李家銳 王梓安 徐彤彤 張蓮蓮 公衛(wèi)江

(東北大學(xué)理學(xué)院,沈陽 110819)

理論上分析了受自旋指標(biāo)調(diào)控并施以增益和損耗復(fù)勢能的一維非厄米自旋軌道耦合Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型的拓?fù)湫再|(zhì)和能譜特性.發(fā)現(xiàn)虛勢能導(dǎo)致體系的拓?fù)浞瞧接箙^(qū)出現(xiàn)能譜虛化,而在拓?fù)淦接箙^(qū)發(fā)生 PT 相變.此外,虛勢能和自旋軌道耦合共同作用使得拓?fù)淦接箙^(qū)中發(fā)生拓?fù)湎嘧?并且拓?fù)浞瞧接箙^(qū)變寬.能譜結(jié)果顯示,虛勢能和自旋軌道耦合對于體系的零能態(tài)有明顯的調(diào)控作用,主要在于出現(xiàn)了4 種局域性、數(shù)目均不同的零能態(tài).這說明虛勢能和自旋軌道耦合對體系的能帶結(jié)構(gòu)的特殊調(diào)節(jié)效果.本文有助于理解 PT 對稱非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧冃袨?

1 引言

多年來,具有空間和時間反演組合對稱性(PT對稱性)的非厄米哈密頓量一直是量子物理領(lǐng)域的研究熱點.PT對稱性的概念最早是在1998 年由Bender 和Boettcher 提出的,他們發(fā)現(xiàn)在PT對稱破缺發(fā)生之前,系統(tǒng)能夠出現(xiàn)純實數(shù)的本征能譜[1].隨著非厄米和拓?fù)淞孔游锢淼陌l(fā)展,PT對稱拓?fù)淞孔游锢硪呀?jīng)成為一個重要的研究方向[2-5].

在眾多非厄米PT對稱體系的結(jié)構(gòu)中,Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型是最基本、最重要的體系之一[6-8].所謂的一維SSH 模型是一種具有交替跳躍系數(shù)的一維兩能帶晶格[9-12].在厄米情況下,通過調(diào)節(jié)胞內(nèi)和胞間躍遷系數(shù)的比值,在布里淵區(qū)的邊界處會出現(xiàn)能隙閉合再打開的過程,即拓?fù)湎嘧僛13].在開邊界條件下,拓?fù)浞瞧接箙^(qū)的能隙中會出現(xiàn)局域在系統(tǒng)兩端的零能邊緣態(tài).正因為SSH 模型清晰的拓?fù)涮匦?被視為非厄米拓?fù)淞孔游锢淼闹匾芯繉ο?朱保剛等[14]研究了在模型兩端具有增益和損耗虛勢能的PT對稱非厄米SSH 模型.發(fā)現(xiàn)虛勢能的加入會導(dǎo)致體系的拓?fù)淦接箙^(qū)和非平庸區(qū)表現(xiàn)出不同的特性.在拓?fù)淦接箙^(qū)中,虛勢能會導(dǎo)致系統(tǒng)經(jīng)歷自發(fā)的PT對稱破缺轉(zhuǎn)變.而在拓?fù)浞瞧接箙^(qū),僅會出現(xiàn)自發(fā)的PT對稱破缺相.隨后,許多課題組致力于研究PT對稱非厄米SSH 模型的性質(zhì),討論了自發(fā)PT對稱破缺,添加次近鄰耦合、拓?fù)湎辔灰约捌娈慄c和拓?fù)溥厬B(tài)[15-21].在此基礎(chǔ)之上,其他復(fù)雜結(jié)構(gòu)也得到討論,如PT對稱的三聚體晶格、Kitaev 模型、六角蜂窩晶格等[22-25].

雖然在自然界中找不到特殊的PT對稱系統(tǒng),但實驗上可以等效實現(xiàn).如利用光波導(dǎo)通道可以得到具有增益和損耗效果的復(fù)勢能[26],利用光學(xué)微腔或單向隱形Bragg 光柵結(jié)構(gòu)實現(xiàn)PT對稱[27,28].PT對稱光學(xué)和拓?fù)涔庾訉W(xué)的發(fā)展直接推動了PT對稱拓?fù)湎到y(tǒng)的發(fā)展.除了光學(xué)系統(tǒng)之外,在聲學(xué)領(lǐng)域[29]以及LRC 電路中也能實現(xiàn)PT對稱[30,31].

