模型的有限元分析，主要是對(duì)懸臂梁進(jìn)行前處理、總裝求解及后處理。其中，前處理包括定根據(jù)實(shí)際問(wèn)題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域、定義單元類型、定義單元的材料屬性、定義單元的連通性、定義單元的基函數(shù)、定義邊界條件及載荷?？傃b求解包括單元總裝成整個(gè)離散的總矩陣方程及聯(lián)合方程組?？傃b是在相鄰單元結(jié)點(diǎn)進(jìn)行。狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性建立在結(jié)點(diǎn)處。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、選代法。求解結(jié)果是單元結(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值。后處理需要對(duì)所求出的解根據(jù)有關(guān)準(zhǔn)則進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)[5,7]。

在彈性小變形范圍內(nèi)，梁節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移向量：

(1)

且kij=kji，即[k]e為對(duì)稱陣。

由梁變形公式：對(duì)于i節(jié)點(diǎn)：

其中：

I——慣性矩

E——彈性模量

接著，假定一系列邊界條件，結(jié)合平衡方程，即可求出平面彎曲梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚍椋?/p>

(2)

則平面梁?jiǎn)卧挠邢拊治觯?/p>

(3)

綜上所述，在對(duì)懸臂梁一平施加均勻載荷時(shí)，懸臂梁端點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)位移公式為：

(4)

(5)

其中：

ω——節(jié)點(diǎn)處位移；q——載荷，Mpa；l——懸臂梁長(zhǎng)度；h——懸臂梁高度；b——懸臂梁長(zhǎng)度。

本文主要對(duì)懸臂梁模型進(jìn)行靜力分析及其附加內(nèi)力進(jìn)行研究，并在進(jìn)行了靜力分析后對(duì)該懸臂梁模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，以此得到懸臂梁的靜力分析結(jié)果和拓?fù)鋬?yōu)化后的懸臂梁模型。

2 懸臂梁的建模仿真

2.1 懸臂梁的三維建模

用ABAQUS三維軟件繪制懸臂梁模型，并設(shè)置懸臂梁臂側(cè)面尺寸為100mm，高為10mm，設(shè)置拉伸深度為13mm，得到懸臂梁的三維模型。懸臂梁的三維模型如圖2所示。

圖2 懸臂梁的三維模型

2.2 懸臂梁的線性靜態(tài)仿真

設(shè)置懸臂梁的材料屬性。設(shè)定其彈性模量E=210000×106，泊松比v=0.3。

建立材料界面屬性，并將材料屬性賦予圖1中建立的懸臂梁模型，得到被賦予截面屬性的懸臂梁模型，此時(shí)懸臂梁模型在ABAQUS操作頁(yè)面中變?yōu)榫G色，表示截面屬性賦予成功。將被賦予截面屬性的懸臂梁模型進(jìn)行裝配。

建立分析步。設(shè)置初始增量步為0.1來(lái)減少初始遞增值。定義懸臂梁模型的邊界條件，并約束三個(gè)邊界自由度，將懸臂梁模型的一端固定。

定義邊界條件。將懸臂梁一端固定，其面上的X、Y、Z三個(gè)方向上的自由度均設(shè)置為0；

定義載荷。在懸臂梁模型的一面施加均勻載荷，該面與固定面呈90°，并將該面載荷設(shè)置為0.5Mpa。

劃分網(wǎng)格。幾何模型是網(wǎng)格和邊界的載體，在所生成的幾何模型上，應(yīng)用特定的網(wǎng)格類型、網(wǎng)格單元和網(wǎng)格密度，對(duì)面或進(jìn)行劃分，可以獲得網(wǎng)格。本文中為了達(dá)到較好的靜力分析結(jié)果和拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，將網(wǎng)格尺寸設(shè)置為1，得到圖3所示的懸臂梁模型。