隨著自旋軌道耦合體系研究的深入,有研究組指出自旋軌道耦合對厄米體系的拓?fù)湫再|(zhì)具有重要影響和驅(qū)動作用[32-34].受此啟發(fā),本文擬設(shè)計一個復(fù)雜的體系,即在一維自旋軌道耦合SSH 模型的基礎(chǔ)上施加與自旋方向相關(guān)的虛勢能.目的在于,研究虛勢能和自旋軌道耦合對一維自旋軌道耦合SSH 模型拓?fù)湫再|(zhì)的共同驅(qū)動作用.研究發(fā)現(xiàn),隨著虛勢能的增加,體系發(fā)生自發(fā)PT對稱破缺.此外,虛勢能和自旋軌道耦合共同作用會誘導(dǎo)拓?fù)淦接箙^(qū)發(fā)生相變,使得拓?fù)浞瞧接瓜嗟姆秶黾?在此過程中,兩種參數(shù)對拓?fù)浞瞧接箙^(qū)也產(chǎn)生了不同特性的零能態(tài).所有現(xiàn)象都表明了虛勢能和自旋軌道耦合對非厄米自旋軌道耦合SSH 模型拓?fù)湫再|(zhì)、邊緣態(tài)特征等因素具有豐富的調(diào)控作用.

2 理論模型

本文提出的非厄米一維自旋軌道耦合SSH 模型是由Nc個原胞組成的一維鏈,具體結(jié)構(gòu)如圖1所示.體系哈密頓量表示為

圖1 非厄米自旋軌道SSH 模型示意圖.A 和B 表示兩種晶格,紫色上箭頭和綠色下箭頭分別表示具有增益和損耗的虛勢能 iγ 和 - iγ,淺綠色線和黑色線分別表示胞內(nèi)躍遷v 和胞間躍遷w,藍(lán)色線和粉色線表示胞內(nèi)自旋軌道耦合躍遷 λ υ 和胞間自旋軌道耦合躍遷λwFig.1.Schematic diagram of the non-Hermitian spin-orbit SSH model.A and B represent two kinds of lattices,and purple-up and green-down arrows represent imaginary potentials iγ and - iγ,respectively.Light-green and black lines denote intracell hopping v and intercell hopping w,and the blue and pink lines describe the intracell spin-orbit coupling λ υ and the intercell spin-orbit coupling λ w .

右側(cè)第一項H0表示一維自旋軌道耦合SSH 模型的哈密頓量:

(2)式右側(cè)第二項U描述在位能處引入能量增益和損耗來實現(xiàn)的虛勢能項,其哈密頓量寫為

2.1 對稱性

哈密頓量的對稱性決定了具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中對稱保護(hù)的拓?fù)湎辔?因此,應(yīng)首先關(guān)注體系的對稱性,以呈現(xiàn)自旋軌道耦合SSH 模型的拓?fù)湫再|(zhì).利用泡利矩陣,(5)式可以改寫成:

根據(jù)所滿足的對稱性,可以將拓?fù)潴w系分類[35,36].可以推斷厄米情況下本體系屬于BDI 類,而在非厄米情況下屬于非厄米系統(tǒng)38 種拓?fù)浞诸愔械腂DI?類,具體分類結(jié)果如表1 所列.以往的結(jié)論[35]表明,一維BDI 類體系存在類拓?fù)洳蛔兞?

表1 厄米和非厄米情況的 B DI 和 B DI? 類Table 1. The B DI and B DI? classes for Hermitian and non-Hermitian Hamiltonians.

2.2 能帶結(jié)構(gòu)與拓?fù)湎嘧?/h3>

需要強(qiáng)調(diào)的是,只從對稱性的角度確定體系的拓?fù)湫再|(zhì)是不夠準(zhǔn)確的.下面計算一維非厄米自旋軌道耦合SSH 模型的能帶結(jié)構(gòu),探究體系的拓?fù)湎嘧儣l件.將(5)式的哈密頓量進(jìn)行對角化處理,可以得到動量空間能帶表達(dá)式:

通過能帶表達(dá)式(9)能夠發(fā)現(xiàn),當(dāng)k=±π 時中間兩條能帶發(fā)生閉合,此時λ,δ和t之間滿足條件δ=±λ/t.同樣,當(dāng)三者滿足δ=±t/λ時,中心能帶在k=0處發(fā)生能隙閉合.如圖2(a)和圖2(b)所示的λ=0.3 時的能譜.可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)δ=0.3 時中間兩條能帶在k=±π 相 交,而 當(dāng)δ=3.333 時能隙 在k=0處閉合,與理論推導(dǎo)結(jié)果一致.

圖2 (a),(b) 厄米情況下,體系的 動量空 間能譜 圖,λ =0.3 (a) δ =0.4 ;(b) δ =2.5 .(c) 動量空 間相圖,其中黃 色對應(yīng)Z=2π,綠色對應(yīng) Z =π 以及紫色對應(yīng) Z =0 .(d) 體系能譜隨著二聚化參量 δ 的變化Fig.2.(a),(b) The energy spectra of system in the momentum space under the Hermitian condition with λ =0.3 : (a) δ =0.4 ;(b) δ =2.5 .(c) Phase diagram in the momentum space,where yellow region corresponds to Z =2π,green region corresponds to Z=π,and purple corresponds to Z =0 .(d) Energy spectrum with the change of dimerization parameter δ .

根據(jù) B DI 類對稱性的結(jié)論,體系存在Z類拓?fù)洳蛔兞?將動量空間哈密頓量轉(zhuǎn)換為非對角形式,代入拓?fù)洳蛔兞勘磉_(dá)式

圖3 隨 γ 和 λ 變化的拓?fù)湎鄨D.藍(lán)色對應(yīng) Z =π 的拓?fù)浞瞧接瓜?綠色區(qū)域表示=0 的拓?fù)淦接瓜?相關(guān)參數(shù)為 δ =0.4 以 及t=1.0Fig.3.Topological phase diagram with changes in γ and λ .Blue region corresponds to the topologically non-trivial phase of =π,and green region represents the topologically trivial phase of Z =0 .Relevant parameters are taken to be δ =0.4 and t =1.0 .

3 數(shù)值結(jié)果與討論

基于上述理論推導(dǎo),接下來從動量空間和坐標(biāo)空間出發(fā),詳細(xì)討論非厄米一維自旋軌道SSH 模型的能帶結(jié)構(gòu).為方便計算,整篇文章中取t=1.0 .

圖4 給出了在動量空間中非厄米一維自旋軌道耦合SSH 模型的能譜.參數(shù)設(shè)置為λ=0.3 和δ=0.4,對應(yīng)厄米情況下的拓?fù)淦接箙^(qū).從圖4 可以發(fā)現(xiàn),隨著γ的增加,體系確實經(jīng)歷了兩次相變過程,這意味著虛勢能在調(diào)控體系的拓?fù)鋵傩苑矫姘缪萘酥匾巧?具體來說,從圖4(a)和圖4(b)可以觀察到,當(dāng)γ增加至?xí)r,中間兩條能帶在k=±π處相遇.在這個過程中發(fā)生了拓?fù)湎嘧?與(11)式結(jié)果一致.隨著γ繼續(xù)增加,閉合的能隙重新打開.在γ=0.8 時(如圖4(c)),上下兩條能帶在k=±π 處相交,此時簡并點能量為|E|=2λ.當(dāng)γ＞2δt時,虛勢能使簡并點劈裂成兩個與PT對稱性破缺相關(guān)的奇異點,此時出現(xiàn)能量虛部.當(dāng)γ ≈1.986 時,能隙重新在k=0 處閉合,且閉合點的能級虛部 I m(E)=0 (如圖4(e)).這說明了體系發(fā)生第二次相變,而且條件與(12)式一致.隨著非厄米勢能的增加,兩個奇異點繼續(xù)移動,復(fù)能區(qū)逐漸擴(kuò)展到中心.在γ=2t=2.0 時,兩個奇異點在k=0處合并,虛部在k=0 處形成狄拉克錐,此時實部能量為E=±2δλ(如圖4(f)).最后,γ＞2t時,整個體系的能量全部為復(fù)數(shù),不再存在奇異點.根據(jù)以上結(jié)果,可以確定虛勢能在非厄米自旋軌道耦合SSH 模型中誘導(dǎo)出了豐富的能帶結(jié)構(gòu).

圖4 不 同虛勢能 γ 的能帶結(jié)構(gòu) (a) γ =0.3 ;(b) γ =/5 ;(c) γ =0.8 ;(d) γ =1.0 ;(e) γ ≈1.986 ;(f) γ = 2 .0 .對 應(yīng)于圖3中標(biāo)出的各個位置.藍(lán)線表示能量的實部,紅線對應(yīng)于虛部.其他參數(shù)為λ=0.3和δ=0.4Fig.4.Band structures for different values of imaginary potentialγ: (a)γ=0.3;(b)γ=/5 ;(c) γ = 0 .8 ;(d) γ =1.0 ;(e) γ ≈1.986 ;(f) γ =2 .Correspond to the respective points in Fig.3.The blue lines indicate the real part of energy,and the red lines correspond to the imaginary part.Other parameters are λ =0.3 and δ =0.4 .