圖3 網(wǎng)格劃分

根據(jù)所設(shè)置的彈性模量、載荷、懸臂梁尺寸等參數(shù)，可以計(jì)算得到懸臂梁背離固定面一端的節(jié)點(diǎn)位移為0.000162559mm。

2.3 懸臂梁的拓?fù)鋬?yōu)化仿真

懸臂梁的拓?fù)鋬?yōu)化是懸臂梁模型結(jié)構(gòu)的最優(yōu)方案，由于施加載荷的一面和施加邊界條件的一面不能進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，因此將這兩個(gè)位置設(shè)置為固定，并將懸臂梁的初密度設(shè)置為0.55。將懸臂梁模型拓?fù)鋬?yōu)化方案定義為最小體積后，設(shè)置其拓?fù)鋬?yōu)化的目的為體積小于等于45%，位移量小于等于14mm[8,9,10,]。

拓?fù)鋬?yōu)化以材料分布為優(yōu)化對(duì)象，通過(guò)該方法可以在均勻分布材料的設(shè)計(jì)空間中找到最佳的分布方案。由此可見，拓?fù)鋬?yōu)化相對(duì)于尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化，具有更多的設(shè)計(jì)自由度，能夠獲得更大的設(shè)計(jì)空間，是結(jié)構(gòu)優(yōu)化最具發(fā)展前景的一個(gè)方面[11]。

3 懸臂梁的仿真結(jié)果

3.1 懸臂梁的線性靜態(tài)分析

在對(duì)懸臂梁模型進(jìn)行靜態(tài)仿真后得到懸臂梁的位移云圖，如圖4所示。

圖4 懸臂梁模型的位移云圖

仿真結(jié)果表明：從圖4中可以看出，懸臂梁上藍(lán)色區(qū)域距離定義邊界條件的一端較近，因此其變形位移較小。距離邊界條件越遠(yuǎn)，其變形位移越大。懸臂梁上紅色區(qū)域?yàn)楸畴x固定面的一端，其距離為0.001919mm，通過(guò)計(jì)算可以得到紅色區(qū)域上的平均位移為0.00016mm。

3.2 拓?fù)鋬?yōu)化仿真結(jié)果

拓?fù)鋬?yōu)化后的懸臂梁模型如圖5所示。

圖5 拓?fù)鋬?yōu)化后的位移云圖

仿真結(jié)果表明：從圖5中可以看出，懸臂梁去掉了不承載載荷的部分結(jié)構(gòu)，使得懸臂梁模型形成了一個(gè)最優(yōu)結(jié)構(gòu)形態(tài)[12]。

4 結(jié)語(yǔ)

(1)由懸臂梁的靜力分析仿真結(jié)果可知：懸臂梁在受到均勻載荷的作用時(shí)，會(huì)有輕微變形，通過(guò)ABAQUS中的靜力分析模塊，可以得到懸臂梁各個(gè)部位的位移變化量，可以此來(lái)判斷均勻載荷對(duì)懸臂梁變形量的作用。

(2)本文中懸臂梁靜力分析結(jié)果得到：背離固定面一端的平均變形位移為0.00016mm，根據(jù)理論計(jì)算得到懸臂梁背離固定面一端的變形位移為0.000162559mm。對(duì)比可知：ABAQUS中的平均變形位移與理論變形位移結(jié)果接近，說(shuō)明ABAQUS仿真結(jié)果達(dá)到預(yù)期。

(3)由懸臂梁的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可知：拓?fù)鋬?yōu)化后的懸臂梁模型帶有較多的空腔和間隙，不承載均勻載荷所施加的作用力的部分結(jié)構(gòu)會(huì)形成空腔。拓?fù)鋬?yōu)化能夠在不改懸臂梁模型性能的同時(shí)簡(jiǎn)化模型結(jié)構(gòu)，仿真結(jié)果達(dá)到預(yù)期，并形成了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定且較為簡(jiǎn)化的懸臂梁模型。