接下來討論開邊界情況下體系的能譜結(jié)構(gòu),相關(guān)參數(shù)取λ=0.3 .根據(jù)厄米情況的結(jié)論知道,當(dāng)δ ∈[-1.0,-0.3] 時,存在四重簡并零能,而在δ ∈[-0.3,0.3]時表現(xiàn)為二重簡并零能,剩下區(qū)域δ ∈[0.3,1]為拓?fù)淦接箙^(qū).

圖5 給出的是在Nc=50 的條件下能帶的實部和虛部.由(11)式和(12)式可知,非厄米情況下體系在和δ3(4)=處會發(fā)生相變.從能量的實部和虛部圖中可以發(fā)現(xiàn),虛勢能對于體系的拓?fù)浞瞧接购推接瓜嗟捏w態(tài)和零能態(tài)具有不同的調(diào)控作用.首先,對于拓?fù)淦接箙^(qū)而言(厄米 0.3＜δ＜1),隨著γ的增加,由虛勢能誘導(dǎo)的零能態(tài)區(qū)域逐漸變寬.當(dāng)γ=1.908 時,達(dá)到拓 撲相變條件δ1,在δ ∈[0.3,1.0]全區(qū)間內(nèi)存在零能態(tài)(如圖5(e)).在整個過程中新產(chǎn)生的零能態(tài)無虛部出現(xiàn).而在拓?fù)浞瞧接箙^(qū)(厄米δ∈[-1.0,0.3])中,虛勢能對兩個非平庸相的作用效果不同.虛勢能的加入導(dǎo)致厄米的四重簡并零能態(tài)出現(xiàn)虛部,即E=0±ib,說明該階段發(fā)生PT對稱破缺,而原來二重簡并的狀態(tài)仍表現(xiàn)為純實數(shù)的零能.γ的增加使?jié)M足δ2的拓?fù)湎嘧凕c逐漸靠近δ=-1.0,導(dǎo)致原來四重零能態(tài)區(qū)域減小,二重零能態(tài)區(qū)域逐漸增大.另外,在δ ∈[-δ2,0] 中出現(xiàn)從體態(tài)析出的孤立態(tài).隨著δ趨近于-1.0,孤立態(tài)也逐漸進(jìn)入到零能態(tài)中并伴有能量虛部,形成具有純實零能又有純虛能的混合六能態(tài)區(qū)域.由于該部分的零能態(tài)不是由于能隙閉合再打開產(chǎn)生,推斷其不具有拓?fù)湫?當(dāng)γ=2.0 時,拓?fù)湎嘧兊钠迫睂?dǎo)致體系不再存在拓?fù)湎?僅存在具有虛勢能的能態(tài).對于體態(tài),在-γ/2＜δ ＜γ/2范圍內(nèi)體態(tài)有虛部出現(xiàn),發(fā)生PT對稱破缺,而其余區(qū)域的體態(tài)均為實數(shù).以圖5(d)為例,當(dāng)γ=2.0時,整個參數(shù)空間的體態(tài)都有虛部.基于以上結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)虛勢能對于開邊界條件下的的能帶結(jié)構(gòu)和拓?fù)鋺B(tài)具有明顯的調(diào)控作用.

圖5 開邊界情況下,不同 δ 的能量實部和虛部 (a),(b) γ =0.1 ;(c),(d) γ =/5 ;(e),(f) γ ≈1.908 ;(g),(h) γ =2.0 .左側(cè)顯示能量的實部,右側(cè)對應(yīng)于能量的虛部.其他參數(shù)設(shè)為 λ =0.3 .圖中紅線代表零能態(tài)的實部和虛部Fig.5.Real and imaginary parts of energy for different δ : (a),(b) γ =0.1 ;(c),(d) γ =/5 ;(e),(f) γ ≈ 1 .908 ;(g),(h)γ=2.0.Left panel shows the real part of energy,and the right corresponds to the imaginary part of energy.Other parameters are λ=0.3.The red lines denote the real and imaginary parts of zero energy states.

為了更好地描述體系中零模的特征,圖6(a)—(d)依次給出了δ=-0.7,δ=-0.32,δ=-0.23 及δ=0.32時的本征能譜和波函數(shù)概率密度.可以觀察到,不同區(qū)域的零能態(tài)呈現(xiàn)出異樣的特征.具體在于,當(dāng)δ=-0.7 時,在能隙中存在四個純虛能態(tài).圖6(a)概率密度譜中(i) 和(iii)對應(yīng) 0 +0.514i,(ii)和(iv)對應(yīng) 0-0.514i .由于虛勢能的加入導(dǎo)致本征能量變?yōu)閺?fù)數(shù),四個態(tài)都呈現(xiàn)局域在晶格的左端或右端的趨勢,并且相同能量的兩個態(tài)的局域性相反.圖6(b)對應(yīng)δ=-0.32 的結(jié)果.可以看出,能隙中存在六個態(tài),其中四個有虛能量,兩個能量為純實數(shù).從前面的結(jié)果可知,有能量虛部的態(tài)是由體態(tài)中析出的孤立態(tài)導(dǎo)致的,不具有拓?fù)湫?從概率密度可以發(fā)現(xiàn),兩個純實零能態(tài)(i)局域在系統(tǒng)的兩端.四個能量為 0 +0.271i (ii)和 0-0.271i (iii)的態(tài)也呈現(xiàn)局域在系統(tǒng)兩端的趨勢.為了確定從體系析出的孤立態(tài)情況,圖6(c)給出了δ=-0.23 的結(jié)果.從能譜可以觀察到,新產(chǎn)生的孤立態(tài)是二重簡并的,在能隙中間形成純實能的二重簡并零能態(tài).從概率密度可知,孤立態(tài)和零能態(tài)一樣,都呈現(xiàn)局域在系統(tǒng)兩端的趨勢.然而,與孤立態(tài)產(chǎn)生的零能模相比(圖6(b)中(ii)和(iii)),局域性相對較弱.最后,當(dāng)γ=0.32 時,虛勢能的加入導(dǎo)致原有的拓?fù)淦接箙^(qū)的間隙中出現(xiàn)局域在系統(tǒng)兩端的二重簡并零能態(tài),如圖6(d)所示.綜上所述,虛勢能的加入導(dǎo)致原來的拓?fù)淦接箙^(qū)的間隙中出現(xiàn)局域在系統(tǒng)兩端的二重簡并零能態(tài),而隨著體態(tài)析出的二重簡并孤立態(tài)進(jìn)入到零能態(tài)中,導(dǎo)致原有二重實零能態(tài)變?yōu)榱鶄€態(tài).這說明虛勢能可以讓體系的零能態(tài)呈現(xiàn)出更加有趣的現(xiàn)象.

圖6 開邊界條件下的能譜和概率密度譜 (a) δ =-0.7 ;(b) δ =-0.32 ;(c) δ =-0.23 ;(d) δ =0.32 .其他參數(shù)設(shè)為λ=0.3以及γ=/5Fig.6.Energy and probability density spectra with open boundary conditions: (a) δ =-0.7 ;(b) δ =-0.32 ;(c) δ =-0.23 ;(d)δ=0.32.The other parameters are λ=0.3 andγ=/5 .

下面討論虛勢能強(qiáng)度γ對不同區(qū)域能譜結(jié)構(gòu)的影響,如圖7 所示.其中圖7(a)和圖7(b)對應(yīng)δ=-0.4,圖7(c)和圖7(d)對應(yīng)δ=-0.2 以及圖7(e)和圖7(f)對應(yīng)δ=0.4 .它們分別描述厄米體系中四重簡并、二重簡并的拓?fù)浞瞧接箙^(qū)和拓?fù)淦接箙^(qū).從圖7(a)和圖7(b)可以發(fā)現(xiàn),在γ＜2δt=0.8 區(qū)間內(nèi)體態(tài)能量為實數(shù),而γ＞0.8 區(qū)間內(nèi)體態(tài)能量有虛部出現(xiàn).對于零能態(tài),只要γ不等于零,它的本征能量立刻呈現(xiàn)出虛部,導(dǎo)致體系一直PT破缺.此外,在兩次拓?fù)湎嘧凕c＜1.986之間,虛勢能驅(qū)動了新的純實零能態(tài)出現(xiàn);當(dāng)γ＞1.986,有虛勢能驅(qū)動的拓?fù)湎嘧兤迫?純實零能態(tài)消失.在δ=-0.2 的情況 下(圖7(c)和 圖7(d)),當(dāng)γ ＜0.4 時,整個體系處于嚴(yán)格的PT對稱;當(dāng)γ ＞0.4時,由于體態(tài)能量存在虛部,因此發(fā)生PT對稱破缺.除此之外,隨著γ的增加,可以看到確實從體態(tài)中析出二重簡并孤立態(tài).由于孤立態(tài)產(chǎn)生的零能加入,導(dǎo)致在γ＞1.4 后出現(xiàn)混合六能態(tài)區(qū).直到第二次拓?fù)湎嘧冎?體系的零能轉(zhuǎn)變?yōu)樗闹丶兲撃軕B(tài).最后,對δ=0.4 的情況,如圖7(e),(f)所示,體系經(jīng)歷PT相 變,即 在γ＞0.8 處發(fā)生PT對稱破缺.此外還能發(fā)現(xiàn),在兩次拓?fù)湎嘧冎g的間隙中出現(xiàn)有二重拓?fù)淞隳軕B(tài).基于以上結(jié)果可以看出,對于厄米情況下不同類型的拓?fù)湎?虛勢能會對零能和體態(tài)產(chǎn)生不同的作用效果.

圖7 γ 變化對能量實部和虛部的影響 (a),(b) δ =-0.4 ;(c),(d) δ =-0.2 ;(e),(f) δ =0.4 .左側(cè)顯示能量的實部,右側(cè)對應(yīng)于能量的虛部.其他參數(shù)為 λ =0.3 .圖中紅線代表零能態(tài)的實部和虛部Fig.7.Real and imaginary parts of energy for different γ : (a),(b) δ =-0.4 ;(c),(d) δ =-0.2 ;(e),(f) δ = 0 .4 .Left panel shows the real part of energy,and the right corresponds to the imaginary part.Other parameters are λ =0.3 .The red lines describe the real and imaginary parts of zero energy states,respectively.

圖8 不同λ導(dǎo)致的能量實部和虛部(a),(b)δ=-0.4;(c),(d) δ=-0.2 ;(e),(f) δ =0.4 .左側(cè)顯示能量的實部,右側(cè)對應(yīng)于能量的虛部.參數(shù)設(shè)置為γ=/5.圖中紅線代表零能態(tài)的實部和虛部Fig.8.Real and imaginary parts of energy for different λ : (a),(b) δ =-0.4 ;(c),(d) δ =-0.2 ;(e),(f) δ = 0 .4 .Left panel shows the real part of energy,and the right corresponds to the imaginary part.Other parameters are γ =/5 .The red lines describe the real and imaginary parts of zero energy states,respectively.

4 結(jié)論

本文在一維自旋軌道耦合SSH 模型中,通過施加具有增益和損耗的虛勢能來構(gòu)造一維PT對稱體系,著重考察了由虛勢能和自旋軌道耦合驅(qū)動的拓?fù)湎嘧円约傲隳軕B(tài)的特性.結(jié)果發(fā)現(xiàn),自旋軌道耦合和虛勢能的作用導(dǎo)致體系出現(xiàn)了豐富而有趣的現(xiàn)象.首先,虛勢能的加入讓拓?fù)浞瞧接贵w系發(fā)生自發(fā)PT對稱破缺,而在拓?fù)淦接箙^(qū)中可以觀察到PT對稱相變,即從嚴(yán)格PT對稱到PT對稱破缺.其次,虛勢能和自旋軌道耦合的共同作用導(dǎo)致非平庸區(qū)中出現(xiàn)不同特性、不同數(shù)量的零能態(tài):I) 四個能量為 0±ib型的能態(tài);II) 由于從體態(tài)析出的二重孤立態(tài)進(jìn)入零能態(tài)中而產(chǎn)生的具有二重純實零能態(tài)和四個純虛能態(tài)的混合六能態(tài)區(qū)域;III) 具有純實零能的二重簡并零能態(tài).對于拓?fù)淦接箙^(qū)而言,虛勢能和自旋軌道耦合共同作用使厄米情況下的拓?fù)淦接箙^(qū)發(fā)生拓?fù)湎嘧?在平庸區(qū)的間隙中出現(xiàn)二重純實數(shù)零能態(tài),拓寬了體系的拓?fù)浞瞧接箙^(qū).相信以上結(jié)果有助于探究PT對稱非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧冃袨?同時為探究非厄米零能態(tài)的種類和性質(zhì)提供了理論支持.